1.4充分条件与必要条件（分层作业，11大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 1.4充分条件与必要条件 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 充分条件的判定 题型02 必要条件的判定 题型03 判断命题的充分不必要条件 题型04 判断命题的必要不充分条件 题型05 既不充分也不必要条件 题型06 充要条件的判定 题型07 充要条件的证明 题型08 探求命题为真的充要条件 B组 能力进阶 题型01 根据充分不必要条件求参数 题型02 根据必要不充分条件求参数 题型03 根据充要条件求参数的范围 充分条件的判定题型01 1．（25-26高一上·江西·月考）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 2．“（）”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由充分、必要性的定义，结合三角函数值求角，即可知题设条件间的充分、必要关系. 【详解】由“”，得：“或（）”. ∴“（）”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（26-27高一上·上海·适应性考试）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】因为是的充分条件，所以， 故，解得， 因此实数的取值范围为. 4．（26-27高一上·天津·月考）设集合，命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由条件，p是q的充要条件，得A=B，即解得，所以实数m的值是. （2）由p是q的充分条件，得， 所以 所以 综上实数m的取值范围是. 5．已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为. （1）若，，，求的值； （2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明. 【答案】（1）、、； （2）的最大值为，可取，； （3）“存在，使”是“”的充分不必要条件，证明如下： 取，. 充分性：若存在，使，即， 则，， 所以， ，充分性成立； 必要性：因为，可取，，， 则， ，则满足， 但，， ，则、不共线，必要性不成立. 综上所述，“存在，使”是“”的充分不必要条件. 【分析】（1）根据的定义可得出关于的不等式，解出的取值范围，结合可得结果； （2）设、，利用绝对值三角不等式可求得的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量、的坐标； （3）判断出“存在，使”是“”的充分不必要条件，利用题中定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）因为，，则，即， 解得，因为，所以，的值为、、； （2）设、， ，， 所以， ， 可取，； （3）略 【点睛】关键点点睛：本题考查距离的新定义，在求的最大值，充分利用绝对三角不等式结合定值条件可求得，同时在证明时，要充分利用绝对值的运算性质化简求解. 必要条件的判定题型02 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】解：因为不能推出，且可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A 2．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】本小题主要考查充要条件的判定．由充分 而或，不必要，故选A． 3．（26-27高一上·河南周口·质检）若则“”是“”的 （ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 【答案】A 【详解】若，则，所以“”能推出“”，充分性成立； 若，则或，不一定有，所以“”不能由“”推出，必要性不成立； 因此，“”是“”的充分条件. 4．（26-27高一·上海·月考）“”是“或”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】分析充分性，由加法运算可直接得出充分性成立，分析必要性，举个例子可说明必要性不成立. 【详解】分析充分性： 若成立，若，则，若，则， 所以一定能说明和至少有一个成立，即或成立，充分性成立； 分析必要性： 若或，即和二者至少一个成立， 举例：，，此时，所以必要性不成立. 所以“”是“或”的充分不必要条件. 5．（24-25高三上·北京·月考）给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件： ①，； ②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）； ③集合，，中各元素之和分别为，，，有； 则称集合为可分集合. (1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，； (2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由； (3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 【答案】(1)，，(答案不唯一) (2)当时，不是可分集合，理由如下： 方法一： 假设存在是3的倍数且是可分集合，设，则依照题意， 故，    而这个数的和为， 故，矛盾， 所以是3的倍数时，一定不是可分集合； 方法二： 注意到所有元素和为，又中元素是偶数， 所以（为正整数）， 所以，即是12的倍数. 容易验证，当时，不是12的倍数，矛盾！ 所以当时，不是可分集合； (3)因为所有元素和为，又中元素是偶数， 所以（为正整数）， 所以，因为，为连续整数， 故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 由（2）知道，不是3的倍数，所以一定有是3的倍数. 当为偶数时，为奇数，而， 所以一定有是3的倍数，是4的倍数， 所以既是3的倍数又是4的倍数， 从而可分的一个必要条件是：是12的倍数. 从而“是整数”是“为可分集合”必要条件. 另一方面，当时，不是可分集合，从而“是整数”不是“为可分集合”充分条件 （可以验证：当，56，时，不可分，其余满足是正整数情形，都可分） 综上可知，“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 【分析】（1）取，按照定义列举即可； （2）方法一：用反证法即可得结论； 方法二：由题意可得所有元素和为，中元素是偶数，从而得是12的倍数，又因为时，不是12的倍数，即得矛盾； （3）按照必要不充分条件的定义证明即可 【详解】（1）依照题意，取时， ， 又，， 则， 所以可以取，，； （2）略 （3）略 【点睛】关键点睛：对于新定义题目，理解和利用定义进行解答是关键. 判断命题的充分不必要条件题型03 1．对于实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先判断和 成立的条件，然后根据充分性和必要性的定义可以选出正确答案. 【详解】成立时，需要；成立时，需要，显然由能推出，但由不一定能推出 ，故“”是“”的充分不必要条件，故本题选A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，掌握对数的真数大于零这个知识点是解题的关键. 2．（24-25高一上·山西晋城·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，反之不成立，如：，满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据解分式不等式的方法，结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】或， 显然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 4．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）已知随机变量服从二项分布，则“”是“方差”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若随机变量服从二项分布，且，则， 若随机变量服从二项分布，且，则，解得或， 所以“”是“方差”的充分不必要条件. 5．（25-26高一上·云南·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 判断命题的必要不充分条件题型04 1．（25-26高三上·陕西西安·联考）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 2．（24-25高一上·陕西榆林·月考）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式化简，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或，即或， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．设为实数，则是 “”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由“x＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x＜0”，从而得出“x＜0”是“”的充分必要条件． 【详解】若x＜0，﹣x＞0，则：； ∴“x＜0“是““的充分条件； 若，则； 解得x＜0； ∴“x＜0“是““的必要条件； 综上得，“x＜0”是“”的充分必要条件． 故选C． 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 4．（24-25高一上·江苏泰州·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 5．（25-26高一上·广东中山·月考）已知集合， (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)必要不充分条件 (2) 【分析】（1）将代入，根据充分必要条件的定义，进行判断即可. （2）由可得出，对是否为空集进行讨论即可. 【详解】（1）（1）由于，所以，， 所以“”是“”的必要不充分条件. （2）由可得， 当时，，解得， 当时，则，无解， 综上所述，的取值范围是. 既不充分也不必要条件题型05 1．是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】试题分析：取，，可知不是成立的充分条件，取，，可知不是成立的必要条件． 考点：充分必要条件． 2．（25-26高一上·广东·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】举反例，根据充分必要条件的概念进行判断即可. 【详解】当时，满足，不满足，故“”不能推出“”； 当时，满足，不满足，故 “” 不能推出“”； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3．不等式“”成立，是不等式“”成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由，但，所以由“”不能推出“”； 又，但，所以由“”不能推出“”， 即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．设，为非零实数，则“”是 “”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可. 【详解】由题意当时，满足，但，故充分性不满足； 当时，满足，但，故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 5．（25-26高二上·吉林白城·月考）判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 【答案】(1)充要条件 (2)必要不充分条件 (3)既不充分也不必要条件 【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断； （2）由必要不充分条件的概念即可直接判断； （3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断. 【详解】（1）因为， 并且， 所以是的充要条件. （2），即或，， 故， 故是的必要不充分条件. （3）两个角都是直角，则这两个角相等， 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即， 故是的既不充分也不必要条件. 充要条件的判定题型06 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两集合相等可得充要条件. 【详解】解不等式得解集为，解不等式得解集也为， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C． 2．设等比数列的公比为q，前n项和为，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据等比数列的前项和为．结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：若时，， 时，，符合题意，是充分条件； 反之也成立， 故“”是“”的充要条件， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键． 3．（24-25高一上·四川·月考）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（25-26高一上·湖南永州·月考）若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的______条件. 【答案】充要 【分析】判断与互补是否成立，再判断与互补是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到结论． 【详解】若，则， 两边平方解得，结合，知至少有一个为，另一个为非负数， 故，即与互补； 若与互补时，易得，故至少有一个为，且，， 若，，此时， 同理若，，此时， 即， 故是与互补的充要条件． 故答案为：充要． 充要条件的证明题型07 1．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明如下： 是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 【分析】根据因式分解可得，即可由充要条件的定义求解. 【详解】是成立的充要条件，证明略. 2．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】 ①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】略 3．（25-26高一上·广东·月考）已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)已知非空集合是封闭集，证明：为封闭集的充要条件是； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 【答案】(1)集合都是封闭集 (2)证明: 充分性：因为，任取， 所以，又因为非空集合是封闭集， 所以， 同理， 所以， 所以为封闭集，充分性得证； 必要性：因为为封闭集， 根据封闭集的定义，封闭集是的非空子集， 所以，所以必要性成立， 所以若非空集合是封闭集， 则为封闭集的充要条件是. (3)证明: 因非空集合是封闭集合， 当时，， 因此不是封闭集 当时，假设是封闭集， 若，在中任取一个数，则， 否则此时，这与矛盾， 因此，而， 这与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 当时，假设也是封闭集， 因为集合非空，任取， 若，则， 与矛盾，故， 又因为集合是封闭集，所以， 而也是封闭集，且， 所以， 于是且，这与矛盾， 故假设不成立，所以的补集不是封闭集. 【分析】（1）根据封闭集的定义判断说明即可； （2）先证充分性：由可任取，推导；再证必要性：由为封闭集推导出即可； （3）对非空集合进行分类考虑，当时，；当时，利用反证法，假设的补集是封闭集，分和两种情况进行讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）对于集合，因为， 所以集合是封闭集， 对于集合， 任取，则， 因为， 所以集合是封闭集. （2）略； （3）略. 探求命题为真的充要条件题型08 1．设，“是偶数”是“n是偶数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断即可选出答案. 【详解】是偶数等价于n是偶数，故为充要条件， 故选:C． 2．三个数，，不全为零的充要条件是（    ） A．，，都不是零 B．，，中最多有一个是零 C．，，中只有一个是零 D．，，中至少有一个不是零 【答案】D 【分析】，，不全为零即，，中至少有一个不是零. 【详解】解：，，不全为零即，，中至少有一个不是零 故选：D． 3．是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出方程有一个负数根的条件，从而判断出答案. 【详解】方程有一个负数根，若，此时，不成立，舍去； 若，则，此时方程在R上无解，舍去； 若，则，故，满足题意， 综上：是方程有一个负数根的充分必要条件. 故选：B 4．若都是实数，试从①，②，③中选出所有适合的条件，用序号填空： （1）“”的充要条件是 _________ ； （2）“”的充分不必要条件是 _________ ； （3）“且”的必要不充分条件是 _________ . 【答案】 ③ ①③ ② 【分析】第一步先研究题干中三个选项的充要条件，第二步在逐个分析选项进行匹配即可. 【详解】根据立方和公式进行变形如下：，故当，则或，而，故，故推出，即，而可以推出，故的充要条件是：； 当，则，或，而，此时，故的充要条件是； 当，，故，可知，于是的充要条件是. 对于（1），，据上述分析，本空填③； 对于（2），据上述分析可知，①中，③中，均满足，但推不出①③中的的情形，本空填①③； 对于（3），且只能推出②，显然②不能推出且，本空填②. 故答案为：③；①③；② 根据充分不必要条件求参数题型01 1．已知p：或，q：，则a取下面哪些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设集合或，集合，根据是的充分不必要条件，得到集合是集合的真子集，最后根据集合的包含关系判断即可. 【详解】设集合或，集合， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故， 所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求. 故选：B. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出或，从而求出交集； （2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，或， 故或= （2）是的充分不必要条件， 故是的真子集， 因为，故要满足是的真子集， 则或， 解得：或 故实数的取值范围是. 4．（26-27高一上·河南安阳·月考）已知集合，或. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集为实数集的几何意义，结合数轴列不等式组求解； （2）将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，分情况列不等式求解； 【详解】（1）集合，或. 由可得，解得； 因此实数的取值范围为； （2） 若“”是“”的充分不必要条件，则， 当完全包含于的左半区间时，满足，解得； 当完全包含于的右半区间时，满足，解得； 综上，实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·山西太原·联考）命题：实数满足，命题：实数满足 (1)为真命题，求实数的取值范围； (2)当时，满足命题的条件记为集合，满足命题的条件记为集合，若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）解不等式组即可求得命题为真命题时实数的取值范围； （2）根据条件列出不等式，求解即可； （3）满足命题的条件记为集合，满足命题的条件记为集合，由题意可得是的真子集，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由得，解得， 由或， 所以命题为真时，． （2）由不等式，得， 因为，则，所以解得，即， 命题为真时，，即 若，则或， 结合，可得或． （3）满足命题的条件记为集合，满足命题的条件记为集合， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由不等式，得， 当时，，所以解得，即， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，，不满足题意； 当时，，所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． 根据必要不充分条件求参数题型02 1．“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 2．若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案. 【详解】p：，即或，q：∵，∴， 由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件， 则，或，解得，或， 故选：D. 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）设集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式对应方程的判别式可得满足即可，可求出实数的取值范围. （2）依题意可得是的真子集，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】（1），有解， 因此可得， 得， 因此实数的取值范围为. （2）由题意可得是的真子集， ， ， 当时，，符合题意； 当，即时， （i）当时，， 因此，此情况无解； （ii）当时，， 所以， 综上，的取值范围是. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，. (1)时求； (2)是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的运算法则运算可得. （2）把问题转化成根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】（1）因为或 当时， 所以或. （2）由是的必要不充分条件得，是的真子集. ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需，得； 综上得，即实数m的取值范围为. 5．（25-26高一上·江苏·月考）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 根据充要条件求参数的范围题型03 1．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 不存在，理由如下： 要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． (2)存在，，理由如下： 要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）略 （2）略 3．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 4．已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【答案】(1)证明： 由题意得的两个根分别为和， 所以， ， 又因为， 所以， 则 ， 所以成立. (2)或 【分析】（1）由题意得的两个根分别为和，根据韦达定理，可得的表达式，又，代入所证，化简整理，即可得证； （2）先求得，两点之间的距离的表达式，根据题意，可得m的范围，根据判别式，可再得m的范围，分析即可得答案. 【详解】（1）略； （2），两点之间的距离， 由（1）得， 所以， 因为，两点之间的距离不超过， 所以，则， 解得 由，解得或， 所以，两点之间的距离不超过的充要条件为或 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4充分条件与必要条件 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 充分条件的判定 题型02 必要条件的判定 题型03 判断命题的充分不必要条件 题型04 判断命题的必要不充分条件 题型05 既不充分也不必要条件 题型06 充要条件的判定 题型07 充要条件的证明 题型08 探求命题为真的充要条件 B组 能力进阶 题型01 根据充分不必要条件求参数 题型02 根据必要不充分条件求参数 题型03 根据充要条件求参数的范围 充分条件的判定题型01 1．（25-26高一上·江西·月考）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“（）”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高一上·上海·适应性考试）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______________． 4．（26-27高一上·天津·月考）设集合，命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 5．已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为. （1）若，，，求的值； （2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明. 必要条件的判定题型02 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高一上·河南周口·质检）若则“”是“”的 （ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 4．（26-27高一·上海·月考）“”是“或”的________条件. 5．（24-25高三上·北京·月考）给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件： ①，； ②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）； ③集合，，中各元素之和分别为，，，有； 则称集合为可分集合. (1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，； (2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由； (3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 判断命题的充分不必要条件题型03 1．对于实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·山西晋城·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）已知随机变量服从二项分布，则“”是“方差”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·云南·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 判断命题的必要不充分条件题型04 1．（25-26高三上·陕西西安·联考）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·陕西榆林·月考）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设为实数，则是 “”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 4．（24-25高一上·江苏泰州·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·广东中山·月考）已知集合， (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 既不充分也不必要条件题型05 1．是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（25-26高一上·广东·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．不等式“”成立，是不等式“”成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，为非零实数，则“”是 “”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·吉林白城·月考）判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 充要条件的判定题型06 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设等比数列的公比为q，前n项和为，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·四川·月考）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·湖南永州·月考）若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的______条件. 充要条件的证明题型07 1．已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 2．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 3．（25-26高一上·广东·月考）已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)已知非空集合是封闭集，证明：为封闭集的充要条件是； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 探求命题为真的充要条件题型08 1．设，“是偶数”是“n是偶数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．三个数，，不全为零的充要条件是（    ） A．，，都不是零 B．，，中最多有一个是零 C．，，中只有一个是零 D．，，中至少有一个不是零 3．是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若都是实数，试从①，②，③中选出所有适合的条件，用序号填空： （1）“”的充要条件是 _________ ； （2）“”的充分不必要条件是 _________ ； （3）“且”的必要不充分条件是 _________ . 根据充分不必要条件求参数题型01 1．已知p：或，q：，则a取下面哪些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 3．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 4．（26-27高一上·河南安阳·月考）已知集合，或. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·山西太原·联考）命题：实数满足，命题：实数满足 (1)为真命题，求实数的取值范围； (2)当时，满足命题的条件记为集合，满足命题的条件记为集合，若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 根据必要不充分条件求参数题型02 1．“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 2．若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）设集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，. (1)时求； (2)是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·江苏·月考）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 根据充要条件求参数的范围题型03 1．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 4．已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $