精品解析：河南省新乡市辉县市太行中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026—2027学年九年级上学期数学第一次学情检测 一、选择题（每小题3分，共30分、下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式． 2. 下列二次根式中，与同类二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，关键是熟练掌握同类二次根式的判断方法，属于基础题，注意判断时先要化为最简二次根式．先将各数化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的被开方数相同可解答． 【详解】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； C、与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据平方差公式对BC进行判断；根据完全平方公式对D进行判断． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 4. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法可直接进行排除选项． 【详解】由配方法解方程时，方程可变形为； 故选A． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 5. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或， 观察四个选项，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟记“当方程有两个不相等的实数根，则”是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 8. 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A. （1+x）2= B. x+2x= C. （1+x）2= D. 1+2x= 【答案】C 【解析】 【详解】解：设票股价的平均增长率x. 则 即 故选C 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 10. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出的小分支数目是（　 　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1=91， 解得：x=9或x= -10（不合题意，应舍去）； ∴x=9； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式要有意义被开方数大于等于0，分式要有意义分母不为0是解题的关键． 12. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式：，即可求解． 【详解】原式 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 14. 已知，，实数在数轴上的对应点如图所示，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上的数的特征由此开二次方根及去绝对值，再合并同类项即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的对应关系、开二次方根和去绝对值，掌握数轴上点的特征进行化简是解题的关键． 15. 已知y＝+2022，则x2+y﹣3的值为 _____． 【答案】2023 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算出x的值，进而算出y的值计算即可． 【详解】解：∵y＝+2022， ∴解得， ∴，， ∴， 故答案为：2023 【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到具体的值是解题的关键． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 解方程（按要求解方程） （1）（因式分解法）； （2）（配方法）； （3）（适当的方法）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴无论取何实数，方程总有实数根； （2）三角形的三边为4、6、6或6、6、10． 【解析】 【分析】（1）先计算，再证明从而可得答案； （2）由等腰三角形的性质有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况，当b=6或c=6时，可知x=2为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当b=c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：△ABC为等腰三角形，设三角形的三边分别为： ∴有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况， ①当a=b=6或a=c=6时，可知x=6为方程的一个根， ∴， 解得k=3或k=5， 当k=3时，方程为，解得x=4或x=6， ∴三角形的三边长为4、6、6， 当k=5时，方程为， 解得x=6或x=10， ∴三角形的三边长为6、6、10， ②当b=c时，则方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得， ∴方程为，解得， 此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去， 综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10． 【点睛】本题主要考查方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握根的判别式与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键． 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式运算，乘法公式的变形，再代入计算，即可求解； （2）根据整式的运算，先通分，再进行加减，最后代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解： 当，， ∴原始． 【小问2详解】 解： 当，， ∴原始． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关键． 20. 某超市销售一款“消毒液”，这款“消毒液”的一本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，为尽快减少库存，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）．现销售这款“消毒液”每天的实际销售利润为350元，其销售单价是多少元？ 【答案】销售单价为18.5元 【解析】 【分析】设销售单价降低x元，先用x表示出每瓶的销售利润和每天的销售量，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为元，每天的销售量为瓶， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：， 又∵为尽快减少库存， ∴， ∴， 答：销售单价为18.5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，注意题干要求“尽快减少库存”． 21. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 22. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【答案】（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元 【解析】 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论； （2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b， ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80． 当x=23.5时，y=﹣2x+80=33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 解得：x1=35，x2=25． ∵20≤x≤32， ∴x=25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 已知：如图所示，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）1秒 （2）2秒 （3）不能，理由： 令，即：， ∴整理得：． 由于，则方程没有实数根． 所以，在（1）中，的面积不等于． 【解析】 【分析】（1）设秒后，则：，；，根据三角形面积公式进行计算即可； （2）在中，根据勾股定理求解即可； （3）根据三角形面积公式列出一元二次方程，利用判别式，求解即可． 【小问1详解】 解：设秒后，则：，；． ，即， 解得：或4.（秒不合题意，舍去） 故：1秒后，的面积等于． 【小问2详解】 ∵，则， 即， 解得：（舍）或2. 故2秒后，的长度为5cm． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，分别用含的式子表示出，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九年级上学期数学第一次学情检测 一、选择题（每小题3分，共30分、下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与同类二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A. （1+x）2= B. x+2x= C. （1+x）2= D. 1+2x= 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出的小分支数目是（　 　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 计算的结果为_________． 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 14. 已知，，实数在数轴上的对应点如图所示，化简______． 15. 已知y＝+2022，则x2+y﹣3的值为 _____． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 17. 解方程（按要求解方程） （1）（因式分解法）； （2）（配方法）； （3）（适当的方法）． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长． 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 20. 某超市销售一款“消毒液”，这款“消毒液”的一本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，为尽快减少库存，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）．现销售这款“消毒液”每天的实际销售利润为350元，其销售单价是多少元？ 21. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 22. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 23. 已知：如图所示，在中，，，．点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $