精品解析：山东青岛市即墨区第二中学2026－2027学年九年级上学期10月数学学情调研

九年级上学期10月份数学学情调研 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A. B. C. D. 3. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 4. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 6. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 8. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 一元二次方程的根是 ． 11. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______  ． 12. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是___． 13. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，列方程得：______． 14. 如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 15. 如图，菱形中，，，是边上一点，且，是上一动点，连接、，则的最小值为_________． 三、尺规作图（4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 四、解答题 17. 用适当的方法解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 18. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 22. 已知：如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上以每秒1个单位的速度由C向B运动． （1）求梯形的面积S与时间t的函数关系式． （2）t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）在线段上是否存在一点Q，使得为菱形．若存在求t值，若不存在，说明理由． （4）当为等腰三角形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期10月份数学学情调研 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、，方程化简后二次项系数为0，不是一元二次方程，故此选项错误； D、，未知数最高次数是1次，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B． 2. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格，找出的值由小于0.06变到大于0.06对应的x的范围即可． 【详解】解：∵当时， ，当 时， ， ∴方程 的一个解的范围是 ． 3. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 5. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由四边形是菱形，点E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 又点E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， ∴原四边形一定是对角线相等的四边形， 故选C． 【点睛】本题考查中点四边形、菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数． 【详解】四边形是正方形 ， 为等边三角形 ， ，， 同理 故选：B． 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等．根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点，分别是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，求得，再由勾股定理即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 一元二次方程的根是 ． 【答案】 【解析】 【详解】解：用因式分解法解此方程 ， ， ， 即. 故答案为：. 【点睛】本题考查解一元二次方程.掌握解一元二次方程的方法，选择适合的方法可以简便运算 11. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______  ． 【答案】2035 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的含义．利用a是方程的根，得到，结合两根之和，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴且， 即， ∴ 代入，得， 故答案为：2035 12. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是___． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范围内的最大整数即可． 【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0， 解得：a≤且a≠1， 所以整数a的最大值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 13. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，列方程得：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知空白部分的面积是一个长为，宽为的矩形，且占总面积的四分之三，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：； 14. 如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 15. 如图，菱形中，，，是边上一点，且，是上一动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．在取一点，使，连接，推出的最小值为的长，再过点作于点，股定理求出的长即可解决问题 【详解】解：如图，在取一点，使，连接， 四边形是菱形， 点与点关于对角线所在直线对称， 的最小值为的长， 过点作于点， 在中， 由勾股定理，得， 的最小值为． 故答案为：． 三、尺规作图（4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 【答案】 解：如图，菱形AECF为所作． 【解析】 【分析】连结AC，作AC的垂直平分线交BC于E、交AD于F，利用矩形的性质可得AC垂直平分EF，则四边形AECF为菱形． 【详解】略 四、解答题 17. 用适当的方法解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3） （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，，， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：整理得， ∴， 开方得， 解得； 【小问4详解】 解：整理得， 因式分解得，即， ∴或， 解得，． 18. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）10 【解析】 【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论； （2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质； （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得： , 解得，， 若，则， 若，则， 所以，或 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 22. 已知：如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上以每秒1个单位的速度由C向B运动． （1）求梯形的面积S与时间t的函数关系式． （2）t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）在线段上是否存在一点Q，使得为菱形．若存在求t值，若不存在，说明理由． （4）当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或或 【解析】 【分析】题目主要考查函数解析式的确定，平行四边形的性质，菱形的性质及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据梯形的面积公式就可以表示出S与t的函数关系式． （2）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出t的值． （3）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出t的值． （4）分四种情况分析：当时，当时，当时，当时，结合图形分别求解即可 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵点D是的中点， ∴， ∵点P在上以每秒1个单位的速度由C向B运动， ∴， ∴梯形的面积为：； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵为菱形， ∴， ∴在中， ∴； 【小问4详解】 当时， ， ∴ 当时，作， ∴， ∴ 当时，作， ∴， ∴， ∴； 当时，作， ∴， ∴， ∴； 综上可得：或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $