12.2.1--12.2.4 三角形的全等培优（动点问题、几何模型、基础与压轴解答题） 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.2.1--12.2.4 三角形的全等培优 （动点问题、几何模型、基础与压轴解答题） 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【与全等三角形有关的动点问题】 1．如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 2．如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____． 【一线三等角模型】 3．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 4．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 5．（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【手拉手模型】 6．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 (2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 (3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 7．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 8．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【倍长中线模型】 9．【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 10．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 11．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【全等三角形的判定与性质基础解答题训练】 12．如图，在中，点在边上，，与相交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，点D在上，，交于点F，，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 14．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 15．如图，在四边形中，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)若，的面积为，求四边形的面积． 16．如图，在中，，点D在边上，作，且，连接，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【全等三角形的判定与性质培优训练】 17．（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 18．【问题情境】如图-1，在中，，于点，由“同角的余角相等”可证得． 证明过程如下： 于点 在中， 【特例探究】（1）如图-2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点． ①求证：； ②、、之间有怎样的数量关系：___________；（直接写出结果） 【归纳证明】（2）如图-3，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； 【拓展应用】（3）如图-4，在中，，．点是边上的三等分点（即），点、在线段上，．若的面积为24，则阴影部分的面积之和为___________．（直接写出结果） 19．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． (1)证明 (2)判断是否成立； 20．数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 21．在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2.1--12.2.4 三角形的全等培优 （动点问题、几何模型、基础与压轴解答题） 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【与全等三角形有关的动点问题】 1．如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点，表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：，， ， 点D为的中点， ， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当，时， ， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当，时， ， ， ， 故点Q的运动速度为， 故答案为：或． 2．如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意可得，，则，分两种情况：①当时，，；当时，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 【一线三等角模型】 3．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 4．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 证明： 在和中 ，， (3) (4) 成立，理由如下： 在和中 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）略 （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）略 5．（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 【手拉手模型】 6．综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 (2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 (3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， (2)证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 7．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴． 【分析】（1）先利用角平分线的意义得出，根据垂直的意义得出，从而可求得，于是可得出，再证明，根据全等三角形的性质可得； （2）如图，过点作，，垂足分别为，，先根据同角的补角相等，得出，再根据证明，从而可根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了手拉手模型，同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），多边形内角和问题，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 8．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2） 略 （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键. 【倍长中线模型】 9．【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 10．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【全等三角形的判定与性质基础解答题训练】 12．如图，在中，点在边上，，与相交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据得，依据“”判定和全等即可； （2）依题意得，根据得，再根据三角形内角和定理得，再根据全等的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， 即的度数为． 13．如图，点D在上，，交于点F，，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ． 在与中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由证，即可解答． （2）由等腰的性质和三角形内角和定理求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 14．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，最后由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在四边形中，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)若，的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． (2) (3)四边形的面积为 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可； （2）根据全等三角形的性质，得，，根据等量代换求出，即可； （3）根据全等三角形的性质，，过点作交于点，根据三角形的面积等底等高，可得，再根据四边形的面积等于三个三角形的面积之和，即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 过点作交于点， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 16．如图，在中，，点D在边上，作，且，连接，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由已知可得，得，推出，即可求证； （2）由全等三角形可得，得，得，由，即得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【全等三角形的判定与性质培优训练】 17．（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 （1）①证明：三点都在直线m上，， ， ， ， 在和中， ； ②成立．理由如下： ，， ． （2）成立．理由如下： 如图2，， 由三角形内角和及平角性质得： ， ，， 在和中， ， ， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系推导全等条件，结合全等三角形的对应边相等分析线段关系． （1）①通过直角条件推导，结合，用证；②利用全等三角形对应边相等，得、，从而推出． （2）通过推导，结合、，用证． 【详解】略 18．【问题情境】如图-1，在中，，于点，由“同角的余角相等”可证得． 证明过程如下： 于点 在中， 【特例探究】（1）如图-2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点． ①求证：； ②、、之间有怎样的数量关系：___________；（直接写出结果） 【归纳证明】（2）如图-3，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； 【拓展应用】（3）如图-4，在中，，．点是边上的三等分点（即），点、在线段上，．若的面积为24，则阴影部分的面积之和为___________．（直接写出结果） 【答案】 （1）①证明：如图：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ② （2）证明：如图：∵，，且, ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】（1）①先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，可得，即可作答；②由①结论得，即得． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答． （3），运用等高算面积，则底的比就等于它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 【详解】（1）①略 ②．理由： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图：∵，∴， 当，分别以为底来计算面积时，边上的高是相等的， 设边上的高为h， ∴根据三角形面积公式知，， ∵的面积为24，即 ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， 即与的面积之和为8． 答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形．熟练掌握等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，角的和差计算，线段的和差计算，三角形面积公式，是解题的关键． 19．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． (1)证明 (2)判断是否成立； 【答案】(1) 证明：∵将绕点B按逆时针方向旋转至， ∴， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解：成立，理由如下， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴成立． 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据旋转的性质得出，，，然后证明即可； （2）根据全等三角形的性质，进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ； (3)． 【分析】（）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 21．在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $