专题05 直线的点斜式方程·两点式方程·一般式方程题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题05 直线的点斜式方程·两点式方程·一般式方程题型突破（六大题型） 考点01 直线的点斜式方程考点 考点02 直线两点式方程考点 考点03 直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点04 由一般式方程判断直线的平行 考点05 由一般式方程判断直线的垂直 考点06 直线过定点问题 考点01 直线的点斜式方程考点 1．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 2．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 3．直线和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 4．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 7．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 8．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 9．在中，，分别以为边向外部作正，连接分别交于点.则的值为________. 10．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 考点02 直线两点式方程考点 11．经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 12．四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程．13．两点式：已知直线上的两点，（其中，），则方程为______． 14．（多选）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 15．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 16．已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 17．设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 19．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 考点03 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22．已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 23．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 24．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 25．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 26．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 27．（多选）已知直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 28．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 29．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 30．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 考点04 由一般式方程判断直线的平行 31．直线：和直线：互相平行，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 32．已知直线：，：．且，则实数________________． 33．（多选）若直线与直线平行，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 34．求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 35．若直线与平行，则______． 36．已知直线：，：，若，则实数（     ） A．1 B． C． D．0 37．（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 39．已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 40．已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 考点05 由一般式方程判断直线的垂直 41．若直线与直线垂直，则（   ） A．3 B． C． D． 42．已知点不在直线上，则方程表示（    ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点且垂直于的直线 D．不过点且平行于的直线 43．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（  ） A．1 B． C．4 D． 44．已知直线和垂直，则实数（     ） A． B． C． D． 45．在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 46．与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 47．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 48．若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 49．已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 50．（多选）已知直线，则（    ） A．直线经过定点 B．直线经过定点 C．存在实数，使得 D．当时， 考点06 直线过定点问题 51．（多选）已知直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l的一个方向向量为 C．若直线l在x轴上的截距为3，则 D．若，则直线l的倾斜角α的取值范围为 52．已知直线，直线过定点__________；过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于，直线的方程为__________． 53．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴上的截距是 B．一条直线的斜率为，则该条直线的倾斜角为 C．已知直线：，直线恒过点 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 54．直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 55．（多选）下列四个命题中正确的有（     ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．直线：恒过定点 C．直线不过第四象限，则或 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 56．（多选）设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（ ） A． B．面积的最大值为 C．的最大值为 D． 57．（多选）已知直线，则下述正确的是（      ） A．直线的斜率不可能等于 B．直线的斜率有可能不存在 C．若直线的横纵截距相等，则 D．直线可能过点 58．（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 59．设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 60．（多选）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线的点斜式方程·两点式方程·一般式方程题型突破（六大题型） 考点01 直线的点斜式方程考点 考点02 直线两点式方程考点 考点03 直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点04 由一般式方程判断直线的平行 考点05 由一般式方程判断直线的垂直 考点06 直线过定点问题 考点01 直线的点斜式方程考点 1．（多选）下列说法正确的是（ ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据斜率与方向向量的关系，可得其正误；对于B，根据直线方程的表示，通过反例，可得其正误；对于C，根据两点距离公式，结合将军饮马模型，可得其正误；对于D，求得边界直线的斜率，结合图象，可得其正误. 【详解】对于选项A：设直线上的两个不同点，则，故A正确； 对于选项B：由当时，，解得， 方程表示的直线过定点， 但直线也过，不能由该方程表示，故B错误； 对于选项C：因为直线的斜率为，，且，， 即，所以，故C正确； 对于选项D：直线的斜率，直线的斜率， 由题意可作图如下： 因为直线与线段有交点，所以斜率的取值范围为，故D正确. 2．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 3．直线和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【详解】由题意两直线的斜率分别为和，且都过点， 因为且， 所以两直线相交但不垂直. 4．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 5．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 6．过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 7．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 8．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线绕原点顺时针旋转，求出旋转后的直线的斜率，再结合平移知识，可得到所求直线. 【详解】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 9．在中，，分别以为边向外部作正，连接分别交于点.则的值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，运用平面几何知识得出各个点的坐标，通过直线联立得到的坐标，运用两点间的距离公式得到长度，作比得到答案，或者取的中点为，结合平面几何知识可证明四边形为平行四边形，结合相似形可求线段长的比值. 【详解】法1：因为为直角三角形且， 故不妨设. 如图，取的中点分别为，则， 因为为等边三角形且，故且， 故，而为等边三角形，故且， 故，故，故，而， 故四边形为平行四边形，故，故 而，故. 法2： 如图，以线段所在直线为轴，以线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以，. 由几何关系得，，， 所以，直线，所以，所以’ 同理直线，联立，解得，所以， 则’ 所以. 10．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 考点02 直线两点式方程考点 11．经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立求出交点坐标，进而求出直线方程. 【详解】联立，得，即，解得或， 所以两抛物线的交点为，， 故过两个交点的直线方程为. 12．四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 13．两点式：已知直线上的两点，（其中，），则方程为______． 【答案】 【分析】略 【详解】略 14．（多选）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 【答案】AD 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确. 故选：AD. 15．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 16．已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】直线的方程为;直线方程为即;直线的方程为 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 17．设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的方程，两式相减即可求解. 【详解】由已知可得直线，直线，两式相减得，则直线与的交点满足此方程，又因为原点也满足此方程，所以此方程即为直线的方程． 故选：A． 18．（多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 19．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 20．（多选）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 【答案】CD 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 考点03 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的截距式得到结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线， 所以. 22．已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有： 将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 23．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 24．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 25．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 26．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. 27．（多选）已知直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】根据两直线的位置关系即可判断AB；分别求出直线在坐标轴上的截距，结合计算即可判断C；结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】A：当时，，解得或，故A错误； B：当时，，解得，故B正确； C：对于直线，令，得，令，得， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； D：由题意知当时，：，斜率，在y轴上的截距， 所以直线过第二三四象限，故D正确. 故选：BCD. 28．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参； （2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 29．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 30．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】D 【分析】利用代入法，结合截距的意义、直线平移的特征、直线两点式的特征逐一判断即可. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，令，得，则横截距为，故B错误. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D 考点04 由一般式方程判断直线的平行 31．直线：和直线：互相平行，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】利用两条直线一般式的平行条件列等式求出参数的可能值，再代入验证排除两直线重合的情况，最终得结果. 【详解】、平行，得： ， 整理：，解得或. 当时，，，两条直线完全重合，不符合平行要求，舍去； 当时，，，斜率均为1且截距不同，是平行直线，符合条件. 因此最终. 32．已知直线：，：．且，则实数________________． 【答案】2 【分析】利用两直线平行的充要条件判断即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，直线：，：，满足题意； 当时，直线：，：，两直线重合，不满足题意. 综上所述，. 33．（多选）若直线与直线平行，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用两直线平行的系数关系列式，求出参数后要检验，排除使直线方程不成立或两直线重合的情况. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或. 当时，即为，这显然不成立，所以.经检验，符合题意. 34．求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与直线平行的直线方程满足， 且该直线过点，则，解得， 故该直线方程为． 35．若直线与平行，则______． 【答案】或 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 36．已知直线：，：，若，则实数（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系求解即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得. 当时，：，：，不重合. 所以. 37．（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件. 【详解】对于直线和直线. 由可得，解得或者. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 38．（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 39．已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 40．已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 【答案】C 【分析】先根据与平行求解出的值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据与垂直列出等量关系求解的值，由此可判断C. 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 考点05 由一般式方程判断直线的垂直 41．若直线与直线垂直，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得 ，解得. 42．已知点不在直线上，则方程表示（    ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点且垂直于的直线 D．不过点且平行于的直线 【答案】B 【分析】根据方程的特点，判断其是否过点以及与直线的位置关系. 【详解】将点的坐标代入方程的左边， 可得：，等式成立，因此该直线一定过点， 当时，直线的方程为，其斜率为， 方程可化简为， 即，其斜率为， 因为，且点不在直线上，所以两直线平行， 当时，直线的方程为：，即， 这是一条垂直于轴的直线，方程可化简为： ，即，也是一条垂直于轴的直线， 由于点不在直线：上，所以， 即，两直线不重合，所以两直线平行， 所以方程表示过点且平行于的直线. 43．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（  ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】若直线与直线互相垂直， 则，得. 44．已知直线和垂直，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的位置关系求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 45．在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 46．与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线平行的性质判断选项即可. 【详解】直线斜率为，两条直线平行则斜率相等， A：化为，直线斜率为，A选项不符合； B：化为，斜率为， B选项不符合； C：化为，斜率为，C选项不符合； D：化为，斜率为，D选项符合； 故选：D 47．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 48．若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 49．已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 50．（多选）已知直线，则（    ） A．直线经过定点 B．直线经过定点 C．存在实数，使得 D．当时， 【答案】AD 【分析】对A和B，利用直线方程特点，将方程进行转化，即可求解；对C，利用一般方程形式两直线平行的充分条件，得，利用方程无解，即可求解；对D，当时，分别求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之间的关系，即可求解. 【详解】对于A，由，得到， 由，解得，所以直线经过定点，故A正确， 对于B，由，得到， 由，解得，所以直线经过定点，故B错误， 对于C，由，得到，， 所以方程无解，则不存在实数，使得，故C错误， 对于D，当时，， 直线的斜率为，直线的斜率为，则，所以，故D正确， 故选：AD. 考点06 直线过定点问题 51．（多选）已知直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l的一个方向向量为 C．若直线l在x轴上的截距为3，则 D．若，则直线l的倾斜角α的取值范围为 【答案】AC 【详解】直线，整理得， 故直线恒过点，故A正确； 直线斜率，可取方向向量，而方向向量仅当时， 是直线的方向向量，故B错误； 由题意知在直线上，故，解得，故C正确； ，倾斜角范围，不是，故D错误． 52．已知直线，直线过定点__________；过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于，直线的方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线系方程的性质，求得定点的坐标，设直线的方程为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点， 设过点的直线方程为，可得，即， 因为围成的的面积等于，可得，所以，则， 联立方程组，解得， 所以直线的方程为，即. 53．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴上的截距是 B．一条直线的斜率为，则该条直线的倾斜角为 C．已知直线：，直线恒过点 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】AC 【分析】A选项，令可得纵截距；B选项，根据倾斜角的范围即可判断；C选项，由直线系恒过定点联立方程组求解即可； D选项，截距相等包含为0和不为0两种情况. 【详解】对于A：令，得，则直线在轴上的截距是，故A正确； 对于B：直线倾斜角的取值范围为， 斜率， 若直线的斜率为，仅当且时，才是直线的倾斜角， 若不在这个范围内，则倾斜角为且满足取值范围要求，故B错误； 对于C：整理直线为，由直线恒过定点，则， 解得，即直线恒过定点，故C正确； 对于D：过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程分为两种情况：截距均为0或截距均不为0. 当截距均为0时：即直线过原点，设方程为，代入点得， 即，所以直线方程为； 当截距均不为0 时：设截距为，则直线方程为， 代入得，解得，所以直线方程为， 因此满足条件的方程有2条，故D错误. 54．直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 55．（多选）下列四个命题中正确的有（     ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．直线：恒过定点 C．直线不过第四象限，则或 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】CD 【详解】对于A，若过原点，则直线为； 若不过原点，设直线方程为，则，得或， 则直线方程为或，故A错误； 对于B，直线方程可化为， 由，得，则直线恒过点，故B错误； 对于C，由得或，故C正确； 对于D，设直线方程为， 则平移过后的解析式为， 则，得，故D正确. 56．（多选）设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（ ） A． B．面积的最大值为 C．的最大值为 D． 【答案】BC 【分析】由题意知直线分别过定点，，及，由勾股定理及两点间的距离公式即可求得，即可判断A的正误；再由三角形的面积公式及基本不等式可求得面积的最大值，可判断B正误；由勾股定理及两点间的距离公式可求得，设，，在由三角函数，即可求得的最大值，即可判断C的正误；由基本不等式推论即可求得，可判断D的正误. 【详解】对于A，直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当时，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； 对于B，， 当且仅当时等号成立，B对； 对于C，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由，，知：，当且仅当时等号成立，D错． 57．（多选）已知直线，则下述正确的是（      ） A．直线的斜率不可能等于 B．直线的斜率有可能不存在 C．若直线的横纵截距相等，则 D．直线可能过点 【答案】ABC 【详解】选项 A：由直线得， 当，方程变为，斜率不存在， 当方程变为，斜率， 所以直线的斜率不可能为 0，A 正确； 选项 B：当时，方程变为，此时是垂直于轴的直线，斜率不存在，B 正确； 选项 C：令，得，令，得，由横纵截距相等得， 当，为，截距都是 0，横纵截距相等； 当，得，即，为，横截距，纵截距，相等，C 正确； 选项 D：把代入方程得，即，矛盾，不可能成立，D 错误. 58．（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 59．设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 60．（多选）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $