河北省保定市博野县部分校2026-2027学年高二上学期9月联考数学试题（创新班）

高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D D A C C B BC ACD ABC 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【解】（1）因为直线：与直线：平行， 所以，解得． （5分） （2）由（1）知直线：，即， （7分） 设直线：， （8分） 因为直线到的距离与到的距离相等，所以，解得， （10分） 故直线：，即直线的方程为． （13分） 16．【解】（1）证明：由题意可得，当时，， （1分） 当时，，，两式相减得， （3分） 当时，，满足上式， （4分） 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列． （6分） （2）由（1）知，，所以， （7分） 所以，① （9分） 所以，② （10分） 由①②，得， （13分） 所以． （15分） 17．【解】解法1：折叠前，因为，，所以，所以，，（2分） 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， （3分） 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，， （4分） 则，，， （5分） （1）因为，所以，， （6分） 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以平面的一个法向量为， （8分） 可得， （9分） 又因为平面，所以平面． （10分） （2）因为为的中点，所以，， （11分） 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， （13分） 设直线与平面所成角为， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． （15分） 解法2：（1）连接交于点，连接， 因为，，所以， （2分） 由题意可知，，所以，所以， （4分） 又因为平面，平面，所以平面． （5分） （2）同解法1． 18．【解析】（1）因为，所以数列是等差数列． 设公差为，则，所以， （2分） 由题可知，即，解得， （3分） 则数列的通项公式为． （4分） （2）由题意可知，当时，，则， 即，① （6分） 当时，，则， 即．② （9分） 由①②可得，又满足上式，所以，． （11分） （3）由（2）知， 所以． （13分） 设，则，两式作差可得， 所以， （15分） 所以． （17分） 19．【解】（1）由题可知点，关于轴对称，不妨设点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点在双曲线的渐近线上，所以，解得，所以点的坐标为， （2分） 又点在抛物线上，所以，所以，故抛物线的方程为． （4分） （2）（ⅰ）设：，代入抛物线的方程，并整理得 ，，即，，， （6分） ，则，所以， 到轴的距离，当且仅当时取等号，所以到轴的距离的最小值为． （10分） （ⅱ）证明：将：代入，消去，得． （11分） 则，，， 因为， 所以． （13分） 当时，， （14分） 所以， 即． （15分） 当时，，满足上式． （16分） 所以成立． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高二 数学 CX01 班级________姓名________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．以为圆心，为半径的圆的方程为 A． B． C． D． 2．在数列中，，，则 A． B．3 C． D．2 3．直线：被圆：截得的弦长为，则的值为 A． B． C． D． 4．在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于 A． B． C． D． 5．已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为 A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则 A．13 B．19 C．26 D．32 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 8．定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为 A．3 B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线：，则下列说法正确的是 A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 10．已知数列，，记数列，的前项和分别为，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则数列单调递增 D．若，，，则 11．已知正方体的棱长为1，向量，，，，，分别为平面，平面的中心，则 A．与，共面 B．当时，三棱锥的体积为 C．当时， D．当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，，则________． 13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 14．若圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知直线：与直线：平行． （1）求的值； （2）若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程． 16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分）已知数列满足，，是与的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列对任意的，当时，都有成立，且，求的通项公式； （3）求的前项和． 19．（本小题满分17分）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点． （ⅰ）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ⅱ）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $