精品解析：湖北武汉光谷未来学校2026-2027学年上学期九年级数学9月阶段学情检测试题

2026-2027光谷未来九（上）九月月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. ， B. 2，3 C. ， D. ，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，先把一元二次方程化为一般式，根据．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程整理得， ∴二次项系数和常数项分别为2，3． 故选：B． 2. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 3. 一元二次方程配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，先把等式左边的4移项到右边，再加上一次项系数的一半的平方即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 同时加上一次项系数的一半的平方得，， ∴， 故选：C ． 4. 如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A. B. C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 5. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律即可得出答案，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为：， 故选：D． 6. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．设每天的平均增长率为x，根据“第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人”，可得出方程． 【详解】解：设每天的平均增长率为x，那么依题意得， 故选：D． 7. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则列方程可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：宽比长少一十二步，且设宽为x步， 长为步， 又直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）， 根据题意可列出方程． 即： 故选：A． 8. 已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小关系，将代入比较即可． 【详解】解：∵将点在函数上， ∴对于：， 对于：， 对于：， ∴ ， ∴ 故选：B. 9. 已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（ ） A. B. 2.25 C. 或 D. 或2.25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根．熟练掌握一元二次方程的根的定义 、根与系数的关系 以及根的判别式，是解题的关键． 分情况分析条件  的含义，当时， 当时，两种情况解答． 【详解】解：∵ ∴或． 当时，， 代入原方程，得． 化简，得． 即． ∴． 此时，，符合． 当时，， ∴． 解得． 此时原方程为 ． 即 ． 根为 ​． 满足，符合条件． ∴k的值为 或 ． 10. 如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P在上运动时，，则，根据图2可得，当时，，求出，得出动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D，当点P在上运动时，．当点P在上运动时，．将点代入即可求出． 【详解】解：当点P在上运动时，， 则， 根据图2可得，当时，，解得：， 即动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D， 当点P在上运动时，． 当点P在上运动时，． 将点代入可得，解得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到2a-1=2，由此求得a的值． 【详解】解：依题意得：2a-1=2． 解得a=． 故答案是：． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 12. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 13. 元旦将至，若2班的一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够读懂题意列出方程是解题关键． 这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡72张建立方程即可． 【详解】解：这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡， 又∵全组共送贺卡72张 ∴可列出方程 故答案为： ． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，将高度代入关系式，建立关于t的方程，求解即可得到所需时间． 【详解】由题意，令，得方程， 整理得：， 两边同时除以，得：， 因式分解得：， 解得或， 经检验，和均满足，故符合题意， 故答案为：或． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 16. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则；⑤，其中说法正确的有________． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点坐标可判断a、b、c的符号，据此可判断①；根据对称性可得二次函数的图象过点，则当时，，据此可判断②；根据对称轴处函数有最小值可判断③；根据交点式可判断④；根据，得到，据此可判断⑤． 【详解】解：∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象过点， ∴由对称性可知，二次函数的图象过点， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴（为任意实数）， ∴，故③正确； ∵函数图象与x轴交于点，， ∴， 若方程的两根为，，且， ∴方程的两根为，， ∴二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤． 三、解答题（共8题，共72分） （教材P15） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）抛物线的解析式为________________； （2）当时，的取值范围是________________； （3）当时，的取值范围是________________； （4）当时，的取值范围是________________． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把点代入抛物线解析式，解得值即可； （2）由抛物线与轴交于点，当时，得出点的坐标，用待定系数法求出直线解析式，再根据得抛物线图像在直线上方，由图像可知的取值范围； （3）由抛物线顶点式，可知抛物线开口向下，顶点为，，结合抛物线在范围内，两个端点和即可得出的取值范围； （4）当时，的取值范围，可以将它分为两部分分别求解再合并答案：求①当，即时，的范围；求②当，即时，的范围；综上可得，当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 把点代入抛物线解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即：抛物线解析式为 【小问2详解】 ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵ ∴抛物线图像在直线上方， 又∵抛物线与直线的交点为点和点， ∴由图像可知，此时的取值范围为； 【小问3详解】 ∵抛物线顶点式，可知抛物线开口向下，顶点为，， 又结合抛物线在范围内，两个端点点和点， ∴的取值范围为：； 【小问4详解】 ①当，即， ∵时，，两根为，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当，即时，的范围为； ②当，即， ∴， 令，解得，， 又因为的开口向下， ∴当时，的范围为或； 综上可得，当时，的取值范围是：或． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明： 无论取任何实数时， 无论取任何实数，原方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解关于的一元二次方程得 ，， ∵原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7， ∴或 分别解两个不等式组得：无解或 ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 20. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式，直线的解析式 （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线与轴交于点，与轴交于点，把和代入抛物线即可求出抛物线解析式；由抛物线与轴交于、两点，令即可求出点坐标，再设直线的解析式为，代入，即可求出直线的解析式； （2）由点在抛物线上，点在直线上，设，，面积可以看作是以为竖直高，水平底为，水平距离的三角形面积，化为顶点式为，即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴把和代入抛物线得，解得， ∴抛物线的解析式为：； ∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，即，解得， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 当点在线段上运动时，设点的横坐标为，则， ∵点在抛物线上，点在直线上， ∴，， ∴， 求面积可以看作是以为竖直高，水平底为，水平距离的三角形面积， ∴， 化为顶点式， ∵， ∴抛物线开口向下，在时，最大，面积的最大值为． 21. 如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．每个小正方形的边长为1．点，，都是格点，点是网格线上的一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示，每问的画线不超过四条． （1）在图（1）中，先画的中点，连接，并在的延长线上画点，使； （2）在图（2）中，先在线段上画点，使得，再在线段上画点，使． 【答案】（1）如图，点、点为所求， （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）先利用格线平分的性质，画出的中点O，再连接并延长交第6条格子竖线于点，为关于点的对称点，连接即可； （2）取点，连接并延长交于点，取点，连接交于点，利用勾股定理和三角形内角和进行转化即可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 根据勾股定理可得，， ， 为等腰直角三角形， ，即； 取点可得为等腰直角三角形， ， , ∴． 图略． 22. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分三种情况讨论上的最小值，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提， ∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值： 时，； 时，； 由于， ， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ， 的取值范围为． 23. 在中，，，点D在射线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． （1）如图1，，求证：； （2）如图2，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）若，，点D在射线上运动时，连接，则线段的最小值为______（直接写出结果）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） ， 证明：如图，在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的判定定理得到，进而证明四边形是平行四边形，得出； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证； （3）同（2）法，求得，点在射线上运动，且，当时，线段取得最小值，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴点在射线上运动，且， 当时，线段取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 即线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质和勾股定理．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C，，． （1）求二次函数解析式． （2）如图（1），过直线下方二次函数图象上点M，作直线，交y轴于点N．若平分线段，求点M的坐标． （3）如图（2），点F是二次函数图象上第一象限的一个动点，作轴于点G，过点F作与二次函数图象只有唯一公共点F的直线，交y轴于H点，过点F的另一直线交抛物线于E，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）直线必过一定点，这个定点的坐标为． 证明：设，，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线与轴的交点坐标为，如图， 设直线的解析式为， 联立得，整理得， ∵直线与抛物线有唯一交点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∴， 整理得， ∴，即， 将代入直线的解析式， 整理得：， ∴， ∴当即时，直线过定点， 当时，，即， ∴定点为． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得直线、的解析式，设，再求得直线的解析式为，求得，再根据平分线段，计算即可求解； （3）设，，求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点坐标为，设直线的解析式为，根据直线与抛物线有唯一交点，求得直线的解析式为，根据平行线的判定和性质结合角平分线的定义求得，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B的右边），且， ∴，， ∵， ∴， ∴将，代入得， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴线段的中点坐标为， 即， ∵平分线段， ∴点在直线上， ∴，整理得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027光谷未来九（上）九月月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A. ， B. 2，3 C. ， D. ，3 2. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 3. 一元二次方程配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A. B. C. 1 D. 或1 5. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则列方程可得（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（ ） A. B. 2.25 C. 或 D. 或2.25 10. 如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 12. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 13. 元旦将至，若2班的一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则可列方程为_________． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为_____． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 16. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则；⑤，其中说法正确的有________． 三、解答题（共8题，共72分） （教材P15） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）抛物线的解析式为________________； （2）当时，的取值范围是________________； （3）当时，的取值范围是________________； （4）当时，的取值范围是________________． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围． 20. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值． 21. 如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．每个小正方形的边长为1．点，，都是格点，点是网格线上的一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示，每问的画线不超过四条． （1）在图（1）中，先画的中点，连接，并在的延长线上画点，使； （2）在图（2）中，先在线段上画点，使得，再在线段上画点，使． 22. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 23. 在中，，，点D在射线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． （1）如图1，，求证：； （2）如图2，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）若，，点D在射线上运动时，连接，则线段的最小值为______（直接写出结果）． 24. 二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C，，． （1）求二次函数解析式． （2）如图（1），过直线下方二次函数图象上点M，作直线，交y轴于点N．若平分线段，求点M的坐标． （3）如图（2），点F是二次函数图象上第一象限的一个动点，作轴于点G，过点F作与二次函数图象只有唯一公共点F的直线，交y轴于H点，过点F的另一直线交抛物线于E，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $