精品解析：上海市川沙中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

上海市川沙中学2026学年第一学期高一阶段一数学考试试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（满分36分） 1. 已知全集为R，集合，则__________. 2. 已知集合，集合，且，则实数__________. 3. “”是“”的_____________条件 4. 设、为正数，且，则的最大值为______． 5. 若集合，，则________________________． 6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________________________． 7. 若命题“关于的不等式对恒成立”为真命题，则实数的取值范围是______． 8. 若，则的最小值是______． 9. 已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围为______． 10. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为________________________． 11. 已知，若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围是________________________． 12. 设集合，，用表示集合中所含元素的个数，若，则实数的值组成的集合为__________. 二、选择题（满分12分） 13. 集合的非空子集个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知实数，为正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 16. 对集合的每一个非空子集定义“交替和”如下：把子集中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是等等．则的所有非空子集的“交替和”的总和是（ ） A. B. C. D. 二、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. （1）比较代数式与的大小． （2）已知，，都是正数，，，，试用反证法证明，，至少有一个不小于． 18. 已知集合，. （1）若，求集合，及； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 19. 现有某服装制造公司，设公司与服装贸易中心距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：公司每年仓库存储费用（单位：万元）与成反比；每年运输费（单位：万元）与成正比．已知公司与服装贸易中心距离为1时，和分别为万元和万元． （1）分别求，关于的函数表达式； （2）当这家公司与服装贸易中心距离为多少千米时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 20. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）是否存在实数，满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”.若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若存在实数和实数，使得，求实数的取值范围． 21. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2026学年第一学期高一阶段一数学考试试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（满分36分） 1. 已知全集为R，集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】因为全集为R，集合， 所以， 故答案为： 2. 已知集合，集合，且，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 3. “”是“”的_____________条件 【答案】必要不充分 【解析】 【详解】“”不能推出“”，所以充分性不具备； “” 能推出“”，所以必要性具备. 故答案为必要不充分 4. 设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 5. 若集合，，则________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解不等式得，所以， ， 所以， 则 6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集为，可知且，再将代入，化简后即可求得解集为. 【详解】不等式的解集为， 可知且，即. 于是，因为， 所以，所以解集为. 7. 若命题“关于的不等式对恒成立”为真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合判别式法求得的取值范围. 【详解】依题意，关于的不等式对恒成立， 当时，恒成立. 当时，要使不等式恒成立，则需， 解得. 当时，不等式不恒成立. 综上所述，的取值范围是. 8. 若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】由得， 则， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值是. 9. 已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】由，可知满足不等式， 代入得，解得或， 由，可知不满足不等式， 即，解得， 联立不等式组，解得， 综上，实数的取值范围是. 10. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理得到两根之积与两根之和与系数的关系，得到方程，解得，再验证时，原不等式解集为即可 【详解】由题设可得. 由韦达定理， 当时，原不等式无解，不满足题意. 当时，， 所以，解得. 将代入原式可得关于的不等式 此时一元二次方程满足判别式， 故的解集为，满足题意，所以 11. 已知，若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】分、和三种情况取绝对值求解不等式，再根据不等式的解集中恰有个整数解进行求解即可. 【详解】当时，不等式等价为即， 若，则不等式的解为又，此时不等式的解集中不止个整数解； 若，因为，所以，故不等式无解； 当时，不等式等价为即，解得，又，此时不等式的解集中没有整数解； 当时，不等式等价为即， 若，则不等式的解为又，此时不等式的解集中不止个整数解； 若，则不等式的解为，又，此时不等式的解集中不止个整数解； 若，则不等式的解为又，所以不等式的解为，因为不等式的解集中恰有个整数解， 所以，解得. 12. 设集合，，用表示集合中所含元素的个数，若，则实数的值组成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，又，所以或，因为，分情况讨论方程的实数解的个数，即可求出的值. 【详解】因为，所以， 又，所以或， ， 故， 若，则方程无解或者有唯一解， 若，则方程为，该方程无实数解，符合题意， 若，则方程有唯一解，则，解得， 此时方程即为，， 故此时方程有唯一解，此时； 若，则方程有除外的两个解， 若无解，则，此时无解，不符合条件； 若的解为，则，此时有唯一解，不符合条件； 若有解且实数解，即，则且有唯一实数解， 即，解得或. 时，，符合条件； 时，，不符合条件. 综上，或或，故实数的取值集合为. 二、选择题（满分12分） 13. 集合的非空子集个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】集合的子集为 因为要求非空的，故共有3个． 故答案为B． 14. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：当取，此时，但，故不成立，故A错误； 选项B：当取，此时，但，故不成立，故B错误； 选项C：当时，，不等式不成立，故C错误 选项D：因为函数在上是单调递增函数，因此当时，必有，该不等式恒成立，故D正确. 15. 已知实数，为正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，为正数，所以， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是. 16. 对集合的每一个非空子集定义“交替和”如下：把子集中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是等等．则的所有非空子集的“交替和”的总和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将的所有子集分为两类，含2026和不含2026的，根据子集的个数公式，先设不含2026的所有子集的交替和之和，进而求解含2026的所有子集交替和之和，即可求解. 【详解】的非空子集分为两类：一类是含2026的子集，一类是不含2026的子集， 若集合是不含2026的子集，其元素从中任意选取，则共有个这样的子集， 对于中的一个子集，的交替和记为,（规定空集的交替和为0）， 则设的交替和之和记为， 若集合是含2026的子集，则，则的子集共有个， 对应于中的一个子集，由于中最大的元素是2026， 则的交替和,因此的交替和之和为， 因此的交替和之和为. 二、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. （1）比较代数式与的大小． （2）已知，，都是正数，，，，试用反证法证明，，至少有一个不小于． 【答案】 （1） （2）假设都小于，即. 因为都是正数，所以都是正数， 三式相乘得① ， 另一方面，， 对任意正数，有，则. 因为，所以， 则② ， ①与②矛盾，故假设不成立. 因此，中至少有一个不小于. 【解析】 【分析】（1）作差得二次三项式，通过配方得到.配方后，由完全平方的非负性立即可判断差恒大于，从而对任意实数都成立； （2）设 .由已知都是正数，三个不等式可以相乘，得 ①；另一方面，凑出的形式，结合对任意正数，，得到② ，①与②矛盾，说明假设不成立，原结论成立. 【详解】（1）， 因为，所以，即， 所以. （2）略. 18. 已知集合，. （1）若，求集合，及； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，,或； （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合和当时的集合，再求出即可；（2）由是的充分条件，可知，由集合间的包含关系求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由题可知，，则，解得或，所以集合或， 当时，， 所以或； 【小问2详解】 由，又，所以， 因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此，若是的充分条件，实数的取值范围为或. 19. 现有某服装制造公司，设公司与服装贸易中心距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：公司每年仓库存储费用（单位：万元）与成反比；每年运输费（单位：万元）与成正比．已知公司与服装贸易中心距离为1时，和分别为万元和万元． （1）分别求，关于的函数表达式； （2）当这家公司与服装贸易中心距离为多少千米时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】（1）， （2）当这家公司与服装贸易中心距离千米时，两项费用之和最小，最小值为万元 【解析】 【分析】（1）根据已知成反比和正比的条件，分别设和，又已知当时，、，代入即可求出，从而求出，关于的函数表达式； （2）利用基本不等式即可求出最小值，及取最小值时的的值. 【小问1详解】 由题可知，与成反比，则设， 当时，，所以，因此， 又与成正比，则设， 当时，，所以，因此； 【小问2详解】 设两项费用之和为万元，则， 整理得，又， 所以根据基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时取最小值为， 因此，当这家公司与服装贸易中心距离千米时，两项费用之和最小，最小值为万元. 20. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）是否存在实数，满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”.若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若存在实数和实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，理由如下： 当时，原不等式化为，解得，则原不等式解集为， 满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 当时，原不等式化为，则原不等式解集为， 不满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 当且时,，对方程有， 所以时，方程有两个不相等实数根分别为、， 时，方程无根， 时，方程有两个相等实数根为， 又时，一元二次函数图象开口向上， 时，一元二次函数函数图象开口向下， 所以当时图象开口向上且，原不等式解集为， 当时图象开口向下且与x轴无交点，原不等式解集为， 当时，图象开口向下且与x轴有一个交点，原不等式解集为， 当时图象开口向下且，原不等式解集为， 所以当且时均不满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 综上，存在满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”. （3）实数的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）化简得到一元二次不等式，利用相应一元二次函数图象即可得解； （2）分类讨论解出不等式解集M即可由题意得解； （3）由题意结合（2）中不等式解集情况即可列出关于k的不等式组计算求解. 【小问1详解】 若，解原不等式等价于解不等式， 对方程有， 所以函数图象与轴无交点，图象开口向上， 所以不等式的解集为R，即原不等式解集为R， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知且、， 所以， 所以实数的取值范围为． 21. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $