3.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用性质求椭圆方程. 数学抽象数形结合 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 数学应用 复习回顾 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O a2-c2=b2 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．所以，本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究它们的几何性质． 这节课，我们用椭圆方程 (a>b>0)来研究椭圆的几何性质. 探索新知 O x y F1 F2 M (-c,0) (c,0) y O x F1 F2 M (0,-c) (0,c) 探索新知 1.范围: -a≤x≤a，-b≤y≤b 说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里. 由 即 同理 即 用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横纵坐标取值范围. 探索新知 观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形． 如何利用方程说明椭圆的对称性？ 2.对称性: 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 从图形上看， 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成－x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成－y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成－x，同时把y换成－y方程不变，图象关于原点成中心对称。 Y X O P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 探索新知 你认为椭圆 上哪些点比较特殊? 为什么?如何得到这些点的坐标? 3.顶点: 椭圆与y轴的交点:令 x=0,得y =±b， F1 F2 x O y B1(0, -b)， B2(0, b) 椭圆与x轴的交点:令 y=0,得x =±a， A1(-a, 0)， A2(a, 0) 椭圆的顶点 A1 A2 B1 B2 短轴 长轴 2a 2b a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长 A1(-a, 0)， A2(a, 0) B1(0, -b)， B2(0, b) 探索新知 问题：扁平程度是椭圆的重要形状特征，如何用一个适当的量刻画椭圆的扁平程度？ 保持长半轴长a不变,改变椭圆的半焦距c,可以发现,c越接近a,椭圆越扁平. x y O 类似地,保持c不变,改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平;而当a,c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变. 这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度. 探索新知 4.离心率: 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： [2]离心率对椭圆形状的影响： 0<e<1 1）e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就越扁 2）e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭圆就越圆 [3]e与a,b的关系: 当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆. 探索新知 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (±a,0)、(0,±b) (±c,0) (±b,0)、(0,±a) (0 ,±c) 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 长半轴长为a, 短半轴长为b.(a＞b) -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b -a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b 长半轴长为a, 短半轴长为b.(a＞b) 椭圆的基本性质 小试牛刀 3.离心率相同的椭圆是同一个椭圆.(　　) × × × √ 典例分析 解：把原方程化成标准方程，得 于是 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 两个焦点坐标分别 F1(-3,0)和F2(3,0)， 离心率 四个顶点坐标分别是 探索新知 变式1、求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 探索新知 探索新知 探索新知 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 探索新知 解　当椭圆的焦点在x轴上时， 由题意，得a＝3， 由题意，得b＝3， 把b＝3代入，得a2＝27， 探索新知 归纳总结 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤： (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆标准方程. 探索新知 变式3、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为____________. 因为椭圆的焦点在x轴上， 探索新知 √ 解析　由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)， ∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0， 探索新知 归纳总结 (2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.求离心率的范围时,应根据题意建立a,c的不等式,结合e∈(0,1)确定离心率的范围. 探索新知 课堂小结 课堂检测 D 课堂检测 2.已知椭圆的离心率为 焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， √ 课堂检测 B 课堂检测 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 √ 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点. 依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， 课后作业 课本第112页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 1.椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　　) 2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　　) 4.设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).(　　) 变式2、设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，). 变式2、设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. ②当m＞4时，a＝，b＝2， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2， 顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0). ∴c＝， 解　依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0). 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)过点(3,0)，离心率e＝. 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3， 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为e＝，所以＝， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 解析　由题意，得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. ＋＝1 例3、已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. ∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac. ∴e＝－(舍)或e＝. (1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解;若已知a,b或b,c,可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解. 变式4.已知椭圆 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为____________. 解析：由 ，知 是直角三角形， 所以 ，即 ，所以 . 因为 ， ，所以 . 1.椭圆的范围； 2. 椭圆的对称性； 3. 椭圆的顶点； 4.椭圆的离心率. 1.若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的焦距为( ) A. B. C. 或 D. 或 解析：若椭圆的焦点在x轴，则离心率 ，得 ，此时焦距 ， 若椭圆的焦点在y轴，则离心率 ，得 ，此时焦距 ，所以该椭圆的焦距为 或 .故选：D A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　由题意知c＝3，＝， ∴椭圆的方程为＋＝1. ， A. B. C. D. ∴cos 60°＝＝， 即椭圆的离心率e＝，故选A. $