精品解析：广东省茂名市广东实验中学附属茂名学校2025-2026学年高二上学期12月月度诊断数学试题

广东实验中学附属茂名学校2025-2026学年（上） 高二十二月月度诊断数学学科 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 2. 圆与圆的位置关系为（　　） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 3. 若一组样本数据的平均数为3，方差为2，若新增一个数据3，则新样本的方差为（ ） A. 1.7 B. 1.8 C. 1.9 D. 2 4. 已知随机事件满足，则（　　） A. B. C. D. 5. 设数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 14 6. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 7. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，则（　　） A. 事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是 B. 事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的 C. 事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的 D. 事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的 11. 关于的方程有唯一解，则的取值可能是（ ） A. B. 1 C. D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 13. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________． 14. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和为． （1）试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； （2）求数列的通项公式． 16. 某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． （1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； （2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 17. 已知双曲线C的渐近线方程为，且过点. （1）求C的方程； （2）设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点. 18. 在正四棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长. 19. 已知双曲线的离心率为，虚半轴长为． （1）求双曲线的方程． （2）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值． （3）已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学附属茂名学校2025-2026学年（上） 高二十二月月度诊断数学学科 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解. 【详解】由题意知，所以. 故选：C. 2. 圆与圆的位置关系为（　　） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再应用圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】由题意，，， 所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10， 由，所以两圆内含. 故选：D 3. 若一组样本数据的平均数为3，方差为2，若新增一个数据3，则新样本的方差为（ ） A. 1.7 B. 1.8 C. 1.9 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意得， 则， 若新增一个数据3，则新样本的平均数仍为3， 则新样本的方差为 故选：B. 4. 已知随机事件满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用概率的性质列方程求概率. 【详解】因为，即， 所以. 故选：C 5. 设数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，再根据递推关系，结合求解即可. 【详解】因为，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以， ． 故选：B 6. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 7. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线过定点求出，进而可判定为直角三角形，根据椭圆的定义即可求出，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】因为焦距为4，所以，所以. 因为直线过点，斜率为，所以， 那么，所以为直角三角形， 所以. 根据椭圆的定义得，所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，从而得，即可判断；对于B，由已知可得，即可判断；对于C，由已知可得或，即可判断；对于D，由已知可得或，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以或，故C错误； 对于D，，所以，又因为， 所以或，故D错误. 故选：AB. 10. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，则（　　） A. 事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是 B. 事件“第一枚朝上的点数为偶数”与“第二枚朝上的点数为奇数”是相互独立的 C. 事件“至少一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是对立的 D. 事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”是互斥的 【答案】BC 【解析】 【分析】由古典概型的概率求法判断A，根据独立事件、对立事件、互斥事件的定义判断B、C、D. 【详解】事件“第一枚朝上的点数大于2”的概率是，A不正确； 事件“第一枚朝上的点数为偶数”与事件“第二枚朝上的点数为奇数”互不影响，B正确； 事件“两枚朝上的点数都是偶数”的对立事件为“两枚朝上的点数都是奇数或一个奇数一个偶数”，C正确； 事件“至多一枚朝上的点数为奇数”与“两枚朝上的点数都是偶数”可以同时发生，D不正确． 故选：BC 11. 关于的方程有唯一解，则的取值可能是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意转化为函数与图象只有一个公共点，数形结合求解即可. 【详解】关于的方程有唯一解， 即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点，如图， 当直线经过点时，； 当直线经过点时，4. 若直线与曲线相切，则，得， 数形结合可知，的取值范围是. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 13. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案. 【详解】因为在抛物线C：上， 所以，解得， 故抛物线C的准线为， 所以点A到抛物线C的准线的距离为. 故答案为：. 14. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得，进而求出的取值范围并列式求出的值即得椭圆的方程. 【详解】由点在椭圆上，得，即， 则， 而，则，，因此， 由椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为， 得，，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和为． （1）试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）2；3；5，数列不是等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出数列前3项，根据等差数列定义判断是否满足即可. （2）令，求出，利用求出，并验证是否满足即可. 【小问1详解】 由得， ， ， ， ， 因为， 所以数列不是等差数列． 【小问2详解】 当时，； 当时，； 验证时，，不满足上式， 所以． 16. 某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． （1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； （2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式进行求解； （2）计算出甲队和乙队分别进入决赛的概率，从而得到乙队进入决赛甲队夺冠的概率和乙队没进入决赛甲队夺冠的概率，相加即可. 【小问1详解】 设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得，，，． 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则． 由题可得， ． 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为． 【小问2详解】 由题得，甲队进入决赛的概率为； 乙队进入决赛的概率为． 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为； 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为． 因此，甲队夺冠的概率为． 17. 已知双曲线C的渐近线方程为，且过点. （1）求C的方程； （2）设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：显然直线的斜率不为零， 设直线为，， 联立，消整理得， 依题意得且，即且， ， 直线的方程为， 令， 得 . 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解； （2）可设直线为，，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得出结论. 【小问1详解】 因为双曲线C的渐近线方程为， 则可设双曲线的方程为， 将点代入得，解得， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 略 18. 在正四棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长. 【答案】（1）如图建立空间直角坐标系， (0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1) 设平面的法向量(，，)， (1，1，0)，(0，1，1) 由，即， 取，得(1，-1，1)， 又(-1，1，2)， 因为，所以， 所以平面. （2）由（1）可知(1，-1，1)，(-1，1，-1)，，所以， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面的法向量，利用证明即可； （2）利用即可证明；（3）设点的坐标为(1，1，)，由线面角公式可求出，即可利用向量的模求的长. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设点的坐标为(1，1，)， (0，1，)， 设直线与平面所成角为，则 ， 解得， 所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，， 所以的长为. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题. 19. 已知双曲线的离心率为，虚半轴长为． （1）求双曲线的方程． （2）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值． （3）已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，使为定值 【解析】 【分析】（1）结合题意求出a、b、c即可； （2）根据点到直线的距离公式化简求解即可； （3）设的方程为，以及，，根据直线方程求出E、F点的坐标，再根据列出等式，化简该等式并结合韦达定理求出m、k之间的关系，最后讨论分析即可得到结果． 【小问1详解】 因为虚半轴长为，所以. 因为离心率为，所以， 因为，所以， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 如图所示 双曲线的渐近线方程为， 双曲线上一点到渐近线的距离之积为， 因为，所以，即为定值． 【小问3详解】 如图所示 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，联立可得， 则， 又根据韦达定理可得， 直线的方程为， 令，则，得，同理得， 由，可得， 所以 ， 整理得， 当时，，此时直线的方程为， 直线过点，与矛盾，舍去； 当时，直线的方程为，恒过定点， 设的中点为，则，因为， 所以，为定值，故存在，使为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $