1.4.1 充分条件与必要条件课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·人教A版必修第一册　1.4.1　充分条件与必要条件　课时作业 第一章　集合与常用逻辑用语 1.4.1　充分条件与必要条件 课 时 作 业 （建议用时：45分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 【学习目标】 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义。 2．理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系。 3．能判断一个条件是否为另一个条件的充分条件或必要条件，会从集合的观点认识充分条件、必要条件，并会求相关参数的取值范围。 【知识梳理】 一、命题的有关概念 1．命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 2．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。 二、充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 “若p，则q” 推出关系 条件关系 真命题 p⇒q p是q的充分条件；q是p的必要条件 假命题 p⇏q p不是q的充分条件；q不是p的必要条件 理解：“p是q的充分条件”是说，只要有p，就足以保证q成立；“q是p的必要条件”是说，要使p成立，q必须成立，即没有q就一定没有p。 三、判定定理、性质定理与充分条件、必要条件 1．数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。例如，“若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形”，说明“四边形的两组对边分别相等”是“四边形是平行四边形”的充分条件。 2．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。例如，“若四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分”，说明“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件。 四、从集合的角度理解充分条件与必要条件 设A={x | p(x)}，B={x | q(x)}，若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件，q是p的必要条件。简记为“小范围能推出大范围”。 图1　A⊆B时，p是q的充分条件 例如，p：x>2，q：x>1，因为{x | x>2}⊆{x | x>1}，所以p⇒q，“x>2”是“x>1”的充分条件，“x>1”是“x>2”的必要条件。 五、生活中的模型：电路图 如图2，在串联电路中，“开关K1闭合”是“灯泡L亮”的必要条件（灯亮时K1一定闭合），但不是充分条件（K1闭合而K2断开时灯不亮）； 在并联电路中，“开关K1闭合”是“灯泡L亮”的充分条件（K1闭合灯一定亮），但不是必要条件（K1断开、K2闭合时灯也亮）。 图2　串联电路与并联电路 六、判断方法总结 （1）定义法：判断“若p，则q”的真假。若为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 （2）集合法：把p，q对应的范围写成集合，看两个集合之间的包含关系。 （3）举反例：要说明p⇏q，只需举出一个满足p但不满足q的例子。 【典型例题】 例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x²-4x+3=0；（2）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （3）若a>b，则ac>bc；（4）若x，y都是有理数，则x+y是有理数。 【解析】（1）当x=1时，x²-4x+3=1-4+3=0，命题为真，所以p是q的充分条件。 （2）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（例如对角线互相垂直但不平分的“筝形”），命题为假，p不是q的充分条件。 （3）当c≤0时，由a>b不能得到ac>bc，例如a=2，b=1，c=0时ac=bc，命题为假，p不是q的充分条件。 （4）两个有理数的和仍是有理数，命题为真，p是q的充分条件。 所以（1）（4）中的p是q的充分条件。 【方法总结】判断p是否为q的充分条件，就是判断“若p，则q”是否为真命题。说明命题为假时，举出一个反例即可。 例2　下列各题中，哪些q是p的必要条件？ （1）p：x>2，q：x>1；（2）p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； （3）p：x²=x，q：x=1；（4）p：四边形是正方形，q：四边形的四条边都相等。 【解析】q是p的必要条件，即p⇒q。 （1）x>2⇒x>1，所以q是p的必要条件； （2）面积相等的两个三角形不一定全等，p⇏q，所以q不是p的必要条件； （3）由x²=x得x=0或x=1，p⇏q，所以q不是p的必要条件； （4）正方形的四条边都相等，p⇒q，所以q是p的必要条件。 所以（1）（4）中的q是p的必要条件。 【方法总结】“q是p的必要条件”与“p是q的充分条件”是同一回事，都表示p⇒q，注意分清推出的方向。 例3　已知p：-2≤x≤6，q：1-m≤x≤1+m（m>0），若p是q的充分条件，求实数m的取值范围。 【解析】设A={x | -2≤x≤6}，B={x | 1-m≤x≤1+m}（m>0）。 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，即A⊆B（如图）。 所以1-m≤-2，且1+m≥6，解得m≥3且m≥5，即m≥5。 所以实数m的取值范围是{m | m≥5}。 【方法总结】将充分条件、必要条件问题转化为集合间的包含关系问题，再借助数轴列出不等式（组），是求参数范围的通法。 【课时作业】 A组　基础巩固 一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列各题中，p是q的充分条件的是（　　） A．p：a>b，q：a²>b² B．p：x=2，q：x²=2x C．p：|a|=|b|，q：a=b D．p：ab=0，q：a=0 2．下列各题中，q是p的必要条件的是（　　） A．p：x>1，q：x>2 B．p：两个角相等，q：两个角是对顶角 C．p：a是6的倍数，q：a是3的倍数 D．p：x²>0，q：x>0 3．“四边形是矩形”是“四边形的对角线相等”的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．既是充分条件，又是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 4．设x∈R，则“x>1”是“x>3”的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．既是充分条件，又是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 5．设a，b∈R，则“a>b”是“a²>b²”的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．既是充分条件，又是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 6．若“x>a”是“x>2”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a>2 D．a<2 二、多项选择题（每小题有多个选项符合题目要求） 7．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（　　） A．若x>0，则|x|>0 B．若a=0，则ab=0 C．若x²=4，则x=2 D．若两个三角形全等，则它们的面积相等 8．“x<1”的一个必要条件可以是（　　） A．x<2 B．x<0 C．x≤1 D．x<-1 三、填空题 9．用“充分”或“必要”填空：（1）“x是整数”是“x是自然数”的________条件；（2）“a=0”是“ab=0”的________条件；（3）“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的________条件。 10．已知p：x>m，q：x≥3，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________。 11．已知“x=2”是“x²-ax+4=0”的充分条件，则实数a=________。 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12．指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分条件”“必要条件”中选出一种或两种）： （1）p：x-3=0，q：(x-3)(x+2)=0； （2）p：两个角相等，q：两个角都是直角； （3）p：x>2且y>3，q：x+y>5； （4）p：四边形的一组对边平行且相等，q：四边形是平行四边形。 13．已知a，b∈R。 （1）判断“a>b>0”是否为“<”的充分条件，是否为必要条件，并说明理由； （2）判断“a²+b²=0”是否为“ab=0”的充分条件，是否为必要条件，并说明理由。 B组　能力提升 五、单项选择题 14．如图所示的电路中，“开关K1闭合”是“灯泡L亮”的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．既是充分条件，又是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 15．已知a，b∈R，则“a>|b|”是“a²>b²”的（　　） A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件 C．既是充分条件，又是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 六、多项选择题 16．下列各题中，p是q的必要条件的有（　　） A．p：a>b，q：a>b+1 B．p：x²>1，q：x>1 C．p：ac=bc，q：a=b D．p：a+b是有理数，q：a，b都是无理数 七、填空题 17．已知p：1≤x≤2，q：a-1≤x≤a+1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________________。 八、解答题 18．已知集合A={x | -2<x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m-1}，p：x∈A，q：x∈B。 （1）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得p是q的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。 19．已知p：关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根。 （1）求使p为真命题时实数m的取值范围； （2）设q：a-1<m<a+1，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围。 【答案及解析】 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 16 答案 B C A B D B ABD AC B A ABC 1．【答案】B 【解析】A：取a=1，b=-2，满足a>b，但a²<b²，p⇏q； B：当x=2时，x²=4=2x，p⇒q，p是q的充分条件； C：取a=1，b=-1，|a|=|b|，但a≠b，p⇏q； D：取a=1，b=0，ab=0，但a≠0，p⇏q。故选B。 2．【答案】C 【解析】q是p的必要条件，即p⇒q。 A：x>1⇏x>2（如x=1.5）；B：相等的两个角不一定是对顶角； C：6的倍数一定是3的倍数，p⇒q，正确；D：x²>0⇏x>0（如x=-1）。故选C。 3．【答案】A 【解析】矩形的对角线相等，所以“四边形是矩形”⇒“四边形的对角线相等”，前者是后者的充分条件； 对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），所以前者不是后者的必要条件。故选A。 4．【答案】B 【解析】因为{x | x>3}⫋{x | x>1}，所以“x>3”⇒“x>1”，而“x>1”⇏“x>3”（如x=2）， 所以“x>1”是“x>3”的必要条件，但不是充分条件。故选B。 5．【答案】D 【解析】取a=1，b=-2，则a>b，但a²<b²，所以“a>b”⇏“a²>b²”； 取a=-2，b=1，则a²>b²，但a<b，所以“a²>b²”⇏“a>b”。 所以“a>b”既不是“a²>b²”的充分条件，也不是必要条件。故选D。 6．【答案】B 【解析】由题意，“x>2”⇒“x>a”，所以{x | x>2}⊆{x | x>a}，借助数轴可得a≤2（a=2时两个集合相等，也满足题意）。故选B。 7．【答案】ABD 【解析】A：x>0时|x|=x>0，命题为真；B：a=0时ab=0，命题为真； C：x²=4时x=±2，不一定等于2，命题为假；D：全等三角形的面积相等，命题为真。 故选ABD。 8．【答案】AC 【解析】设所求必要条件对应的集合为B，则需{x | x<1}⊆B。 {x | x<1}⊆{x | x<2}，{x | x<1}⊆{x | x≤1}都成立；而{x | x<1}不是{x | x<0}与{x | x<-1}的子集。故选AC。 9．【答案】必要；充分；必要 【解析】（1）自然数都是整数，“x是自然数”⇒“x是整数”，所以“x是整数”是“x是自然数”的必要条件； （2）a=0⇒ab=0，所以“a=0”是“ab=0”的充分条件； （3）全等三角形一定相似，所以“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要条件。 10．【答案】{m | m≥3} 【解析】由p是q的充分条件得{x | x>m}⊆{x | x≥3}，借助数轴可知m≥3。当m=3时，{x | x>3}⊆{x | x≥3}成立。 11．【答案】4 【解析】由题意，当x=2时，x²-ax+4=0成立，即4-2a+4=0，解得a=4。 12．【解】（1）由x-3=0可得(x-3)(x+2)=0，即p⇒q；而由(x-3)(x+2)=0得x=3或x=-2，q⇏p。所以p是q的充分条件（不是必要条件）。 （2）两个角都是直角⇒两个角相等，即q⇒p；而相等的两个角不一定都是直角，p⇏q。所以p是q的必要条件（不是充分条件）。 （3）由x>2且y>3可得x+y>5，即p⇒q；而x+y>5时，如x=1，y=5，不满足x>2，q⇏p。所以p是q的充分条件（不是必要条件）。 （4）由平行四边形的判定定理知p⇒q；由平行四边形的性质定理知q⇒p。所以p既是q的充分条件，又是q的必要条件。 13．【解】（1）是充分条件，不是必要条件。理由如下： 若a>b>0，则-=，因为b-a<0，ab>0，所以-<0，即<，充分性成立； 取a=-1，b=1，则=-1<1=，但不满足a>b>0，所以“a>b>0”不是“<”的必要条件。 （2）是充分条件，不是必要条件。理由如下： 若a²+b²=0，因为a²≥0，b²≥0，所以a=b=0，从而ab=0，充分性成立； 取a=0，b=1，则ab=0，但a²+b²=1≠0，所以“a²+b²=0”不是“ab=0”的必要条件。 14．【答案】B 【解析】这是一个串联电路，灯泡L亮时，K1，K2一定都闭合，所以“灯泡L亮”⇒“K1闭合”，“K1闭合”是“灯泡L亮”的必要条件； 而K1闭合、K2断开时，灯泡L不亮，所以“K1闭合”不是“灯泡L亮”的充分条件。故选B。 15．【答案】A 【解析】若a>|b|，则a>|b|≥0，两边平方得a²>|b|²=b²，所以“a>|b|”⇒“a²>b²”； 取a=-3，b=1，满足a²>b²，但a<|b|，所以“a²>b²”⇏“a>|b|”。 所以“a>|b|”是“a²>b²”的充分条件，但不是必要条件。故选A。 16．【答案】ABC 【解析】p是q的必要条件，即q⇒p。 A：由a>b+1可得a>b+1>b，q⇒p，正确；B：由x>1可得x²>1，q⇒p，正确； C：由a=b可得ac=bc，q⇒p，正确； D：取a=，b=，a，b都是无理数，但a+b=+是无理数，q⇏p，错误。故选ABC。 17．【答案】{a | 1≤a≤2} 【解析】由p是q的充分条件得{x | 1≤x≤2}⊆{x | a-1≤x≤a+1}， 所以a-1≤1，且a+1≥2，解得1≤a≤2。 18．【解】（1）因为p是q的必要条件，所以q⇒p，即B⊆A。 ①当B=∅时，m+1>2m-1，解得m<2，满足B⊆A； ②当B≠∅时，即m≥2时，要使B⊆A，需m+1>-2，且2m-1≤5（如图），解得m>-3且m≤3，所以2≤m≤3。 综上，实数m的取值范围是{m | m≤3}。 （2）不存在。理由如下：若p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，此时B≠∅， 需满足m+1≤-2，且2m-1≥5，即m≤-3且m≥3，这样的m不存在。 所以不存在实数m，使得p是q的充分条件。 19．【解】（1）方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则Δ=(-2)²-4m=4-4m>0，解得m<1。 所以使p为真命题时，实数m的取值范围是{m | m<1}。 （2）因为q是p的充分条件，所以q⇒p，即{m | a-1<m<a+1}⊆{m | m<1}。 所以a+1≤1，解得a≤0。 所以实数a的取值范围是{a | a≤0}。 第 1 页　共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $