精品解析：山东省青岛市崂山区实验学校2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试卷

崂山区实验学校九年级数学月考试题 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线是否相等 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. 0.11 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.19 5. 能判定一个四边形是正方形的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分 B. 对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 对角线相等且平分 6. 已知关于x的方程的一个解为2，那么另一个解是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出132条信息，求这个群有（ ）人． A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①②③ 二、填空题 10. 方程3x2﹣x＝0的解为_____． 11. 如图，矩形对角线相交于点O，，则的度数为__． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为56，则的长为______________． 14. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 16. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是___． 17. 尺规作图． 已知线段 求作菱形，使菱形的对角线为． 18. 解下列方程 （1） （2） （3） （4） 19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 20. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，连接并延长到F，使得，连接，，． （1）求证：； （2）若，试判断四边形是否为菱形，并说明理由； （3）在不加辅助线的前提下，给添加一个条件：______，使得四边形是矩形． 21. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 22. 某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，且销售量不低于50件，每件衬衫应降价多少元？ 23. 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式： （2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 24. 已知矩形中，，动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度匀速移动，同时动点Q从点C出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速移动．设运动时间为t（秒）． （1）是否存在某一时刻t，使的面积为矩形面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）当t为何值时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崂山区实验学校九年级数学月考试题 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 有两个未知数，不是一元二次方程； B. 当时，是一元一次方程，不是一元二次方程； C. ，是一元二次方程； D. 分母有未知数，不是一元二次方程； 故选：C． 2. 测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线是否相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定方法，根据矩形判定定理逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、根据三个角是直角的四边形是矩形，可以判定为矩形，原选项符合题意； 、测量两组对边是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、测量对角线是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 故选：． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， 即一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. 0.11 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.19 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格中的数据得到x=1.6时，x2-x=0.96；x=1.7时，x2-x=1.19，于是可判断一元二次方程x2-x=1.1的一个解在1.6与1.7之间，更接近1.7，故可得解． 【详解】令y＝x2﹣x，根据表格中的数据得到x=1.6时，x2-x=0.96；x=1.7时，x2-x=1.19， ∴一元二次方程x2-x=1.1的一个解为1.6＜x＜1.7，更接近1.7， ∴方程x2﹣x＝1.1的近似解为1.7． 故选C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 5. 能判定一个四边形是正方形的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分 B. 对角线互相垂直且相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 对角线相等且平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据正方形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但菱形对角线不一定相等，无法确定是正方形； B．对角线互相垂直且相等的四边形，未强调“平分”，无法保证四边相等或四角为直角，不一定是正方形； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； D．对角线相等且平分的四边形是矩形，但矩形不一定是正方形； 故选：C． 6. 已知关于x的方程的一个解为2，那么另一个解是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟记是解题的关键． 根据根与系数的关系，代入一个即可求得方程的另一根即可． 【详解】设的两根为， 则， 又因为关于x的方程的一个解为2， 所以，解得． 故选：C． 7. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； B、如图所示，∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、如图所示，∵， ∴，结合四边形是平行四边形不能证明四边形是菱形，故此选项符合题意； D、如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意． 8. 中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出132条信息，求这个群有（ ）人． A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设这个微信群的人数为x人，则每人需发出条信息，根据共发出132条短信列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出条信息， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴这个微信群的人数为人． 故选：B． 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 二、填空题 10. 方程3x2﹣x＝0的解为_____． 【答案】x1＝0，x2＝ 【解析】 【分析】提公因式x，可分解因式，解方程即可． 【详解】解：3x2﹣x＝0， x（3x﹣1）＝0， x1＝0，x2＝， 故答案为x1＝0，x2＝． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，属于基础题，掌握提公因式法是关键． 11. 如图，矩形对角线相交于点O，，则的度数为__． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式及二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为56，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质． 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 16. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是___． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 17. 尺规作图． 已知线段 求作菱形，使菱形的对角线为． 【答案】 作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，作出标准的图形是解决本题的关键． 在线段b上，以J为圆心，大于为半径作弧，以K为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M、N，连接直线，交线段于点L，此时即为；作射线，以点A为圆心，以a为半径作弧交射线于点B，以点A为圆心，以大于为半径作弧，以点B为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于D、E两点，连接直线交线段于点O，以点O为圆心，以为半径作弧交直线于H、I两点，连接，根据作图所得，和互相垂直平分，则四边形为菱形，此时四边形即为所求． 【详解】略 18. 解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）运用配方法进行求解即可； （2）运用十字相乘法进行因式分解并求解即可； （3）先移项，再利用开平方法进行求解即可； （4）先移项，再利用提公因式法进行求解即可． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： 解得； 【小问4详解】 解： 解得． 19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 【答案】 （1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0， x2﹣5x+6﹣p2=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）p=±1． 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）略 （2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2， ∴52=5（6﹣p2）， ∴p=±1． 20. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，连接并延长到F，使得，连接，，． （1）求证：； （2）若，试判断四边形是否为菱形，并说明理由； （3）在不加辅助线的前提下，给添加一个条件：______，使得四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵点E是边的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 四边形为菱形，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）添加，使得四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由菱形的判定即可得出结论； （3）由等腰三角形性质得，则，再由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 添加，使得四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵，点D边的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 21. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米 【解析】 【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为（32+2-x），再根据面积为140平方米的仓库可得x×（32+2-x）=140，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：x×（32+2-x）=140， 解得：x1=20，x2=14， ∵这堵墙的长为18米， ∴x=20不合题意舍去， ∴x=14， 宽为：×（32+2-14）=10（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，且销售量不低于50件，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫降价20元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 根据题意，设每件衬衫需要降价元，则每件盈利元，卖出件数为，根据盈利1200元可得方程，解方程求出的值，进而判断即可． 【详解】解：设每件衬衫需要降价元， ， ， ， ， 解得：， ∵销售量不低于50件， ∴， ∴， ∴． 答：每件衬衫降价20元． 23. 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式： （2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）设利润为w，根据题意得出关于x的二次函数解析式，算出x的值，在根据二次函数的图象性质求解即可； 【详解】（1）设一次函数的解析式为， 把点，代入解析式得， ， 解得：， ∴； （2）设利润为w， 则， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴二次函数开口向下， ∴当时，剩余利润不低于3600元． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式求解、二次函数的应用，准确计算是解题的关键． 24. 已知矩形中，，动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度匀速移动，同时动点Q从点C出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速移动．设运动时间为t（秒）． （1）是否存在某一时刻t，使的面积为矩形面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （2）当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）存在，的值为或 （2）当t为或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和一元一次方程和一元二次方程的应用，理解题意并学会分类讨论是解决本题的关键． （1）先求出的面积为8，再分别讨论当时和当时进行求解即可； （2）当时，存在三种情况为：、、，分别求解即可；当时，只存在，对此进行求解即可． 【小问1详解】 解：存在某一时刻t，使的面积为矩形面积的，此时的值为或，理由如下： ∵， ∴矩形的面积为， ∵的面积为矩形面积的， ∴， 由题意得，当时，在上，此时，，， ∴的高为，底为， ∴ ， 令， 解得， 当时，在上，此时在上运动的时间为，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为直角三角形， ∴ ， 令其等于，则 ， ∴ ， ∴， ∴（不满足，舍去）， 综上所述，存在这样的时刻，的值为或； 【小问2详解】 解：当时，在上，过点P作，如下图： ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形，三角形是直角三角形， 由（1）得，，，， ∴， ， ∴在中，， 在中，， ∵是等腰三角形， ∴①当时， 解得（舍去）； ②当时， ， ∴ ， ∴方程无实数解， ∴当时，情况不成立； ③当时， ， ∴ ， ∴方程无实数解， ∴当时，情况不成立； 当时，在上，此时在上运动的时间为， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， 由（1）得，，， ∴ 解得， ∴当成立， 综上所述，当时，在上，是等腰三角形，当时，在上，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $