专题13 抛物线·焦半径·最值·直线与抛物线综合题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题13 抛物线·焦半径·最值·直线与抛物线综合题型突破（六大题型） 考点01 抛物线上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点02 抛物线中焦半径问题 考点03 求抛物线的轨迹方程 考点04 抛物线的几何性质 考点05 直线与抛物线联立弦长问题 考点06 直线与抛物线定点定值问题 考点01 抛物线上点到焦点和定点距离的和、差最值 1．（多选）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 2．已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 4．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 7．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 10．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点02 抛物线中焦半径问题 11．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 13．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 15．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 17．若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 18．已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 19．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 20．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 考点03 求抛物线的轨迹方程 21．已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 22．设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 23．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 24．已知直线与圆相切于点，是圆上一动点，点满足，且以为圆心，为半径的圆恰与相切，则当取最小值时，点的坐标可以为______. 25．（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 27．设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 29．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 30．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并完成了对定义的证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（定点不在定直线上）：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线则（  ） A．方程 表示的曲线是椭圆 B．方程 表示的曲线是双曲线 C．方程表示的曲线是椭圆 D．方程 表示的曲线是双曲线 考点04 抛物线的几何性质 31．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 32．（多选）已知抛物线：，斜率为（）的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点、均在上，则下列结论正确的有（    ） A．的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若，则面积的最小值为 D．若与恰有一个公共点，则该公共点的坐标为 33．（多选）过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（     ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 34．（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（     ） A． B． C． D．在上的投影向量为 35．（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 36．（多选）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 37．（多选）过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（    ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 38．（多选）设分别为直线和曲线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称该值为曲线到直线的距离，记作，已知直线，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 39．（多选）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 40．（多选）已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（    ） A． B．直线经过焦点 C．原点到直线的距离为1 D．抛物线与圆恰有4个公共点 考点05 直线与抛物线联立弦长问题 41．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出相应直线的方程；若不存在，请说明理由. 42．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为 ，点，，且向量与共线． (1)求 的方程． (2)已知动直线 与 交于两个不同的点． （ⅰ）若 过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于． （ⅱ）若 不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程． 43．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，此直线与抛物线交于P，Q两点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知，，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C上，若，求直线FP被C截得的弦长； (3)已知，过抛物线C的焦点F作直线l，l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为，，当时，求的面积. 44．已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 45．已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于两点，点，若直线AC，BC分别与直线交于两点， (1)求抛物线的方程； (2)求以为直径的圆在轴上截得的弦长. 46．已知点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，求弦长； (3)过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 47．已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 48．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为___________. 49．（多选）已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C．当P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 50．已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 考点06 直线与抛物线定点定值问题 51．已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 52．正方体中，是平面内一动点，直线与所成角为定值，若点轨迹为抛物线，则____________. 53．（多选）已知抛物线的焦点为，的所有顶点均在上，且，则（    ） A． B．为定值 C．可能是等边三角形 D．可能是直角三角形 54．（多选）已知为坐标原点，为抛物线上一点，过的焦点的直线交于，两点（不与点重合），过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B． C．直线的斜率之和为定值 D．若直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为 55．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成.已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)如图，已建立适当的直角坐标系，请写出该部分抛物线的方程（注意的范围）：在该封闭图形上截取一个矩形，其中点C、D在线段上，点在抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (2)过抛物线焦点作相互垂直的两条直线，，交抛物线于两点，交抛物线于两点，求证：为定值，并求出该定值. 56．（多选）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线交于两点，设为坐标原点，则（     ） A． B．若为的重心，则 C．若，则 D．若为定值，则 57．（多选）已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（   ） A．是定值 B．以为直径的圆过点 C．对于上的任一点恒成立 D．面积的最小值为2 58．已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点． （i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值； （ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由． 59．（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列选项正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．为定值 C．若为坐标原点，则可能为正三角形 D．的最小值为 60．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 抛物线·焦半径·最值·直线与抛物线综合题型突破（六大题型） 考点01 抛物线上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点02 抛物线中焦半径问题 考点03 求抛物线的轨迹方程 考点04 抛物线的几何性质 考点05 直线与抛物线联立弦长问题 考点06 直线与抛物线定点定值问题 考点01 抛物线上点到焦点和定点距离的和、差最值 1．（多选）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【答案】BC 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，根据条件，可得，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 2．已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线换成标准式，再分析的几何意义，利用抛物线的定义转化从而转化目标式计算出最小值. 【详解】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立， 则的最小值为. 3．已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 4．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 6．（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可. 【详解】 抛物线的焦点， 设,由抛物线定义可知：,已知， 即， 又因为的重心为抛物线的焦点，即代入 得或，因为所以，故A对 抛物线. 因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)， 即的周长，故B对. 的三个顶点到轴的距离之和，故C对. 设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为， 联立得，， 所以直线，两条平行线间的距离：， 即动点到直线的距离的最小值为，故D错. 7．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 8．已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 9．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 10．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 考点02 抛物线中焦半径问题 11．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据垂直的向量表示得到，再根据抛物线的定义结合基本不等式即可求解. 【详解】设，，则，， 因为，所以， 又，，则，整理得， 由抛物线的定义得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 12．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 13．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为.又点在抛物线上，所以， 由得，，即，则， 由焦半径公式可得. 14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 15．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据焦半径公式直接代入求解即可. 【详解】由题，抛物线：的焦点为， 因为点到焦点的距离为6，设， 所以，解得， 所以点的横坐标为4. 16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义求出点的坐标，再计算直线的斜率，进而得到倾斜角 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得， 由抛物线的定义可知， 因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足， 设直线的倾斜角为，，则，解得 所以直线的倾斜角为. 17．若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 18．已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】∵ 抛物线的标准形式为， ∴ ，解得，故抛物线的准线方程为. ∵ 点在抛物线上，由抛物线的定义可知， 又，代入得，解得. ∵ 点位于第一象限，将代入抛物线方程，得，即，解得， ∴ 点的坐标为. 19．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 20．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 考点03 求抛物线的轨迹方程 21．已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 22．设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 23．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 24．已知直线与圆相切于点，是圆上一动点，点满足，且以为圆心，为半径的圆恰与相切，则当取最小值时，点的坐标可以为______. 【答案】或 【分析】设，根据条件，列出等式，可得点P的轨迹方程，再设，根据三角函数的定义，可得的表达式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】设，则，直线与圆相切于点，则， 由以为圆心，为半径的圆恰与相切， 可得， 化简可得，且. 再设，则， 则， 由于对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最大值-2，则取得最小值， 此时或. 25．（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 26．在平面直角坐标系中，点到直线的距离与它到点的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与交于点， ①求的取值范围； ②直线与轴的交点为，若，求． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）①利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； ②根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为点到直线的距离与它到点的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为； （2）①， 因为直线与交于点， 所以， 因此的取值范围为； ②设， 在中，令，得，即 ， 由①可得，， 即， 因此. 27．设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 28．已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 29．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 30．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并完成了对定义的证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（定点不在定直线上）：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线则（  ） A．方程 表示的曲线是椭圆 B．方程 表示的曲线是双曲线 C．方程表示的曲线是椭圆 D．方程 表示的曲线是双曲线 【答案】B 【分析】将选项中曲线方程转化为动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，分别比较常数与1的大小关系，结合圆锥曲线的统一定义，逐一判断即可 【详解】不在直线 上， 对于A，方程化为=， 表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数， 而，所以表示的曲线是双曲线，错误； 对于B，方程化为=， 表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数， 而，所以表示的曲线是双曲线，正确； 对于C，方程化为=， 表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数， 所以表示的曲线是抛物线，错误； 对于D，方程化为=，表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，而，所以表示的曲线是椭圆，错误； 故选： 考点04 抛物线的几何性质 31．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 【答案】ABC 【分析】根据已知确定焦点和准线，再设直线，联立抛物线方程并应用韦达定理判断A，用抛物线的定义表示弦长判断B，由中点公式及圆心到定直线的距离判断C，设，利用向量垂直关系的坐标表示得到，从而判断D. 【详解】由抛物线方程得， 所以焦点，准线， A：设过焦点的直线方程为，联立抛物线方程， 整理得，由，是交点， 根据韦达定理，正确； B：根据抛物线的焦点弦长公式， 由，，则， 所以， 因为，所以，当且仅当，取得最小值4，正确； C：设中点为，则， 圆的半径， 圆心到准线的距离为， 因为，所以该圆与准线相切，正确； D：设，，， 由得， 而，，则， 所以， 将，代入，得， 所以，可得， 对于任意直线，只要点的纵坐标满足，就能使得，直线的斜率（）， 由于可以取任意非零实数，所以直线的斜率可以是任意非零实数，并不一定为，错误. 32．（多选）已知抛物线：，斜率为（）的直线经过点，等边三角形的顶点在上，顶点、均在上，则下列结论正确的有（    ） A．的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若，则面积的最小值为 D．若与恰有一个公共点，则该公共点的坐标为 【答案】ACD 【分析】结合判别式、点到直线距离公式、二次函数最值等知识点逐项分析每个选项即可. 【详解】对于A，抛物线为开口向右的标准抛物线，满足，即，准线方程为，故A正确. 对于B，斜率为且过点的直线方程为， 与抛物线方程联立得，消去整理得. ∵ 与没有公共点， ∴ 判别式，结合解得，故B错误. 对于C，若，则直线的方程为. 设点的坐标为，则点到直线的距离. ∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 等边三角形的边长，面积，代入的最小值得，故C正确. 对于D，若与恰有一个公共点，则判别式，结合得， 代入联立方程得，解得， 代入直线方程得，即公共点坐标为，故D正确. 33．（多选）过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（     ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】A利用焦点弦公式计算；B利用向量的坐标运算列方程组求解；C设直线方程，并与抛物线联立，进而求出两条直线的斜率，利用等量关系求出；D结合C选项即可. 【详解】设，其中， 易得，准线方程为，则，得， 则，故A正确； 若，则，即， 则，即，得， 故，故B错误； 设直线， 联立，得，则， 因为，所以，， 联立，得， 则， 故，同理可得， 故直线的斜率为 （斜率不存在的直线与抛物线只存在唯一交点）， 因为直线与直线平行，所以，得（负值舍去）， 故C正确； 若，则直线的斜率为，故D正确. 34．（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（     ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】先由抛物线的焦点为抛物线的顶点可得，从而可判断A正确；对B联立两个抛物线方程，进而可得，两点的坐标，结合向量数量积的坐标运算可得B，再由抛物线的定义可得C，再由投影向量的定义可得D. 【详解】选项A：抛物线的焦点，抛物线的顶点为， 由抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，所以，A正确. 选项B：由A选项分析知，联立，消得， 解得，，即交点为， 不妨设，，则，， 所以，B正确. 选项C：因为抛物线：的焦点，所以， 又因为，由抛物线的定义，C错误. 选项D：由，，所以，， 所以在上的投影向量为，D正确. 35．（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 36．（多选）抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 【答案】AD 【详解】选项 A，抛物线的焦点为，是关于原点的对称点，故，由，且是的中点，得， 因为都在抛物线上，代入抛物线方程得，， 即，，所以，得，由，解得，故 A 正确； 选项 B，由，抛物线方程为，其准线方程为，故 B 错误； 选项 C，由，，因为点B在第一象限，故，即，故， 所以，故 C 错误； 选项 D，如图，延长AF与抛物线交于点C，在F的右侧且在x轴上取一点X， 焦点，，， 可得，说明直线与关于轴对称，所以， 因为，所以，故D 正确. 37．（多选）过抛物线对称轴上一点作直线交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别记为，，则（    ） A． B．记坐标原点为，则，，三点共线 C．记的中点为，则直线与抛物线相切 D．对于任意的正数， 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，设出直线的方程并与抛物线的方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式及三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】设直线的方程为，，由对称性不妨令，则， 由消去，得，则， 对于A，，A错误； 对于B，直线的斜率，直线的斜率， 因此，，，三点共线，B正确； 对于C，，直线的斜率， 直线的方程为，即， 由消去，得，， 因此直线与抛物线相切，C正确； 对于D，， 因此 ，D正确. 38．（多选）设分别为直线和曲线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称该值为曲线到直线的距离，记作，已知直线，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据平行直线间距离公式可知A正确；根据圆上点到直线距离最小值的求法可求得B错误；对于CD，假设与曲线相切的直线方程，通过与曲线方程联立，由可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得或的值，验证直线与的位置关系可确定CD正误. 【详解】对于A，表示的直线与直线平行， 则两平行线间距离即为，，A正确； 对于B，表示以原点为圆心，半径的圆， 则圆心到直线的距离，即直线与圆相离， 则，B错误； 对于C，由得：，则， 直线与曲线相离； 设直线与曲线相切， 由得：，则，解得：， 则直线与直线均与曲线相切， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，C错误； 对于D，设直线与曲线相切， 由得：，则， 又，，，解得：或， 当时，，由得：， 则，此时直线与相交，即，不合题意； 当时，，由得：， 则，此时直线与相离，满足题意； 综上所述：，D正确. 39．（多选）已知抛物线的焦点为，且，两点在抛物线上，为原点，下列结论正确的有（    ） A．抛物线的准线方程为 B．存在点，使得为等腰直角三角形 C．若、、共线，则面积的最小值为 D．若，则直线恒过点 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程判断A，根据三角形为等腰直角三角形分类讨论求出判断B，设直线方程，利用韦达定理求三角形面积最值判断C，利用垂直关系求出判断D. 【详解】由抛物线知，，，所以抛物线准线方程为，故A正确； 若为等腰直角三角形，则或， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾， 若，则，显然不在抛物线上，矛盾，故B错误； 设，易知直线斜率不为，设直线， 由，可得，， 则 若、、共线，则三点所在直线，则， 所以面积， 当时等号成立，故C正确； 若，则，， 代入，解得或（舍去）， 所以直线，直线恒过，故D正确. 40．（多选）已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（    ） A． B．直线经过焦点 C．原点到直线的距离为1 D．抛物线与圆恰有4个公共点 【答案】BC 【详解】对于A，已知抛物线与圆相交于点，，联立方程可得， 代入可得，即，解得或（舍去）． 当时，代入，可得，则，或，． 因此，，故A错误； 对于B，抛物线的焦点为，由点，坐标，可知直线为． 因此，直线经过焦点，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为1，故C正确； 对于D，由对于A的分析，可知两曲线仅有两个公共点，故D错误． 考点05 直线与抛物线联立弦长问题 41．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出相应直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设点坐标，根据，由轴上截得的弦长为8及勾股定理构建方程，化简得到的方程． （2）首先考虑直线垂直轴的情况，显然存在使得为等边三角形．对于直线不与轴垂直，设直线方程，与曲线联立．设中点为，根据韦达定理求出点坐标，根据，求出点，进而求出．根据抛物线定义及韦达定理求出焦点弦弦长．最后根据建立方程，解出直线参数． 【详解】（1）设动圆圆心，半径为，动圆过定点， ， 又圆在轴上截得的弦长为8，所以， 联立两式消去得， 动圆圆心的轨迹的方程为． （2） 由题，设直线，，， 联立， ，， 中点为， 假设满足条件， ， 且为等边三角形， ，且． ①若，则直线，，，， 存在，构成等边三角形； ②若，由题意得，， ， 又且， ， ，无解， 综上，存在点，，使得为等边三角形， 此时直线l的方程为． 42．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为 ，点，，且向量与共线． (1)求 的方程． (2)已知动直线 与 交于两个不同的点． （ⅰ）若 过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于． （ⅱ）若 不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：设 的方程为，代入， 得，． 设，，则，， 则． 设以为直径的圆为圆，且圆心的坐标为，则， 则圆心到轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为， 因为，所以，则 ，即以为直径的圆被轴截得的弦长大于4． （ⅱ） 【分析】（1）利用向量的坐标表示，结合向量共线的条件即，求出，进而得到抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线方程与抛物线方程联立，用韦达定理表示出的横坐标和与积，即和，表示出半径，得出以为直径圆的弦长公式，结合的条件进行判断； （ⅱ）利用角平分线的性质，结合三角形外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质， 分别求出，，的直线方程，联立垂直平分线方程，得到圆心坐标的参数式， 消除参数即可得到圆心的轨迹方程，需注意排除原点. 【详解】（1）解：（1）由题意知， 则，因为向量与共线，所以， 解得，故 的方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因为平分，所以直线与关于直线对称， 又直线的方程为，且点关于直线对称的点为， 所以，即． 将，代入，得，因为，所以． 当直线 的斜率不存在时，，此时，重合，这显然不符合题意， 则直线 的斜率存在．设 的方程为，代入， 得，则，，解得． 由，得或，由平分，，都在 上，得均位于第一象限，则． 设外接圆的圆心为，线段的中点坐标为，则， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得①． 同理可得线段的垂直平分线的方程为②． 由，及①②可得． 因为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 将代入上式得． 因为，所以，故的外接圆圆心的轨迹方程为． 43．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，此直线与抛物线交于P，Q两点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知，，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C上，若，求直线FP被C截得的弦长； (3)已知，过抛物线C的焦点F作直线l，l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为，，当时，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出椭圆右焦点的坐标，然后根据即可求解； （2）设点，根据求出点的坐标，然后求出直线的方程，与抛物线联立求出方程的两根，最后根据抛物线的定义即可求解； （3）设直线方程为，与联立，由两点斜率公式结合韦达定理可得到，，代入，求出，最后根据面积分割法即可求解. 【详解】（1）椭圆中，，，所以，得.故右焦点为， 在抛物线中，令，得， 所以，得， 故抛物线的标准方程为. （2）设点，因为，所以， 整理得. 因为，所以，所以或（舍去）. 因为在第一象限，所以点的坐标为. 因为，所以直线的斜率为， 故直线的方程为， 与联立整理得，解得两根分别为4和， 所以直线被截得的弦长为. （3）由题意知直线的斜率不为0，设其方程为， 与联立，整理得，则， 不妨设，，，则. 由，得，同理， 又，所以， 故，整理得，所以或4， 因为的面积， 由，得时，，故. 当时，，故， 故的面积为. 44．已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意，设直线的方程为， 与抛物线交于 两点，设， 由消去可得：，则， 由抛物线的定义可知，所以. 故选：C 45．已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于两点，点，若直线AC，BC分别与直线交于两点， (1)求抛物线的方程； (2)求以为直径的圆在轴上截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，即可求得抛物线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得的方程，得出的坐标，设以MN为直径的圆与轴的交点，根据，列出方程，求得的值，进而得到圆在轴上截得的弦长. 【详解】（1）由抛物线，可得焦点为， 因为抛物线的焦点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线的方程为，    联立方程组，整理得， 设，可得，且， 因为，可得 ，所以AC的方程为， 令，可得，所以点， 同理可得，点， 设以MN为直径的圆与轴的交点，则， 则， 由，可得，则， 所以 ，解得， 所以以MN为直径的圆在轴上截得的弦长. 46．已知点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，求弦长； (3)过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在抛物线上代入即可求解； （2）由焦点弦长公式即可求解； （3）设直线方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及斜率公式即可求解. 【详解】（1）由点在上， 可得：，即， 所以抛物线方程为：； （2）由方程知，直线过抛物线焦点， 联立消去可得：， 即，则， 所以 （3）由已知直线的斜率不为0，又因为过点，故设其方程为，设. 由得，显然， ，， 则， 所以．    47．已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的弦长确定圆心到直线的距离范围，再结合各选项中曲线的性质，判断直线与曲线是否一定有公共点即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则（其中为弦长）， 因为弦长不小于，所以，即， 两边同时平方可得，移项可得，即. 选项A： 抛物线的焦点为，准线方程为， 当直线为时，圆心到直线的距离， 满足，但直线与抛物线无公共点，A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为， 当直线为时，直线与圆无公共点，B错误； 选项C：当直线为时，到圆心的距离，满足弦长条件， 将代入双曲线方程，得，， 则方程无实数解，所以直线与双曲线没有公共点，C错误. 选项D：椭圆，原点在椭圆内部，该椭圆上的点到中心距离的范围为 则直线一定过椭圆内部或椭圆上的点， 所以直线与椭圆一定有公共点，D正确. 故选：D. 48．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程，求出圆的方程，进而求出弦长. 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由， 消去得，设， 则，线段中点， ，则以为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 49．（多选）已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C．当P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得， 弦长为，B正确； 对于C，中，令得，故，显然⊥， 由勾股定理得，所以，C正确； 对于D，由抛物线的定义得，故满足要求的点在线段的垂直平分线上， 其中直线的垂直平分线方程为，代入得， 故点有且仅有2个，D正确． 故选：BCD. 50．已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程； （2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数，从而可得直线过的定点. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 考点06 直线与抛物线定点定值问题 51．已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)可设直线：，代入抛物线，整理得； 记，，则，， 所以（定值）． (3)． 【分析】（1）根据离心率求出，再由可得解； （2）设直线：，联立抛物线方程，利用韦达定理即可得证； （3）分别求出三角形面积，记，平方后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，又， 所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为． （2）略 （3）因为，，显然，． 联立消去，解得，同理，可解得， 由（2）知，故得； 因为，，记，则， 故，即， 即，即，当且仅当时取到等号． 综上，的最大值为． 52．正方体中，是平面内一动点，直线与所成角为定值，若点轨迹为抛物线，则____________. 【答案】 【分析】点的轨迹是顶点为、旋转轴平行于的圆锥面与平面的交线，由于是平面内一动点，故当等于直线与平面所成角时，若点轨迹为抛物线，由此计算出. 【详解】如图所示，在正方体中，作交于点， 所以，点的轨迹是顶点为、直线为旋转轴的圆锥面与平面的交线， 由于是平面内一动点，故当等于直线与平面所成角时， 若点轨迹为抛物线,则等于直线与平面所成角， 不妨设正方体边长为， 根据正方体的性质可知，即直线与平面所成角， , 故. 53．（多选）已知抛物线的焦点为，的所有顶点均在上，且，则（    ） A． B．为定值 C．可能是等边三角形 D．可能是直角三角形 【答案】AB 【分析】对于选项A可以用等面积法求解；对于BCD，假设三点坐标，对于选项B，由可知点为的重心，再结合抛物线的性质可以判断为定值；选项C，由可知点为的重心，通过等边三角形的性质可以判断；选项D，通过直角三角形的性质可以判断. 【详解】对于选项A，由可知点为的重心，根据重心的性质可知， , 所以，，A正确； 设，那么由于点为的重心, 所以， 对于选项B，，B正确; 对于选项C，若是等边三角形，则，那么 ，由于与不重合，故由可知， 又，故， 由可得 ， 所以，， ， 故不可能是等边三角形，C错误； 对于选项D，， 若，则 ， 即， 即， 由 ， 即， 由可得与抛物线中有矛盾， 同理，,也会出现同样的矛盾，故不可能是直角三角形，D选项错误. 54．（多选）已知为坐标原点，为抛物线上一点，过的焦点的直线交于，两点（不与点重合），过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B． C．直线的斜率之和为定值 D．若直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为 【答案】BD 【分析】由点坐标可求出的方程，设出直线的方程后联立曲线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理；利用弦长公式计算可得A；利用抛物线定义可计算出、，即可得B；举出反例可得C；表示出直线与的斜率后，计算即可得. 【详解】因为，所以，所以的方程为， 设，直线的方程为， 联立，整理得，所以， 对于A，，所以的最小值为4，故错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线的斜率之和为0， 当取时，可得，此时直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率之和为，故C错误； 对于D，因为直线与的倾斜角互补， 所以直线与的斜率均存在，且， 所以，代入， 化简得，所以， 所以，故直线的斜率为，故D正确． 55．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成.已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)如图，已建立适当的直角坐标系，请写出该部分抛物线的方程（注意的范围）：在该封闭图形上截取一个矩形，其中点C、D在线段上，点在抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (2)过抛物线焦点作相互垂直的两条直线，，交抛物线于两点，交抛物线于两点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)定值为 【分析】（1）以抛物线顶点为原点建立坐标系，利用已知点确定抛物线方程；引入参数表示矩形顶点，将圆柱体积表示为该参数的函数，利用二次函数即可求得最值； （2）由（1）得出焦点坐标，设直线的方程，根据弦长公式可得，结合两直线垂直条件可得，化简得定值. 【详解】（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，开口向上，则顶点坐标为， 线段垂直于对称轴，且到顶点的距离为，故所在直线方程为， 由且关于轴对称，得， 抛物线过点，设其方程为，代入得， 所以抛物线方程为即， 设点，则为矩形底边， 点在抛物线上，横坐标为，纵坐标，故， 由矩形性质，与同横坐标、与同纵坐标，即， 圆柱以为母线，侧面由矩形卷成，底面周长等于，底面半径， 圆柱的高即为与的竖直距离：， 圆柱体积， 令，则，该二次函数开口向下，对称轴为， 所以当即时， 取最大值； （2）由（1）得抛物线，焦点坐标， 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，可得， 设， 所以， 所以， 因为，所以直线的斜率为， 同理可得， 所以， 所以该值为定值. 56．（多选）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线交于两点，设为坐标原点，则（     ） A． B．若为的重心，则 C．若，则 D．若为定值，则 【答案】ABD 【分析】过的直线方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式、数量积的坐标表示逐项判断即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线中，焦点到准线的距离为， 故，抛物线方程为， 由题意设过的直线方程为， 代入得， 设，由韦达定理得， 选项A：由已知得，A正确， 选项B：若为重心， 由重心坐标公式得 ， 得，， 由 弦长公式得， 而 ， 故​，即，B正确， 选项C：若，则， 又， 代入得，C错误， 选项D： ， 同理，故 ， 代入，得 ， 整理得， 要该式为定值对任意成立，则需对任意成立， 故，即，D正确. 57．（多选）已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（   ） A．是定值 B．以为直径的圆过点 C．对于上的任一点恒成立 D．面积的最小值为2 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC. 【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，， 由消去，得，则， 对于A，，A正确； 对于B，连接，由， 得，则， 因此以为直径的圆过点，B正确； 对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确. 58．已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点． （i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值； （ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）16；（ii）直线过定点． 【分析】（1）由题意可知，则点的坐标为，代入计算即可求解； （2）（i）直线与抛物线联立方程可得，结合图象可知，计算即可求解；（ii）结合题意，当斜率不存在时，不符合题意，斜率存在时，设直线斜率为，则过点的直线可表示为，计算可得，设，计算可得，进而计算可解. 【详解】（1）由题意可知，则点的坐标为， 代入抛物线方程解得或（舍去），所以抛物线的方程为． （2）（i）由题意可知直线的方程为， 直线与抛物线联立可得， 解得， 所以，所以． 如图所示，由图象可知，对任意面积，抛物线位于直线右上方的部分均存在2点使得的面积均为定值， 则抛物线在直线的左下方部分存在唯一的一点满足条件， 此时到直线的距离达到最大值，即在处的切线与直线平行， 当时，抛物线方程为，所以， 则到直线的距离为， 所以定值． （ii）是的角平分线，所以点到直线的距离相等， 设该距离为定值． 当的斜率不存在时， 由题意可知，易知此时与轴平行，不满足题意， 所以的斜率均存在． 设过点的直线斜率为，则过点的直线可表示为， 则有，则有， 设，则， 两式相减可得， 利用点斜式方程可得， 由，化简可得，， 结合，易知直线过定点． 59．（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列选项正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．为定值 C．若为坐标原点，则可能为正三角形 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线准线方程定义求解可以判断A；设过点的直线方程为，联立，得，根据韦达定理可以判断B；若正三角形，则,由抛物线关于轴对称，可知轴， 得，求解长度对比可以判断C；根据焦半径公式得，进而求得，再结合均值不等式求解范围即可. 【详解】对于A，由抛物线可知，即，则准线方程， 故正确； 对于B，由抛物线可知焦点，设过点的直线方程为， 联立，得，则，故正确； 对于C，若正三角形，则, 由抛物线关于轴对称，可知轴，设点在第一象限， 则，故， 因为，所以不是正三角形，故错误； 对于D，由抛物线定义可知，，， 则， 由B知，即，代入上式可得， ， 当且仅当时等号成立，故正确， 故选：ABD. 60．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，得到，，代入斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义及基本不等式求得最小时的坐标，设切线PA的方程，再联立抛物线方程，由得到切线方程即可判断B；先结合A得到，，再根据题意得，利用焦点弦长求解即可判断C；利用两点距离和焦半径公式求得，然后利用换元法，利用函数的单调性求解范围即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $