第10章 数的开方 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

第10章 数的开方 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【平方根与立方根概念的理解】 1．已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数的值为（     ） A． B． C． D． 2．“的算术平方根”用符号表示为（     ）． A． B． C． D． 3．下列各数没有平方根的是（     ） A．2 B．0 C． D．4 4．下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 5．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【求平方根或立方根】 6．的平方根是（     ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（     ） A．－16 B．16 C．－2 D．2 8．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． 10．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【利用平方根的非负性求解】 11．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 12．关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 13．已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【估算无理数的取值范围】 14．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 15．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 16．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【平方根与立方根的计算规律问题】 17．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 18．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 19．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 20．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【平方根与立方根的综合应用】 21．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 22．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 23．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【平方根的整数或小数部分】 24．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 25．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 26．大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_____． ②当是6的倍数时，且，则n的值为_____． 27．阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【实数的混合运算】 28．解方程： (1) (2) 29．计算：． 30．计算：． 31．计算：． 32．计算： 【实数的分类】 33．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④…（每相邻两个之间的个数逐渐多），⑤，⑥ 有理数集合：{_________________…}；无理数集合：{_________________…}； 正实数集合：{_________________…}；整数集合：{___________________…}． 34．把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间0的个数逐次加1） (1)整数集合：{                    …}． (2)有理数集合：{                   …}． (3)无理数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 【比较实数的大小】 35．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 36．比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 37．对于实数，，我们定义符号的意义为当时，，当时，，如：，． 根据以上材料回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，求的取值范围． 38．对于两个数，，我们定义： ①表示这两个数的平均数，例如； ②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题： (1)填空：________，若，则________； (2)已知，求的取值范围； (3)已知，求和的值． 【实数与数轴】 39．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 40．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【平方根与立方根概念的理解】 1．已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一个正数的平方根分别为和， ，解得， ， 则这个正数的值为. 2．“的算术平方根”用符号表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个非负数的平方等于，那么这个非负数就叫做的算术平方根，以及算术平方根的表示方法：非负数的算术平方根记作；即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根用符号表示为． 3．下列各数没有平方根的是（     ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴没有平方根． 4．下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意； D、负数有立方根，故D项不符合题意． 故答案为C． 5．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； B．，所以，的立方根是，因此本选项错误，不符合题意； C．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； D．，所以，是的平方根，因此本选项正确，符合题意； 【求平方根或立方根】 6．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 7．若，则的值为（     ） A．－16 B．16 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 8．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义，逐一计算每个选项的结果，判断其运算是否正确． 【详解】解：选项，，运算正确，故符合题意； 选项，，运算错误，故不符合题意； 选项，是的算术平方根，结果为，不是，运算错误，故不符合题意； 选项，，运算错误，故不符合题意． 9．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【详解】解：，的相反数为， 即的相反数为． 10．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 【利用平方根的非负性求解】 11．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 12．关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【答案】D 【分析】根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 13．已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将用含的式子表达出来，再结合为负数的条件列出不等式分析求解． 【详解】解：由，得， 由二次根式有意义的条件，得，即． 为负数， ，代入的表达式得， 移项得， 需要找到的最大值． 设，， 在时随的增加而增加， 在时随的增加而减少， 又在时也随的增加而减少， 在时随的增加而减少， 当时，取得最大值， ． 【估算无理数的取值范围】 14．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 15．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 16．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 【平方根与立方根的计算规律问题】 17．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 18．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 19．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2026行从左向右数第2026个数是2026， ∴第2026行从左向右数第2025个数是． 20．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 【平方根与立方根的综合应用】 21．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 22．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是． 23．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义列出关于，的方程，解方程求出，，再估算，求出其整数部分即可； （2）把（1）中所求，，的值代入所求代数式进行计算，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：由题可得：，， ，， ∵，即，是的整数部分， ∴．   （2）解：，   ，   的平方根为． 【平方根的整数或小数部分】 24．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）先判断及，进而可求解； （2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解； （3）设，根据正方形的面积为 ，由，，当较小时，省略，得 ，进而可求解； 【详解】（1）解：①， ， 整数部分的值为； ②， ， 整数部分的值为． （2）∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． （3）∵面积为的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ∵， ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． 25．我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 【答案】(1)3；4 (2)30 (3)①1②4，5，6③9，10，11，12，13④ 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （3）①直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；②直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；③直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；④直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3； ∵， ∴， ∴的整数部分是4； （2）解：∵的整数部分是5， ∴， ∴， ∴可以取30； （3）解：①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2， 所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到，5，6． ③因为的整数部分是3， ∴， ∴； 又的整数部分是3， ∴， ∴， ∴， 所以同时满足两个条件的正整数； ④当与的整数部分为k时， 由当的整数部分为k时，得； 由的整数部分为k时，得，即， 取两者的公共部分可得，正整数的取值范围为． 26．大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_____． ②当是6的倍数时，且，则n的值为_____． 【答案】(1)3， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3，； （2）解：， 的整数部分是， ∴， ， 的整数部分是，即， ； （3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是5， ∴； ②是6的倍数，且， ， ， ． 故答案为：①；②． 27．阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． 【实数的混合运算】 28．解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）把方程的两边同时开方得到两个关于的一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出方程的解； （2）把方程两边同时开立方得到一个关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同时除以可得：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 解得：， 方程的解为． 29．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根与立方根，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 30．计算：． 【答案】 【分析】先根据算术平方根、立方根的性质计算，再计算有理数的加减法即可． 【详解】解：       ． 31．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 32．计算： 【答案】 【分析】根据求解即可； 【详解】解：原式； 【实数的分类】 33．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④…（每相邻两个之间的个数逐渐多），⑤，⑥ 有理数集合：{_________________…}；无理数集合：{_________________…}； 正实数集合：{_________________…}；整数集合：{___________________…}． 【答案】有理数集合：{②③⑤⑥…}；无理数集合：{①④…}； 正实数集合：{①②④⑥…}；整数集合：{⑤⑥…} 【详解】解：是无理数，是正实数， 是有理数，是正实数， 是有理数， …（每相邻两个之间的个数逐渐多），是无理数，是正实数， 是有理数，是整数， ，是有理数，是正实数，是整数， ∴有理数集合：{②③⑤⑥…}；无理数集合：{①④…}； 正实数集合：{①②④⑥…}；整数集合：{⑤⑥…}． 34．把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间0的个数逐次加1） (1)整数集合：{                    …}． (2)有理数集合：{                   …}． (3)无理数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 【答案】(1)③④⑥ (2)①③④⑥ (3)②⑤⑦⑧ (4)③⑥⑦ 【分析】先化简含开方、运算的数，再根据整数、有理数、无理数、负实数的定义逐一分类即可． 【详解】（1）解：③，是整数，④0是整数，⑥，是整数， ∴整数集合：{③④⑥…}． （2）解：①是分数，是有理数，③，是整数，是有理数，④0是整数，是有理数，⑥，是整数，是有理数， ∴有理数集合：{①③④⑥…}． （3）解：②开立方开不尽，是无理数，⑤开平方开不尽，是无理数，⑦含无理数，是无理数，⑧（相邻两个3之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数， ∴无理数集合：{②⑤⑦⑧…}． （4）解：③，是负整数，是负实数，⑥，是负整数，是负实数，⑦是负无理数，是负实数， ∴负实数集合：{③⑥⑦…}． 【比较实数的大小】 35．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对两个正根式作6次乘方，转化为有理数比较大小． （2）先比较立方根的大小，再推导负数的大小关系． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴，； ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∴． 36．比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法则． 利用平方法逐项比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，，且， ∴． 37．对于实数，，我们定义符号的意义为当时，，当时，，如：，． 根据以上材料回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）根据所给的定义可得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 38．对于两个数，，我们定义： ①表示这两个数的平均数，例如； ②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题： (1)填空：________，若，则________； (2)已知，求的取值范围； (3)已知，求和的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料的定义直接求解即可得到答案； （2）根据表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；列出不等式求解即可得到答案； （3）由题中材料的定义直接求解即可得到答案，结合列出二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， 解得； （3）解：根据材料中的定义，结合 ，, ， ,, ,即, 联立方程组得, 解得． 【实数与数轴】 39．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 40．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $