精品解析：河南省周口市川汇区第四初级中学2024-2025学年九年级上学期10月份第一次月考数学试题

周口四中上期九年级数学学科素养卷一 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般式的定义，熟悉掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 化为一般式后即可得出结果． 【详解】解：∵化为一般式后为：， ∴一次项系数为：；常数项为：； 故选：A． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，且开口向上，可推出越靠近，的值就越小，比较的值即可得出结果． 【详解】解：∵的对称轴为直线，且开口向上， ∴越靠近，的值就越小； ∵距离三个单位，距离一个单位，距离一点五个单位； ∴； 故选：D． 5. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 7. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ） A. a＞0 B. a＋b＝3 C. 抛物线经过点（－1，0） D. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键． 8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 9. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 6或 D. 12或 【答案】C 【解析】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再由三角形的形状分别求出三角形的面积． 【详解】解：∵x2−8x＋15＝0， ∴（x−5）（x−3）＝0， ∴x1＝3，x2＝5． 当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD＝， 所以该三角形的面积是：4×÷2=2 当x2＝5时，与另两边组成直角三角形， 即3，4，5符合直角三角形， ∴该三角形的面积＝3×4÷2＝6． 综上所述，该三角形的面积是2或6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，综合性比较强，结合等腰三角形的面积和直角三角形的判定得出答案是解决问题的关键． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 【详解】原方程变形为：， 解得，， 故答案为：，． 12. 在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，由题意得抛物线的对称轴为直线，即可求解； 【详解】解：由题意可知：是抛物线上对称的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 14. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及的顶点坐标为． 先得出平移后的解析式，即可解答． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键； （1）方程左边是完全平方式，因此用因式分解求解即可； （2）先求出根的判别式，再利用求根公式求解即可． 【小问1详解】 解：原方程化为， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 17. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 18. （1）画出函数的图象； （2）直接写出不等式的解集 ； （3）当时，求的取值范围． 【答案】 （1）函数图象如图所示： （2）或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图象性质，熟悉利用数形结合思想是解题的关键． （1）找出顶点坐标和与轴的交点坐标画出图象即可； （2）根据图象解答即可； （3）根据的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数顶点坐标为， 当时， 解得：， （2）由图象可得：的解集为：或； 故答案为：或； （3）∵时， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值， ∴． 19. 下面是小明解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并解决相关问题： 解方程： 解：方程两边同除以，得…第一步 去括号，移项，合并同类项，得……第二步 系数化为1，得……第三步 任务： （1）小明的解法从第 步开始出现错误，错误原因是 ； （2）此题正确的结果是 ； （3）用因式分解法解方程． 【答案】（1）一；方程两边同时除以，没有考虑为的情况； （2）或 （3） 解： ∴或， 解得：或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握因式分解法是解题的关键． （1）根据运算法则进行判断即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 小明的解法从第一步开始出现错误，错误原因是方程两边同时除以，没有考虑为的情况； 故答案为：一；方程两边同时除以，没有考虑为的情况； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得：或； 故答案为：或； 【小问3详解】 略 20. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 21. 商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？ 【答案】每台冰箱的实际售价应定为2750元 【解析】 【分析】设每台冰箱的实际售价比原售价降低了x元，根据等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设每台冰箱的实际售价比原售价降低了x元，由题意得： ， 解得：， （元）， 答：每台冰箱的实际售价应定为2750元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 已知地物线的顶点坐标为． （1）抛物线的解析式为 ； （2）已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； （3）抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则，把点代入解析式求得c，即可求得函数解析式； （2）由题意得，由勾股定理即可求得； （3）过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D；由（2）知，则，此时点P的横坐标为1，从而求得点P的纵坐标，得点P的坐标． 【小问1详解】 解：由抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则； 把点代入中，得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴； 由勾股定理得； 【小问3详解】 解：存在点P，使得的值最小； 如图，过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D； 则； 由（2）知， ∴， 当点P在上时，取得最小值，此时点P的横坐标为1， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，得到是求解的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周口四中上期九年级数学学科素养卷一 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ） A. a＞0 B. a＋b＝3 C. 抛物线经过点（－1，0） D. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 6或 D. 12或 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是________． 12. 在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为________． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 14. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 _________． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 17. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 18. （1）画出函数的图象； （2）直接写出不等式的解集 ； （3）当时，求的取值范围． 19. 下面是小明解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并解决相关问题： 解方程： 解：方程两边同除以，得…第一步 去括号，移项，合并同类项，得……第二步 系数化为1，得……第三步 任务： （1）小明的解法从第 步开始出现错误，错误原因是 ； （2）此题正确的结果是 ； （3）用因式分解法解方程． 20. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 21. 商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？ 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 已知地物线的顶点坐标为． （1）抛物线的解析式为 ； （2）已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； （3）抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $