精品解析：广东省茂名市田家炳中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

茂名市田家炳中学2026-2027学年第一学期高二级10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（   ） A. 85，81.5 B. 85，85 C. 78，81.5 D. 85，79 2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 36 4. 已知空间中直线、和平面、，则下列命题中正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B. 一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C. 如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 7. 在中，点在边上，且．若，则（） A. B. C. D. 8. 在中，，是边上的中线，且，则（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则下列选项中，正确的是（ ） A. 平面平面 B. 二面角的余弦值为 C. 与平面所成角为30° D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 某校在高二年级开展了数学建模活动，为评估活动效果，从全年级随机抽取名学生的测试成绩（单位：分，满分100分）进行分析．按、、、、、、、、、分组后，得到如下频数分布表，则（    ） 分组 频数 A. 这名学生成绩的众数是 B. 这名学生成绩的第百分位数是 C. 若用这名学生成绩的频率估计全年级学生成绩不低于分的概率，则该概率的估计值为 D. 用分层随机抽样，按与两层的样本量之比，从这两层中共抽取人，再从这人中随机抽取人，则这人来自同一层的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 13. 已知向量与夹角为，且，，则______． 14. 某密码破译小组有甲、乙、丙三人，他们各自独立破译同一份密码．已知甲能破译出该密码的概率为，乙能破译出该密码的概率为，丙能破译出该密码的概率为，且三人的破译结果相互独立．若记事件A为“该密码被破译出”，则P(A)=______；事件“该密码恰好被其中两人破译出”的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求B； （2）若b=3，求周长的取值范围． 16. 每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这200名学生每天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知落在的样本数据的平均值是53，方差是4；落在的样本数据的平均值是68，方差是9.求落在的样本数据的平均值和方差. 17. 已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. （1）从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率； （2）从中一次取2个球，试列出所有基本事件，并求至少有一个是红球的概率； （3）从中有放回地取2次球，每次只取一个球，求至少有一个是红球的概率. 18. 某校高二年级举行物理竞赛，甲、乙两个参赛小组各6名同学的成绩（单位：分，满分100分）如下： 甲组：74，83，85，86，88，94；乙组：72，82，85，87，90，94. （1）分别求甲、乙两组成绩的平均数和方差，并判断哪一组的成绩更稳定； （2）从甲组6名同学中随机抽取2人，求这2人的成绩之差的绝对值不小于10的概率； （3）现从甲、乙两组中各随机抽取1名同学，设两次抽取的结果相互独立. 记“甲组抽到的同学成绩不低于85分”为事件A，“乙组抽到的同学成绩不低于85分”为事件B，求概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市田家炳中学2026-2027学年第一学期高二级10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（   ） A. 85，81.5 B. 85，85 C. 78，81.5 D. 85，79 【答案】A 【解析】 【详解】这组数据从小到大排列为：， 所以众数是85，中位数是． 2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数后可求，从而可得复数在复平面中的对应点，故可得正确的选项. 【详解】，故，其对应的点为， 该点在第四象限， 故选：D. 3. 某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：每个个体被抽到的可能性为， 所以应抽取的女生人数为. 4. 已知空间中直线、和平面、，则下列命题中正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理逐一判断四个选项. 【详解】对于A，若，，直线与可能平行，也可能异面，A错误； 对于B，若，，直线与可能平行、相交或者异面，B错误； 对于C，若，，过作平面与相交，交线和平行，垂直于交线，所以，C正确； 对于D，若，，不一定垂直，只有垂直两平面交线时才有，D错误. 5. 在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论. 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B. 一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C. 如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样公式求样本容量判断A选项；分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断B选项；根据方差和极差的定义判断C选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断D选项. 【详解】对于A：设样本容量为，则，解得，故A为真命题； 对于B：平均数为，众数为3，中位数为，故B为真命题； 对于C：如果一组数据的方差为零，则这组数据中的每个数据都相等，所以这组数据的极差一定为零，故C为假命题. 对于D：，则， 故数据的标准差为16，故D为真命题. 故选：C 7. 在中，点在边上，且．若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且在边上，所以，即， 又，所以， 已知，比较系数可得. 8. 在中，，是边上的中线，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为是边上的中线，所以根据向量的中线性质， 对等式两边同时平方得，即， 代入已知条件，得，可得， 故，结合角A为内角，可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则， 则在上的投影向量为，故B正确 对于C，若，则，则，则，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 10. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则下列选项中，正确的是（ ） A. 平面平面 B. 二面角的余弦值为 C. 与平面所成角为30° D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由条件得，由平面可得，从而平面，即可判断A；为二面角的平面角，求解可判断B；为与平面所成角，求解可判断C；取的中点，分析可得为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1，求出外接球的表面积可判断D. 【详解】∵， 则，∴， ∵平面，平面， ∴， ∵，，，平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面，故A正确； ∵，∴为二面角的平面角， 在直角中，，故B正确； ∵平面，∴为与平面所成角， 在直角中，，则，故C正确； 取的中点，连接， ∵，，∴， ∵平面，又平面，∴， ∴，则， ∴为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1， ∴三棱锥外接球的表面积为，故D错误. 故选：ABC. 11. 某校在高二年级开展了数学建模活动，为评估活动效果，从全年级随机抽取名学生的测试成绩（单位：分，满分100分）进行分析．按、、、、、、、、、分组后，得到如下频数分布表，则（    ） 分组 频数 A. 这名学生成绩的众数是 B. 这名学生成绩的第百分位数是 C. 若用这名学生成绩的频率估计全年级学生成绩不低于分的概率，则该概率的估计值为 D. 用分层随机抽样，按与两层的样本量之比，从这两层中共抽取人，再从这人中随机抽取人，则这人来自同一层的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据众数的定义分析判断即可；对于B：根据百分位数的定义分析可知第百分位数在内，即可判断；对于C：先求对应的人数，进而可求概率；对于D：求各层抽取的人数，结合古典概型运算求解. 【详解】对于选项A：因为学生成绩在内的频数最大，估计这名学生成绩的众数是，故A错误； 对于选项B：因为，， 可知这名学生成绩的第百分位数在内，不为，故B错误； 对于选项C：在样本中，学生成绩不低于分的人数为， 用频率估计概率，则全年级学生成绩不低于分的概率估计值为，故C正确； 对于选项D：学生成绩在内的频数为，学生成绩在内的频数为， 在内应抽取人，设为、、、， 在内应抽取人，设为、， 再从这人中随机抽取人，则有： 、、、、、、、、、 、、、、、，共个基本事件， 这人来自同一层有、、、、、、， 共个基本事件，所以这人来自同一层的概率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 【答案】 【解析】 【详解】成绩按从小到大排列为 ， 第百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即. 13. 已知向量与夹角为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 14. 某密码破译小组有甲、乙、丙三人，他们各自独立破译同一份密码．已知甲能破译出该密码的概率为，乙能破译出该密码的概率为，丙能破译出该密码的概率为，且三人的破译结果相互独立．若记事件A为“该密码被破译出”，则P(A)=______；事件“该密码恰好被其中两人破译出”的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设“甲能破译出该密码”为事件，“乙能破译出该密码”为事件，“丙能破译出该密码”为事件， 则，，，且相互独立． 事件“该密码被破译出”的对立事件是“甲、乙、丙三人都没有破译出”， 由独立事件的概率乘法公式得 ． “该密码恰好被其中两人破译出”包含以下三个互斥情形： ①甲、乙破译出而丙没有破译出，其概率为； ②甲、丙破译出而乙没有破译出，其概率为； ③乙、丙破译出而甲没有破译出，其概率为． 因为这三个情形两两互斥，所以由互斥事件的概率加法公式得所求概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求B； （2）若b=3，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）（6，9］ 【解析】 【分析】（1）由 得 ，再用正弦定理把条件中的边化为角，展开后两边消去 ，约去 得 ，由 求出 . （2）由正弦定理得 ，将 表为 的三角函数；利用 消元，展开 后用辅助角公式合为 ，由 得 ，结合正弦函数值域得周长 . 【小问1详解】 由正弦定理 即： 又 因为，所以 【小问2详解】 由正弦定理得 所以周长 又 即 周长的取值范围是（6，9］． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化与三角恒等变换，重点考查 "用辅助角公式合并同名三角函数、由角的取值范围严格确定正弦值域求周长范围" 的能力。 16. 每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这200名学生每天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知落在的样本数据的平均值是53，方差是4；落在的样本数据的平均值是68，方差是9.求落在的样本数据的平均值和方差. 【答案】（1）； （2）59，60 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值； （2）由分层抽样的方差公式求解. 【小问1详解】 由题意知，， 解得； 根据频率分布直方图， 所以； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. 17. 已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. （1）从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率； （2）从中一次取2个球，试列出所有基本事件，并求至少有一个是红球的概率； （3）从中有放回地取2次球，每次只取一个球，求至少有一个是红球的概率. 【答案】（1）​ （2） （3）​ 【解析】 【小问1详解】 从6个球中任取1个球，共有6种等可能的取法，其中取得红球或黑球的取法有种； 由古典概型的概率公式得取得红球或黑球的概率． 【小问2详解】 将红球编号为、，黑球编号为、、，白球记为，用两个球的编号连写表示同时取出这两个球， 不计取球顺序，所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，， 共15种，且每种取法等可能； 其中“至少有一个是红球”包含，，，，，，，，，共9种； 故至少有一个是红球的概率为． 【小问3详解】 方法一：从6个球中有放回地取2次球，每次取1个，按两次取球的先后顺序记录结果，共有种等可能的取法． “至少有一个是红球”可分为两次都取到红球、第一次取到红球且第二次取到非红球、第一次取到非红球且第二次取到红球三种互斥情形， 分别有、、种取法，因此共有种取法，所以至少有一个是红球的概率为． 方法二：每取1个球都有6种取法，有放回地取2次，共有种等可能的结果； 考虑其对立事件“两次都没有取到红球”，每次取到非红球都有4种取法，故该事件包含种结果； 所以“至少有一个是红球”包含种结果； 所以至少有一个是红球的概率为． 18. 某校高二年级举行物理竞赛，甲、乙两个参赛小组各6名同学的成绩（单位：分，满分100分）如下： 甲组：74，83，85，86，88，94；乙组：72，82，85，87，90，94. （1）分别求甲、乙两组成绩的平均数和方差，并判断哪一组的成绩更稳定； （2）从甲组6名同学中随机抽取2人，求这2人的成绩之差的绝对值不小于10的概率； （3）现从甲、乙两组中各随机抽取1名同学，设两次抽取的结果相互独立. 记“甲组抽到的同学成绩不低于85分”为事件A，“乙组抽到的同学成绩不低于85分”为事件B，求概率． 【答案】（1）甲、乙两组成绩的平均数均为85分；甲组方差为36，乙组方差为48；甲组成绩更稳定 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 甲组成绩的平均数； 甲方差 ； 乙组成绩的平均数； 乙方差 因为两组平均数相同（都是85分），而甲组的方差36小于乙组的方差48，说明甲组的成绩波动更小，所以甲组的成绩更稳定； 【小问2详解】 从甲组6名同学中随机抽取2人（不放回），所有可能的结果共有15种，且每种结果等可能； 设事件A为“抽到的2人成绩之差的绝对值不小于10”，用(a，b)表示抽到的两位同学的成绩， 则事件A包含：(74，85)，(74，86)，(74，88)，(74，94)，(83，94)，共5种结果； 所以； 【小问3详解】 甲组6名同学中，成绩不低于85分的有94，88，86，85共4人，故； 乙组6名同学中，成绩不低于85分的有94，90，87，85共4人，故，且． 解法一：由一般加法公式得 ； 解法二：“至少有一个发生”型问题可优先考虑对立事件. 设事件A与B的对立事件分别为与， 则，同理. 因为两次抽取相互独立，所以， 故， 即至少有一人成绩不低于85分的概率为． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ∵是的中点， ∴，且， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴，且， 又∵是的中点， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面 ∴平面. （2）45°； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，要证平面，即证，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知为二面角的平面角，求出即可；（3）易证平面，为直线与平面所成的角，即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，平面 ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ，、平面， ∴平面， 又∵平面， ∴为二面角的平面角， ∵， ∴为等腰直角三角形 ∴，即二面角的大小为. 【小问3详解】 由（2）知，为等腰直角三角形 ∵是斜边的中点， ∴， 由（1）知，， ∴， 又由（2）知，平面，平面， ∴ ， ∴ ， 又∵平面， ∴平面， ∴是直线在平面上的射影， ∴为直线与平面所成的角， 在中，，， ∴， 在等腰直角中， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， 即直线与平面所成角的正弦值为. 点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法: ①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角; ②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $