精品解析：山东青岛市崂山育才中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期阶段性质量监测 九年级数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分，请把正确答案的序号填在相应方框内） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 5. 如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为，那么列出的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ） A. 度量四个内角是否相等 B. 测量两条对角线是否相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 7. 如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 9. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ） A. 6 B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共6个空，每空3分，计18分，请把正确答案的序号填在相应方框上） 11. 如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为_________． 12. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 _________． 13. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 14. 是方程的一个根，则代数式的值是________________． 15. 矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为__． 16. 正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 三．作图题（本小题4分） 17. 已知：∠MAN和线段a． 求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a． 四．解答题 18. 计算题 （1）； （2）． 19. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 20. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 23. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，B运动的时间是，过点D作于点F，连接． （1）用含t的代数式表示 ， ． （2）是否存在某一时刻t，使点F在线段的中垂线上?若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．是是 （3）当t为 时，为直角三角形．（直接写答案） （4）是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期阶段性质量监测 九年级数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分，请把正确答案的序号填在相应方框内） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、整理得，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的一般步骤，准确计算．根据配方法解一元二次方程的方法进行解答即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同加上16得：， 此方程可变形为． 故选：D． 3. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵当时，， 当时，，且， ∴方程的一个根的范围是． 4. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 5. 如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为，那么列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设行车通道的宽度为，则停车区域的长总和为，宽总和为，根据“它们的面积之和为”即可列出方程． 【详解】设行车通道的宽度为．根据题意，得 ． 故选：D． 6. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ） A. 度量四个内角是否相等 B. 测量两条对角线是否相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A选项，四个内角相等的四边形是矩形或正方形，不能判定是菱形，故此方案不可行； B选项，对角线相等的四边形可能是矩形、正方形，也可能是等腰梯形，不能判定是菱形，故此方案不可行； C选项，两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，即对角线互相平分且相等，可以判定四边形是矩形，不能判定是菱形，故此方案不可行； D选项，分别沿两条对角线对折，如果对角线两侧的部分每次都完全重合，说明对角形互相垂直且平分，可以证明四边形是菱形，故此方案可行； 故选D． 【点睛】本题考查菱形的判定方法，解题的关键是掌握对角形互相垂直且平分的四边形是菱形． 7. 如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据菱形的性质得出和的长度，从而根据面积的计算法则得出答案． 【详解】解：过点作， ∵四边形为菱形，周长为24， ∴，平分， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，属于基础题型．明确菱形对角线的性质是解决这个问题的关键． 8. 疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意表示出两个月的增长率，列出方程即可． 【详解】解：设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意得： 5（1+x）（1+1.5x）=7.8， 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够表示出两个月的增长率，难度不大． 9. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【详解】x2+6x+m=0， x2+6x=-m， ∵阴影部分的面积为36， ∴x2+6x=36， 4x=6， x=， 同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形基本性质和相似三角形性质进行分析即可． 【详解】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°， ∴△ABG≌△AFG； ②正确．因为：EF=DE=CD=2， 设BG=FG=x，则CG=6﹣x． 在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2， 解得x=3． 所以BG=3=6﹣3=GC； ③正确． 因为CG=BG=GF， 所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AG//CF；④错误． 过F作FH⊥DC， ∵BC⊥DH， ∴FH//GC， ∴△EFH∽△EGC， ∴， EF=DE=2，GF=3， ∴EG=5， ∴， ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误， 故选：C． 二．填空题（本大题共6个空，每空3分，计18分，请把正确答案的序号填在相应方框上） 11. 如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的边长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， 菱形的边长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积和周长的计算，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理． 12. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 _________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为0的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， 故答案为：且． 13. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 14. 是方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，以及考查了整体代入思想． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： a是方程的一个根， ，即， ． 故答案为：． 15. 矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为__． 【答案】22 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，， 则为直角三角形， 在中，，即， 解得：， 的面积， 的面积的面积， 则着色部分的面积为：， 故答案为：22． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 16. 正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理可推出的长，以及，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形中，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴． 三．作图题（本小题4分） 17. 已知：∠MAN和线段a． 求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a． 【答案】 如图，四边形ABCD为所作． 【解析】 【分析】先作∠MAN的平分线，在角平分线上截取AC=a，再作AC的垂直平分线交AM于B，交AN于D，则四边形ABCD为菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四．解答题 18. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得，． 19. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【答案】（1）当或时，代数式A比B的值大2； （2） ∵， ∴， ∴对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【解析】 【分析】（1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】（1）是“伴根方程” （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，B运动的时间是，过点D作于点F，连接． （1）用含t的代数式表示 ， ． （2）是否存在某一时刻t，使点F在线段的中垂线上?若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．是是 （3）当t为 时，为直角三角形．（直接写答案） （4）是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、解一元二次方程等，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解答的关键． （1）直接利用路程、时间、速度的关系和含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用勾股定理求得和t值即可； （3）由题意，当时，为直角三角形．根据含30度角的直角三角形的性质分别求得，，进而求得即可； （4）先根据勾股定理求得，，，进而得到，然后解方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，则； ∵，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在某一时刻t，存在点F在线段的中垂线上，如图， 则，， ∴， 由得， ∴， 在中，由得， 解得（负值已舍去）； 【小问3详解】 解：当时，为直角三角形．如图， 在中，，， 在，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图1，∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得，，满足， 故满足条件的t值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $