第1章 §2 2.1 第2课时 充要条件(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1,0,1}，则“M⊆N”是“a＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若M⊆N，则a＝0或a＝－1， 故“M⊆N”推不出“a＝0”． 反之，若a＝0，则M⊆N， 故“M⊆N”是“a＝0”的必要不充分条件． 答案　B 2．“a＞b”是“a＞|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a＞|b|⇒a＞b，而a＞b推不出a＞|b|. 答案　B 3．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 解析　由Venn图可知，B，C，D都是充要条件，故选BCD. 答案　BCD 4．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的______条件． 解析　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 答案　既不充分也不必要 5．在下列电路图中，分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件． ①中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件； ②中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件； ③中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件； ④中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件． 解析　①开关A闭合，灯泡B亮；反之，灯泡B亮，开关A闭合，于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；②仅当开关A，C都闭合时，灯泡B才亮；反之，灯泡B亮，开关A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；③开关A不起作用，故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件；④开关A闭合，灯泡B亮；但灯泡B亮，只需开关A或C闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件． 答案　①充要　②必要不充分　③既不充分也不必要　④充分不必要 6．证明：(1)“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的充分不必要条件； (2)“A＝∅”是“∁RA＝R”的充要条件． 证明　(1)充分性：当a>1000时，|a－1000|＝a－1000，充分性成立． 必要性：由|a－1000|＝a－1000，得a－1000≥0，即a≥1000，必要性不成立． 故“a>1000”是“|a－1000|＝a－1000”的充分不必要条件． (2)充分性：若A＝∅，则∁RA＝R，充分性成立． 必要性：若∁RA＝R，则A＝∅，必要性成立． 故“A＝∅”是“∁RA＝R”的充要条件． [关键能力·综合提升] 7．(多选)若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件 解析　∵非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，∴由x∈A⇒x∈A∪B⇒x∈C. 由x∈C⇒x∈A∪B⇒x∈A或x∈B. ∵B不是A的子集，∴不一定有x∈A，即仅有B正确． 答案　ACD 8．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 答案　B 9．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a，b都为0”的必要条件是________； (2)“a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab＞0⇔或则a，b都不为0. 答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 10．(2025·河北石家庄一中月考)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1－m≤x≤3m－2，m>1}，是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的________． (1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充要条件？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由． (2)请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充到上面的横线部分．若实数m存在，求出m的取值范围，若m不存在，请说明理由． 解析　(1)若存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充要条件，则A＝B， 故无解，故不存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充要条件． (2)因为m>1，所以3m－2>1>1－m，故B≠∅. 选①充分不必要条件，即集合A中的元素都在集合B中，但B中至少有1个元素不存在A中，则AB， 故 解得故m≥4. 即存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，实数m的取值范围为{m|m≥4}． 选②必要不充分条件，即集合B中的元素都在集合A中，但A中至少有1个元素不存在B中，则BA， 故解得 故m≤2，又m>1，所以1<m≤2. 即存在实数m，使得x∈A是x∈B的必要不充分条件，实数m的取值范围为{m|1<m≤2}． [核心价值·探索创新] 11．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝－a－b，那么“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由＝a＋b， 可得a2＋b2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，即 由a≥0，b≥0，且ab＝0， 得＝＝a＋b， 故“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的充要条件． 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$