专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（有理数代数式整式加减）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （有理数代数式整式加减）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握有理数四则混合运算与绝对值化简，能准确进行符号分类讨论 · 深入理解代数式与整式的概念，能辨析单项式、多项式的次数与系数 · 掌握整式加减运算规则，能进行去括号、合并同类项与整体代入求值 · 学会观察数式与图形规律，能归纳周期规律并推算第n项 · 理解新定义数字问题与进位制转换，能按规则完成计算与说理 · 能结合数轴解决动点、距离与对称类综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算与绝对值 有理数混合运算按先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行 灵活运用加法交换律、结合律、乘法分配律进行简便运算 绝对值表示数轴上点到原点的距离，具有非负性，化简时需按正负分类讨论 几个非负数的和为零，则每个非负数均为零 概念辨析例题：计算：3+(−)−(−)+2 答案：6 解析：先把符号统一，再利用交换律与结合律，将同分母分数（同号）先结合：3−=3，+2=3，原式=3+3=6 ☆ 2.代数式与整式的概念 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和 多项式的项是每个单项式，次数是次数最高项的次数，几次几项式据此判断 多项式求值与系数求和常用赋值法（令x=1、x=0等） 整式中的字母取值需满足系数、次数等约束条件 概念辨析例题：已知多项式15xm+1y2+2xy2−4x3+1是六次四项式，单项式26x2ny5−m的次数与该多项式的次数相同，求(−m)3+2n的值 答案：−3 解析：由六次四项式可得m+1+2=6，即m=3；单项式次数为2n+(5−m)=6，得n=2；故(−m)3+2n=−27+4=−3 ☆ 3.整式的加减与绝对值化简 去括号法则：括号前是正号去括号不变号，负号去括号各项变号 合并同类项：系数相加，字母及指数不变 含绝对值的代数式化简，先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号 几何背景（图形分割、周长面积）中的整式加减，先列式再化简 概念辨析例题：已知a<b<0<c<d，对多项式a−b−c−d任选两个字母添加绝对值运算，判断化简结果 答案：化简后可得a−b+c+d等不同结果 解析：绝对值具有非负性，添加绝对值后负项可能变号，先判断各字母大小关系，再分情况化简 ☆ 4.规律探索与周期运算 数列规律：观察项数n与项值的对应关系，归纳通项公式 周期问题：找出最小循环节，用位置数除以周期求余数判断 操作递推：记录每次操作的结果，寻找循环或递推关系 数形结合：把图形规律转化为数式规律，用代数式表示 概念辨析例题：输入x=243，若为奇数乘3加1，为偶数除以2，求第2025次输出结果 答案：1 解析：按规则递推，当出现4→2→1→4的循环后，利用周期性计算第2025次的结果 ☆ 5.新定义数字与进位制 新定义运算：按题设规则代入计算，注意运算顺序与分类讨论 新定义数字：理解“和差一数”“重善数”等定义，用代数式表示数位关系 进位制转换：k进制数按位权展开转换为十进制，十进制按除k取余转换 说理与证明：将数字问题转化为代数式恒等变形 概念辨析例题：三进制数1212（3）转换为十进制数 答案：50 解析：按位权展开：1×33+2×32+1×31+2×30=27+18+3+2=50 ☆ 6.数轴上的动点与新定义 数轴上两点间距离等于两点所表示数的差的绝对值 中点公式：两点所表示数的平均数即中点表示的数 动点运动：位置=初始位置±速度×时间，结合相遇、追及列方程 对称点：关于某点的对称点，两对称点到该点距离相等 概念辨析例题：数轴上A、B两点表示数a、b，满足|a+6|+(b−1)2=0，点M在A、B之间且到A、B距离满足一个距离是另一个的2倍，求M表示的数 答案：−或− 解析：由非负性得a=−6，b=1；A、B距离为7，设M表示x，则|x+6|与|x−1|一个为另一个的2倍，解得x=−或− 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数混合运算 先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号 正确运用运算律简化计算，注意符号 绝对值 |a|=a(a≥0)，−a(a<0) 非负性：|a|≥0；几个非负数和为0则各自为0 单项式 系数×字母的积；次数=所有字母指数和 单独一个数或字母也是单项式；π是常数 多项式 几个单项式的和；次数=最高次项次数 几次几项式按次数与项数命名，注意合并后项数 同类项 所含字母相同，相同字母指数也相同 合并时只合并系数，字母与指数不变 去括号 负号前括号内各项都变号 括号前系数要乘进去（乘法分配律） 整体代入 把含未知数的式子看作一个整体替换求值 先变形已知条件，再整体代入目标式 进位制 k进制数按位权展开：ankn+…+a0 k进制各位数字取值范围为0～(k−1) ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数运算与绝对值（第1-6题） · 混合运算先定运算顺序，再用交换律、结合律、分配律简化 · 绝对值化简先判断正负，非负数相加为零则各自为零 · 符号分类讨论题（如abc符号）按正负个数分类 · 几何意义类（数轴距离、图形面积）转化为代数运算 1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数大小比较，由于分数的分母和分子都是较大数，通分化为同分母比较困难， 利用，，将它们转化为同分子比较，即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴ ∴ 故选A． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值．代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值，据此分情况讨论，分别求出最小值后列方程解答即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值， 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，a的值是或． 故答案为：或． 3．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）__________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 4．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上某个点重合，这个点所标数字为______． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数字类规律探索 【分析】根据循环周期进行求解． 【详解】解：圆转动一周，0，1，2，3循环一次， ∵， ∴， ∴这个点所标数字为． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为________．（表示、、的乘积） 【答案】或或或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】分类讨论：①、、中有一个负数时，②、、中有两个负数时，③、、中有三个负数时，④、、都是正数时，即可求解． 【详解】解：①、、中有一个负数时， 所以， 原式 ； ②、、中有两个负数时， 所以， 原式 ； ③、、中有三个负数时， 所以， 原式 ； ④、、都是正数时， 所以， 原式 ； 故答案：或或或． 【点睛】此题考查了分类讨论与有理数绝对值的性质应用能力，有理数加减混合运算，能根据有理数绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 【考点2】代数式与整式概念（第7-13题） · 由次数、项数条件列方程（组）确定字母取值 · 赋值法求系数和：令x=1、x=−1、x=0代入 · 新定义整式按题设规则逐步代入验证 · 计数问题用枚举、排列组合思想，注意不重不漏 7．（25-26七年级上·重庆奉节·期末）关于x的多项式：，其中n为自然数，含x各项的系数均不为0且各不相同，下列说法中：①若多项式，则；②若多项式，则；③若，且为整数，则满足条件的多项式共有6个．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的运算，以及多项式的项、项数或次数的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式中x的取值． 说法①利用多项式系数和为时的值验证正确；说法②通过计算、和时的值，得到部分系数和为121，与123不符；说法③中多项式的系数条件可得共有6个． 【详解】解：对于说法①：，令，则， 即系数和，说法①正确； 对于说法②：， 令，得①； 令，得； 令，得； 得：，即， 则，说法②错误； 对于说法③：多项式，含x项系数和均不为0且互异， 且，，， 又∵含x各项的系数均不为0且各不相同，且为整数， 则， ∴时，或，共2个； 当时，，共1个； 当时，，共1个； 时，或，共2个； 则满足条件的多项式共有6个，说法③正确． 综上，说法①③正确． 故选：C． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）已知整式：，其中系数，，，均为整数，满足，且（其中，1，2），下列说法正确的个数是（   ） ①存在满足条件的整式，当时，； ②若整式满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式共有4个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式系数的条件限制，需根据差值范围和求和条件逐一验证三个说法的正确性，由此求解即可． 【详解】∵设，，，且（，1，2） ① 当时，，即， 取，，，，则，，， 满足且差值在2到3，总和为，故①正确； ② 已知且时，即， ∴，唯一解为，，， ∴，故②正确； ③ 已知，即， 当时，，需有两个和一个，有种整式； 当时，，需所有，有种整式，总计种，故③正确； 综上，①②③均正确，共3个． 故选：D． 9．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：①若，则；②满足条件的整式中不存在单项式；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】单项式的判断、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了整式的有关定义，通过展开得到值，可判断①；根据系数的条件可判断②；通过枚举法可判断③，综上即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，其中为自然数，为正整数， 若，则，，， ∵ 是负整数，，故说法①错误； ②∵为自然数，为正整数， ∴，， ∴一定不是单项式，故说法②正确； ③∵为自然数，为正整数， ∴，，， 若，则符合条件的组合有：，，；，，；，，；，，；，，；，，，共组， ∴满足条件的整式共有个，故说法③错误； 综上，说法正确的有个， 故选：． 10．（25-26九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、多项式的项、项数或次数、整式加减的应用 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．说法①，当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)，分别计算当时满足条件的M值；说法②，时，条件为 （），分别计算当时和当时，M可能的式子即可；说法③，按，2，3，4分类计算即可． 【详解】解：①当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)； 条件简化为 ： 当时， （个）； 当时， （3个）； 当时， （2个）； 当时， （1个）； 总计个，说法①正确． ②时，条件为 （） 当时，M可能为，，，， 当时，M可能为， 求和得， 故说法②正确； ③按，2，3，4分类计算∶ 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为1； 总计个，说法③正确． 综上所述 ，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：D． 11．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： 若，时，则； 若，时，则的值不可能是奇数； 若时，则满足条件的整式M共有10个． 其中正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． 把，代入可得，再结合，为正整数，可得到m，n的值，即可判断；设，把代入，可得，即可判断；把代入，可得，再结合，，为自然数，为正整数，进行分类讨论，即可判断． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∴，故正确； 设， ∵， ∴ ， ∴的值一定为偶数，不可能为奇数，故正确； 若，此时， ∵，，为自然数，为正整数， ∴当时，，此时或或或，满足条件的整式M共有4个； 当时，，此时或或，满足条件的整式M共有3个； 当时，，此时或，满足条件的整式M共有2个； 当时，，此时，满足条件的整式M共有1个； ∴满足条件的整式M共有个，故正确． 故选：D． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，则的值是________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式与单项式的相关概念，求代数式的值，根据题意可得，， 即可求出，代入计算即可得解，熟练掌握多项式与单项式的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ，， ， ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 记， 请利用以上规律求出的展开式中的值为______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． ∴． 【考点3】整式加减与绝对值化简（第14-20题） · 先去括号再合并同类项，括号前负号注意变号 · 含绝对值先定号再化简，必要时分类讨论 · 图形周长、面积类先设未知量列代数式再化简 · 新定义运算（如f(x)、g(x)）按定义代入计算 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①不符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①错误； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为： ， 当时，，说法④正确， 故选：B． 15．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将四个如图甲所示的小长方形按照如图乙所示的方式不重叠地放在长为、宽为的大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分用阴影表示，则两个阴影部分的周长之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，表示出两个阴影长方形的长和宽是解答关键． 设甲图的长为，宽为，先表示出甲图的长和宽，再结合图形表示出两个阴影长方形的长和宽，最后利用周长公式求解． 【详解】解：设甲图的长为，宽为，由图可知，，， 两式相减得， ∴， 即甲图的长为，宽为， 小阴影长方形的长为：，宽为：， 大阴影长方形的长为：，宽为：， 两个阴影小长方形的周长之和为：． 故选：B． 16．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知，对多项式任选两个字母，在它们的两侧添加一个绝对值运算（保持原字母顺序不变），称这种操作为“绝对操作”．例如：，，下列说法：①存在一种“绝对操作”，其化简的结果与原多项式的和为0；②不存在任何“绝对操作”，其化简的结果与原多项式相等；③所有的“绝对操作”，共有5种不同的化简结果．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式加减的应用 【分析】本题考查新定义题型，根据“绝对操作”的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论，需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较，主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②说法③需要对绝对操作分析添加两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴，，，，，， ∴； ； ； ； ； ； 所以，不存在任何“绝对操作”，其化简的结果与原多项式相等，故②正确； ③由②知，所有的“绝对操作”，共有5种不同的化简结果，故③正确； 所以，正确的个数共有3个， 故选：D． 17．（25-26七年级上·北京·期中）如图1，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中展台有三种不同的形状，其规格如图2所示． ①； ②图1中长方形的长可以表示为； ③图1中长方形的宽可以表示为； ④图1中长方形的面积可以表示为； ⑤ 以上说法正确的有（        ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查代数式的几何应用边长与面积的表达式推导，解题关键是通过“图形拼接的边长等量关系”分析长、宽的组成，同时注意结合展台的规格边长、直径推导等式．需仔细观察图形中各部分的拼接关系，避免边长组成的错误推导．需结合展台规格和长方形边长的组成，逐一分析5个说法的正确性：①：由图中形状关系判断a、b、c的大小，②③：根据长方形长、宽的组成推导表达式，④：用长宽计算面积，需结合前面的长、宽结论，⑤：通过边长的等量关系推导等式． 【详解】解：①由图2，正方形边长为a，长方形长为b、宽为c，圆半径为直径为结合图1的拼接关系，可知，正确； ②长方形的长应为 由正方形、长方形展台的边长拼接，错误； ③长方形的宽为，正确； ④若长为、宽为，面积应为，而非，错误； ⑤由图1中边长的等量关系得，即，正确． 正确的说法是①③⑤， 故选：B． 18．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义运算的理解与计算，整式加减运算，说法①通过直接计算3次f变化验证；说法②通过计算3次g变化验证；说法③通过枚举所有3次变化序列，得到一般形式下的不同结果数量；说法④通过计算变化后的表达式，利用恒等式条件求解参数． 【详解】解：f变化：，g变化：． ① 对进行3次f变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：，故此说法正确； ② 对进行3次g变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：， 但说法为，故此说法错误； ③ 序列：； 序列：先进行两次f变化为，再进行1次g变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 实际不同结果为：，，，，，共6种，故此说法正确； ④ 先g变化：， 再f变化：， 即, ， ， ∵代数式的值恒等于0， ∴， 代入, ， 得， 即， ∴且， 解得：, ， 但说法为, ，故此说法错误． 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B． 19．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性、绝对值方程、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键． 根据绝对值的性质计算可得x的值，可对（1）进行判断；根据绝对值的性质去绝对值计算可对（2）进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出x、y的值，可对（3）进行判断；根据绝对值的几何意义可对（4）进行判断，综上即可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或，故（1）正确； ∵，，， ∴，， ∴ ，故（2）正确； ∵， ∴， ∴且， 解得：，， ∴，故（3）正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故（4）错误， 综上所述：正确的结论有（1）（2）（3）， 故选：B． 20．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 【答案】特例验证：1236（答案不唯一），12（答案不唯一），能；探究证明：； 迁移运用：证明： ． ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除； 拓展提升：或 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查整式加减的应用． 特例验证：根据一个四位数的各位数字和能被3整除，这个四位数就能被3整除的结论写出一个四位数即可； 探究证明：根据合并同类项法则解决即可； 迁移运用：把化为即可证明； 拓展提升：根据五位数能被9整除得出能被9整除，进而求出结论． 【详解】特例验证：解：只要四位数的各个数位上的数字之和能被3整除即可． 故能被3整除的四位数为：1236（答案不唯一）；该数四个数位上的数字之和为12，显然该和能被3整除． 故答案为：1236，12，能； 探究证明： 解： ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：； 迁移运用：略 拓展提升： 解：∵五位数能被9整除， ∴各位数字之和能被9整除，即：能被9整除． ∴x能被9整除． ∵x是的整数， ∴或． 【考点4】规律探索与周期运算（第21-26题） · 先列出前几项，找项数与项值之间的函数关系 · 周期问题找最小循环节，用取余判断 · 操作递推记录每次结果，寻找循环节 · 图形规律转化为数式规律，注意首项与公差/公比 21．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知三个数，，c，任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，．以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是7； ②若，，，且，，中最小值为0，则或； ③若，则第n次操作的结果为，，．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查新定义运算，数字的变化规律，涉及绝对值和代数计算，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出正确的算式和方程．①根据已知条件，列出算式，进行计算即可；②根据已知条件，列出方程，解方程，进行解答即可；③根据第一、二、三次操作的结果，找出规律，然后解答即可． 【详解】解：①∵，，， ∴，，， ∴ 最大数为7， 故①正确； ②∵，，，即，，， ∴，，， ∵最小值为0， 若，则， 解得或； 若 ，则，无解； 若 ，则， 解得， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 均满足最小值为0，故或， 故②正确； ③∵，且， 第一次操作: ，，， 第2次操作：，，； 第3次操作：，，． ⋯⋯， 类似的，第n次操作后有两个数为，，， 故③正确． 综上，①②③均正确． 故选：D． 22．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推： ①第二次操作后，得到5个整式，从左往右第2个整式为：． ②第三次操作后，所有整式的和为：； ③经过四次操作后，若，则所有整式的值的和为68； ④经过10次操作后，得到513个整式． 以上四个结论正确的个数有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的操作规律，涉及插入平均数后的序列变化、整式和的计算以及整式个数的规律．结论①通过直接计算第二次操作后的数列判断；结论②利用操作后整式和的递推关系计算；结论③代入特定值计算四次操作后的和；结论④根据操作次数与整式个数的关系判断． 【详解】解：∵初始整式：和， 第一次操作插入平均数：，数列为，，． 第二次操作：在与之间插入平均数：；在与之间插入平均数：． ∴数列为，，，，，第2个整式为，故①正确． 设为第次操作后所有整式的和，． ∵， …， ∴， ， ， ，故②正确． ， 代入，得，故③正确． ∵第一次操作后整式个数为， 第二次操作后整式个数为， …， ∴第次操作后整式个数为， ∴时，，故④错误． 综上，①②③正确． 故选B． 23．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）对整式A、B进行加法运算后，进行如下操作：若的结果为单项式，则记该单项式为；若的结果为多项式，则记该多项式的最高次项与最低次项的和为，称为第一次操作．再将第一次操作的结果与整式A进行加法运算后，重复上述操作，并将结果记为，称为第二次操作．以此类推，若已知整式，则下列四种说法： ①若，则 ②若，则 ③存在整式B，使得始终为单项式 ④若，经过15次操作后得到，若，经过28次操作后得到，则 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，规律探究．对每个说法进行验证：①计算后操作得符合；②不存在使，故说法错误；③不存在整式使始终为单项式；④分别计算和对应的和，求比值得 ． 【详解】∵， ①当时， ， 为多项式，最高次项为，最低次项为， ，说法正确． ②若，若为单项式，则， 但为的最高次项与最低次项之和，最多两项， 而为三项，不可能等于， 若为多项式，则为其最高次项与最低次项的和； 经分析，的最高次项与最低次项之和不可能等于， 不存在使，说法错误． ③若为单项式，则为单项式，但为多项式，为二项式，非单项式； 若为多项式，为二项式，为多项式，为二项式， 不存在整式使始终为单项式，说法错误． ④当时， ，为单项式， ， ，为多项式， ， 同理可得 ∴，， ． 当时， ，为多项式， ，……， 同理可得，， ， ，说法正确． 综上，①④正确，故选B． 24．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要______个小立方块，最少需要______个小立方块． 【答案】 16 10 【知识点】有理数的加减混合运算、从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看立体图形，有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 分别画出搭建该几何体需要小立方块最多与最少时的示意图，再逐个计算即可． 【详解】解：如图所示 ∴搭建该几何体最多需要个小立方块， ∴最少需要个小立方块． 故答案为：16，10． 25．（23-24七年级上·天津和平·期中）如下图所示，对于任意正整数，若为奇数则乘3再加1，若为偶数则除以2，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数．在1937年提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数，路径长为，当时，的所有可能值有______个，其中最小值为______． 【答案】 4 3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】倒推，将所有可能的路径都找到即可． 【详解】解：∵输出结果为1，路径长为7， ∴倒推得出：①1248163264128； ②124816326421； ③12481651020； ④1248165103． ∴的所有可能值有4个，分别为3，20，21，128，其中最小值为3． 故答案为：4，3． 【点睛】本题考查程序框图．采取倒推的方法是解题关键． 26．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得______； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有______个． 【答案】 1 4 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是正确理解题意． （1）按照流程图计算三步即可； （2）运用逆推法，分别根据题意求出前一步所有满足条件的值，然后可得答案． 【详解】（1）解：，，， ∴取自然数1，经过3步运算可得， 故答案为：1； （2）解：运用逆推法， ∵第7步运算可得到1， ∴第6步得到的数为， 第5步得到的数为， 第4步得到的数为， 第3步得到的数为， 第2步得到的数为或， 第1步得到的数为或， 则m的值为：或或或， ∴符合条件的的值为：或或或， 故答案为：4． 【考点5】新定义数字与进位制（第27-35题） · 严格按新定义代入计算，注意运算顺序 · 数字问题用位值原理：abc=100a+10b+c · 进位制转换按位权展开或除基取余 · 证明整除性用代数式变形，把数字拆成若干项 27．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）对于一个三位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若百位数字与个位数字的和与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“和差一数”．若百位数字与个位数字和的两倍与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“倍差一数”．例如：自然数463，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以463是“和差一数”；自然数392，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以392是“倍差一数”，则最小的“和差一数”为 ________；若“和差一数”s的百位数字为3，“倍差一数”t的个位数字为1，且能被7整除，则满足条件的最大的s为________． 【答案】 243 397 【知识点】有理数的加减混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，熟练掌握数的特点，理解三个数位上数字之间的关系是解题的关键．根据“和差一数”的定义求出最小数，设“和差一数”s的个位数字为a（且是整数）；“倍差一数”t的百位数字为b（且是整数）；则“和差一数”s的十位数字为；“倍差一数”t的十位数字为；由已知条件求出满足条件的a、b；从而得出结论． 【详解】解：根据“和差一数”的定义可知：“和差一数”的百位上的数字和个位上的数字不能有1；否则十位上的数字就会重复； ∴最小的和差一数的百位数字为2，个位数字为3， ∴十位数字为：， ∴最小的和差一数为243； 故答案为：243； 若“和差一数”s的百位数字为3；“倍差一数”t的个位数字为1； 设“和差一数”s的个位数字为a（且即且是整数）； “倍差一数”t的百位数字为b（且是整数）； 则“和差一数”s的十位数字为； “倍差一数”t的十位数字为； ； ； ； ； 能被7整除；且是整数， 且是整数； ∴满足条件的a、b有、、； ∴满足条件的s有：、、（舍去）； 即s可为397或364． ∴最大数为397； 故答案为：397． 28．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足．那么称这个四位数M为“重善数”．我们将“重善数”M的千位数字与十位数字对换，百位数字与个位数字对换，就得到四位数．记．若“重善数”，则____；若“重善数”M满足，且能被7整除，则满足条件M的最大值与最小值之差为____． 【答案】 121 8195 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是根据数位关系写出数字，结合新定义要求列式求解即可得到答案，答空1：对于给定“重善数”，直接计算的值；答空2：直接代入公式计算结合化简出最后结果，根据满足被整除，算出所有可能代入找到最大值及最小值求解即可得到答案． 【详解】解：∵“重善数”， ∴ ∴； ∵“重善数”各数位上的数字互不相等且均不为， ∴，，，， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵各数位上的数字互不相等且均不为， ∴，， ∴， ∵被整除， ∴或或或或或或或或或或或或或， ∵均为整数，要使M最大，则a取最大， ∴当时最大，此时不存在正整数a、b使成立，故舍去； ∴当时最大，即，时最大，M的最大值为， 当时最小，即，时最小，M的最小值为1243， ∴， 故答案为：121和8195． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤： （1）将34，25分别写在方格的上边和右边； （2）把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧； （3）沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边； （4）将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）． 若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，该图表示的乘积结果为__________． 【答案】510 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．根据运算规律可知每个方框外上边和右边的数字相乘，十位数写在方框内斜上方白色部分个位数写在方框斜下方阴影部分，多位数相乘时则出现同一数位多个数字求和，即斜线方向数字相加，根据此规律求出图2各值即可． 【详解】解：根据题意可知，且为自然数， ， 故的斜上方为， ，且，都不大于5的自然数， 或， 当时，， 此组解不符合题意舍去， 即，，， 图2表示的是， 故答案为：510． 30．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段检测）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n，记．例如：满足，则126为“天长数”，那么，所以．则=______；对于任意一个“天长数”m，若能被11整除，则满足条件的m的最大值是______． 【答案】 189 711 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查新定义的整式运算，根据题意得为“天长数”，得到，根据定义计算即可；设“天长数”m的百位为a、十位数为b、个位数为c，则，，那么，结合题意得能被11整除，且a和b可能为1至7中数的任意一个，则，那么，只能为和22分别计算其对应值即可． 【详解】解：∵， ∴为“天长数”， 当时，， ∴； 设“天长数”m的百位为a、十位数为b、个位数为c，则，， 则， ∵， ∴ ， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵各个数位上的数字均不为0， ∴a和b可能为1至7中数的任意一个， 则， ∴ ∴， （1）当时，，则， 若，则，；若，则（舍去）；若，则（舍去）；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （2）当时，，则被4整除， 若，则，；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （3）当时，，则被4整除， 若，则，；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （4）当时，， 若，则，， ∴满足题意得； ， 最大的m是711． 故答案为：189，711． 31．（25-26六年级上·山东淄博·期末）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明为了研究这片网的结点数（），网眼数（），边数（）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下： 根据上述探索过程，可能猜想之间满足的数量关系为__________；如图2，若网眼形状为六边形，则之间满足的数量关系为__________． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了平面图形的计数与规律探索以及归纳推理．通过观察四边形网，六边形网的结点数,网眼数，边数的数值变化，分析这些数量之间的联系，从特殊案例中总结出普遍的数量关系即可解答． 【详解】解：①分别对表格中前三组数据，计算结点数、网眼数与边数的和差， 第一组：， 第二组：， 第三组：， 猜想：； ②当网眼形状为六边形时，取不同数量的网眼数，计算对应的结点数和边数， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 猜想：； 故答案为：，． 32．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 【答案】(1)，六； (2)，； (3)； (4)，． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、不同进制的数之间的转换，解决本题的关键是读懂阅读材料中不同进制数之间的转换原理，利用材料中的解题思路进行解答． 根据：逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，可知六进制的基数为，逢六进一； 仿照材料二中的思路，运用除取余法，可知把十进制对应的二进制数为，根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为，仿照材料二中的思路，运用除取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为，逢六进一， 故答案为：，六； （2）解：运用除取余法，如下图所示， 十进制对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为： ， 故答案为：，； （3）解：将十二进制转化为十进制数为： ， 故答案为：； （4）解：先将转化为十进制数为： ， 运用除取余法，如下图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 故答案为：，． 33．（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在计算机领域，还有一种“逢八进一”的计数方式，叫做八进制． 八进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 观察发现：八进制数10表示十进制中的8，即；同理，八进制数23表示十进制中的19，即． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：八进制数35代表十进制中的数是______； (2)已知一个八进制两位数，各位数字的和为8，若该八进制两位数转换成十进制数后，是一个小于40的偶数，求所有满足条件的八进制数； (3)①求八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数； ②对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是否固定不变？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)29 (2)26、44 (3)①5；②是，这个定值是5 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了进位制的转换，涉及到有理数的混合运算，熟练掌握进位制的转换是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，把八进制数转换为十进制数即可； （2）设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，为非负整数），则，且，求出所有满足条件的、值即可得出答案； （3）①先仿照示例，将八进制数246转换为十进制数，再除以7求余数即可； ②设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，、为非负整数），依题意得，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：八进制数35代表十进制中的数是： ， 故答案为：29； （2）解：设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，为非负整数），则，且， ∴， ∴， 解得， ∴或2或3或4， 当时，则，这个八进制两位数为17，转换成十进制数为15，不是偶数，不符合； 当时，则，这个八进制两位数为26，转换成十进制数为22，是偶数，符合； 当时，则，这个八进制两位数为35，转换成十进制数为29，不是偶数，不符合； 当时，则，这个八进制两位数为44，转换成十进制数为36，是偶数，符合； 综上，所有满足条件的八进制数有26、44； （3）解：①八进制数246转换为十进制数是：， ， 即八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数是5； ②设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，、为非负整数）， 依题意得，则 ， 即对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是固定不变的，这个定值是5． 34．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②略 35．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 【答案】（1），4；（2）C（3），，，；（4）． 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义逐个判断即可； （3）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （4）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，4； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于两个相等的数相除，商为1，说法正确，不合题意； B．对于任何正整数，，说法正确，不合题意； C．，，，说法错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不合题意； 故选：C； （3）； ； ； （为大于2的整数）； 故答案为：，，，； （4）由可得，， ∴． 【考点6】数轴动点与新定义（第36-44题） · 距离=|两点所表示数的差|，中点=两数和的一半 · 动点位置=初始位置±速度×时间 · 相遇问题：两者路程和=总距离；追及：路程差=初始距离 · 新定义（对称点、友好点）严格按规则建立方程 36．（25-26七年级上·湖南常德·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． (1)则________，________； (2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点在点右侧，同时点在点的右侧，且点到点的距离是点到点距离的4倍，则当，，三点中有一点是另两点的“友好点”时，求点在数轴上对应的有理数． 【答案】(1)−6，12 (2)①6或0；②22，32，57，102 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据非负性进行求解即可； （2）①设点对应的数字为，分两种情况进行讨论求解即可；②求出点表示的数，分为的友好点和为的友好点，2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）①设点对应的数字为， 由（1）可知点表示的数分别为和12， 当时，，解得； 当时，，解得； 故在数轴上对应的有理数为6或0； ②设点表示的数为，点表示的数为， ∵点到点的距离是点到点距离的4倍， ∴， ∴， ①当点为的友好点时，则：或， 解得或； ②当点为的友好点时，则：或， 解得或； 综上，点表示的数有22，32，57，102． 37．（25-26七年级上·北京·期中）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．如1，2，3是一组“好数组”． (1)2，3，6____________“好数组”，2，3，5，7___________“好数组”（填“是”或“不是”）； (2)若2，4，8，是“好数组”，求出的所有可能值； (3)若含2025的4个正整数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”． 【答案】(1)不是，不是 (2)6 (3)或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义，绝对值，整式的加减，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义分析，分别求两数的和以及两数的绝对值的差，判断其结果在不在这组数中，即可求解； （2）根据定义可知这个“好数组”中10或6至少一个在其中，然后逐个进行判断，即可求解． （3）根据题意和（2）的结论，猜想由4个正有理数组成的“好数组”，能表示成形如，且为正有理数，然后根据新定义进行检验，最后分别当等于2025时，求得这组数，即可求解． 【详解】（1）解：∵在2，3，6中，对于，，都不在2，3，6这组数中， ∴2，3，6不是“好数组”， 在2，3，5，7中，对于3，7，，都不在这组数中， ∴2，3，5，7不是“好数组”， 故答案为：不是，不是． （2）解：∵2，4，8，x是“好数组”， 其中，；，；，， ∴这个“好数组”中10或6至少一个在其中， 当时，对于4，10，或均不在这个数组中，不符合题意， 当时，对于，，，，，均在这个数组中，符合题意， ∴x的值为6． （3）解：根据题意和（2）的结论，猜想由4个正有理数组成点“好数组”，能表示成形如，且为正有理数， 对于，得都在中， 同理对于，得，在中， 对于，都在中， 同理对于，，在中， 对于，，在中， 对于，，在中，， ∴是“好数组”， 若含2025的4个正整数是“好数组”，设这4个数分别为，且为正整数， 如果，解得：，不符合题意，舍去； 如果，解得：，则这4个正整数组成的“好数组”为； 如果，解得：，不符合题意，舍去； 如果，这4个正整数组成的“好数组”为． 综上，这4个正整数组成的“好数组”为或． 38．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，已知点和点，若点与点分别位于点的两侧，且点和点到点的距离相等，就把点叫做点的“对称点”．特别地，若点与点重合，那么点的“对称点”就是它本身．已知数轴上点，点对应的数分别为，．解决下面的问题： (1)当时， ①点的“对称点”对应的数是_________； ②若点是点的“对称点”，那么点对应的数是_________； (2)已知点对应的数分别为，，，记点的“对称点”为，点的“对称点”为点的“对称点”为． ①在线段中，长度为定值的是_________，它的长度是_________； ②若对于任意的值，有下面两种说法： （A）存在定点，使得点的“对称点”是点； （B）存在定点，使得点的“对称点”是点．请判断这两个说法哪一个是正确的，并求出相应的定点所对应的数． 【答案】(1)①；② (2)①，；②B选项正确，定点所对应的数为 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式加减的应用 【分析】本题考查了数轴上两点距离，新定义，整式的加减； （1）①依题意，，根据新定义可得是与对应点的中点，即可求解； ②根据定义可得，是的中点，根据两点距离，即可求解． （2）①设分别对应的数为，根据新定义，即线段中点的定义，分别求得的长，即可求解； ②设点表示数为，根据①的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点的“对称点”对应的数是 故答案为：． ②根据定义可得，是的中点，设点表示的数为， ∴ ∴ 故答案为：． （2）①依题意，，，为线段的中点， 设分别对应的数为， ∵点对应的数分别为，， 为线段的中点，则， 则， 为线段的中点，则，则， 为线段的中点，则，则， ∴ 不为定值 为定值， 不为定值， 故答案为：，． ②设点表示数为， 若A正确，则 ∴不为定值，故A选项错误； 若B选项正确， ∴，故B选项正确，则定点所对应的数为 39．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 40．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【答案】(1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2)4或 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、数轴上的翻折 【分析】（1）先通过非负数性质求出、，再根据相遇时、的路程和等于、距离列方程求时间，进而求相遇点； （2）根据列绝对值方程，分情况解出对应的数，再计算与的距离； （3）先表示秒后、的位置，结合、表示、，根据列方程求，再求折叠点，进而得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴的距离：， 设经过秒、相遇，由题意得， 解得， 相遇点对应数：； （2）解：， 由，得， 当时，， 解得， 与的距离：； 当时，， 解得， 与的距离：； 当时：， 解得（舍去） 综上，与的距离为或． （3）解：秒后，对应数：，对应数：， ，， 由，得， 当时，， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或， 解得，（舍去）， 此时对应数：， 折叠点（、中点）：， 设对应数为，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键． 41．（24-25七年级上·福建泉州·期中）操作发现： 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点，记作：，例如：； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点，记作：，例如：． (1)直接填空： ， ； (2)点A表示的数为a，点B与点A之间的距离为5，点C是数轴上一动点，且． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由； ②当点C表示的数是时，且B、D两点之间的距离恰好为2，求a的值． 【答案】(1) (2)①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值5；②或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】本题考查了数轴，绝对值方程． (1)根据题干提供的信息进行解答即可； (2)①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为5，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为5，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，得出，根据B、D两点之间距离刚好为2，得出，解方程即可．同理求出点B在点A左侧时a的值． 【详解】（1）根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为5， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； ∴点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值5； ②当点B在点A右侧， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为5， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为2， ∴， 即， 解得：或； 点B在点A左侧， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为5， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为2， ∴， 即， 解得：或． 综上所述：或或或． 42．（25-26七年级上·广西南宁·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． (1)_____；_____；_____． (2)点、、开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，假设秒钟后． ①点表示的数是_____，点表示的数是_____，_____．（用含的代数式填空） ②探究：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出其值． 【答案】(1)；；5 (2)①；；；②当时，的值会随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变，其值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、列代数式、整式加减的应用 【分析】（）根据负整数和相反数的定义，结合绝对值的非负性和平方的非负性，分别求出a、b、c的值即可； （2）①根据运动速度，得出当运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数，根据数轴上两点间距离公式求出即可； ②根据数轴上两点间距离公式得出：，，再分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， 又∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：①∵，，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， ∵点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数， ∴； ②∵当运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数， ∴，， 当，即时， ， 此时的值会随着时间的变化而改变； 当，即时， ， 此时的值不会随着时间的变化而改变，其值为； 综上，当时，的值会随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 43．（24-25七年级上·北京·期中）小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． (1)记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； (2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)①75；188；②1708（答案不唯一） (2)①3；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、数字类规律探索 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键． （1）①根据“历史数轴”的定义求解即可； ②画出各数学家的生卒年份数轴即可得解； （2）①根据“缺数码的数轴”的定义，得出不符合题意；当或时，不符合题意；即或，再分类讨论求解即可； ②分别求出；；，即得出规律，即得出． 【详解】（1）解：（1）①，； ②由题意画出年份如图， 由图可知这8位数学家中同时在世的人数最多的为1707到1716年，为四位数学家， ∴填写1707到1716年中任一个年份即可（不包含1707年和1716年）， 故可填1708． 故答案为：1708（答案不唯一）； （2）解：①表示24的点和表示68的点在正常数轴上的距离为， 由“缺数码的数轴”的定义可知原来距离为10的两点现在距离为9， 设缺码的数为k， ∵， ∴正常数轴中若以距离10为1组，则表示24的点和表示68的点之间有4组，还余4． 若，则，与不符； ∵中有和两数， ∴当或时，，与不符； ∴或． 当时，，，，，， ∴符合题意； 当时，，，，，， ∴不符合题意． 综上可知； ②由题意可知正常数轴距离为10的，现在距离为9； 原来距离为100的，现在距离为； 原来距离为1000的，现在距离为， ……， ∴； ； ， ……， ∴当为正整数，时， ∴． （25-26七年级上·全国·周测） 44．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．将两颗小球A，B（可近似看成两个点A，B）放在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，表格中a的值是_____，b的值是____； (2)根据（1）的信息，在初始位置，若给A，B两颗小球分别安装一个磁吸感应装置，在两颗小球同向或者反向运动过程中，不发生磁吸撞击；在两颗小球相向运动过程中，当感应A，B两颗小球距离为5时，两颗小球会瞬间在两球所在位置的中点处发生磁吸撞击（可近似看成两个点A，B重合）．撞击后两颗小球沿着相反方向继续匀速运动，速度不变，瞬间发生磁吸撞击时间忽略不计．求A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数； (3)在（2）的条件下，若在M，N两点处分别放置一块挡板，当小球运动到挡板时（可近似看成点A，B与点M或N重合）会立即反向匀速运动，速度不变．求A，B两颗小球第十次磁吸撞击时刻的位置表示的数． 【答案】(1)，； (2)A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数是； (3)． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、有理数的乘方运算、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离计算，非负数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可求出小球A和小球B的运动速度和运动方向，进而根据数轴上两点距离计算公式可求出答案； （2）可求出两个小球相向运动第一次距离为5时的运动时间，进而求出此时点A和点B表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （3）求出前三次两个小球相向运动距离为5碰撞点表示的数，进而可得两个小球每两次撞击为一个循环，撞击的位置分别为、，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，小球A的运动速度为个单位长度/秒，小球B的运动速度为个单位长度/秒， ∵随着运动时间的增加，点A表示的数增大，点B表示的数减小， ∴小球A沿数轴正方向运动，小球B沿数轴负方向运动， ∴； （2）解：根据（1）可知，小球A在数轴上的初始位置表示的数是，向右运动，每秒移动的距离是2；小球B在数轴上的初始位置表示的数是8，向左运动，每秒移动的距离是3． 当A，B两颗小球相向运动第一次距离为5时，运动时间是：（秒）， 此时，小球A在数轴上的位置表示的数是， 小球B在数轴上的位置表示的数是， 因为撞击点位置在两球所在位置的中点处， 所以，A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数是． （3）解：∵，， ∴， ∴ ∴． ①小球B在第一次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向右运动， 经过（秒）到达N点处挡板后向左运动； 小球A在第一次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向左运动， 经过（秒）到达M点处挡板后向右运动， 此时小球B所在位置的表示的数是，向左运动． 再经过（秒），A，B两颗小球相向运动第二次距离为5， 此时，小球A在数轴上的位置表示的数是， 小球B在数轴上的位置表示的数是， 所以，A，B两颗小球第二次磁吸撞击时刻的位置表示的数是． ②小球A在第二次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向左运动， 经过（秒）到达M点处挡板后向右运动； 小球B在第二次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向右运动， 经过（秒）到达N点处挡板后向左运动． 此时小球A所在位置的表示的数是，向右运动． 再经过（秒），A，B两颗小球相向运动第三次距离为5， 此时，小球A在数轴上的位置表示的数是， 小球B在数轴上的位置表示的数是， 所以，A，B两颗小球第三次磁吸撞击时刻的位置表示的数是，与第一次撞击的位置重合． 综合（2）、（3）①②，可知A，B两颗小球第四次磁吸撞击时刻的位置与第二次磁吸撞击时刻的位置重合，…，依此类推，第十次磁吸撞击时刻的位置与第二次撞击的位置重合，该位置表示的数是． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数运算重在“先定号再定值”，熟练运用运算律减少计算失误 · 整式概念题抓住“次数、系数、项数”三要素，用赋值法快速求系数和 · 绝对值化简先判断正负，再分类讨论，注意非负数性质的应用 · 规律探索题先列前几项找周期或通项，切忌凭直觉猜测 · 新定义题严格按规则逐步代入，数字问题善用位值原理转化 【作业1】．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）桌面上放有8只杯子，将其中3只杯子翻转（杯口朝上与杯口朝下互换）作为一次操作，8只杯口朝上的杯子，经过n次操作后，杯口全部朝下，则n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了动手操作题，掌握运用排除法解题是解题的关键． 最初所有杯子杯口朝上，要全部朝下需每个杯子被翻转奇数次． 总翻转次数为，且8个奇数的和为偶数，故需为偶数，即n为偶数． 选项中和为奇数，不可能；和可能，但最小，且可构造操作序列实现，据此即可解答． 【详解】∵ 最初所有杯子杯口朝上，要全部朝下需每个杯子被翻转奇数次，8个奇数和为偶数， ∴ 总翻转次数为偶数，故n为偶数． ∴和为奇数，不可能． 对于，总翻转12次，可构造操作： 翻转杯子1、2、3； 翻转杯子1、2、4； 翻转杯子1、2、5； 翻转杯子6、7、8． 此时杯子1、2翻转3次（奇数次），杯子3、4、5、6、7、8翻转1次（奇数次），所有杯子朝下． ∴ n的最小值为4． 故选B． 【作业2】．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a，c都是1～9之间的整数，b是0～9之间的整数，那么这个数可表示为，将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数可表示为，将它们作差后并计算，然后判断被哪个数整除，据此进行判断即可． 【详解】解：设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a，c都是1～9之间的整数，b是0～9之间的整数， 那么这个数可表示为， 将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数可表示为， ， 那么它们的差应被99整除， 275，495，576，681四个数中，只有495能被99整除， 则四位同学中答对的为乙， 故选：B． 【作业3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 【作业4】．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了代数式求值、数字规律等知识点，发现从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1是解题的关键． 根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，据此解答即可． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， 第7次，， ……， 依此类推，从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1， 所以第2025次输出的结果为1． 故选：D． 【作业5】．（23-24七年级下·重庆·期中）有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．①根据第三次操作后整式的个数判定；②根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；③、④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答即可 【详解】解：①原整式为：， 第1次操作后所得整式串为：， 第2次操作后所得整式串为：， 第3次操作后所得整式串为：，共有9个整式，故①错误； 第1次操作后整式串共有3个整式，， 第2次操作后整式串共有5个整式，，， 第3次操作后整式串共有9个整式，， 第4次操作后整式串共有17个整式，， ……， 第n次操作后整式串共有整式个数为：，②正确； 第1次操作后所得整式串为：x，2，，所有整式之和为：， 第2次操作后所得整式串为：x，，3，，，所有整式之和为：， 第3次操作后所得整式串为：x，3，，，3，，，，，所有整式之和为：， 第4次操作后所得整式串为：x，，3，，，3，，，3，，，，，，，，，所有整式之和为：， ……， 第n次操作后所得所有整式的和为：， 故操作第2024次操作后所有整式之和为：， 故③正确； ∴ ． ， 故④正确， 故选：A． 【作业6】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是__________． 【答案】或 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，整式加减的应用等知识点，根据已知条件逐步推理并充分利用，，，的约束条件是解题的关键． 设这个四位数为，则，，，，首先，因为若，则可推出与已知条件不符，因而，，于是，根据题意可得，即，可推出，，因而，于是可得，即，进而可得出其整数解为或，于是得解． 【详解】解：设这个四位数为，则， 首先， ，，，若，则有： ， ，与已知条件不符， ， ， ， 根据题意可得： ， 整理，得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 整数解为：或， 故所求四位数为或， 经检验，两个数都符合要求， 故答案为：或． 【作业7】．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）数列的第2025项的值是__________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据数列规律，数字出现次，到数字的总项数为等差数列前项和，通过计算该和与的大小关系，确定第项所在的数字组． 【详解】解：由数列规律可知，数字出现次，到数字的总项数为 ． 当时，，． 当时，，． 由此可知，第项到第项均为，故第项的值是． 故答案为． 【作业8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】先根据正方体展开图确定相对面的数字，再利用相反数的性质得出相关等式，结合非负数的性质求出的值，最后代入式子计算． 【详解】由正方体展开图可知：与相对，与相对，3与相对 ∵相对面的数字互为相反数， ∴ ∵，且 ∴ 解得 将代入： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方体的展开图、相反数的性质以及非负数的性质，掌握利用正方体展开图确定相对面，结合非负数的性质求出字母的值，进而计算式子的值是解题的关键． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将自然数按如图的规律排列．如第2行、第3列的数是7，则第25行、第24列的数是____． 【答案】599 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的排列规律．观察表格，找到规律求得第25行的第一个数字是，据此计算即可求解． 【详解】解：观察表格， 第1行的第一个数字是， 第3行的第一个数字是， 第5行的第一个数字是， 第25行的第一个数字是， ∴第25行的第24个数字即第25行、第24列的数是， 故答案为：599． 【作业10】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）学校信管中心老师根据中的三个数按照一定的规律设置学校密码，请根据提供的信息可以推断该校七年级组的密码是___． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律的探索与代数式运算，熟练掌握根据已知条件归纳运算规律并准确计算是解题的关键．通过前三个图形中的数字与对应密码，归纳出每两位数字的运算规律，再运用规律计算第四个图形对应的密码． 【详解】解：∵第一个三角形中，，即， ，即， ，密码为：； 第二个三角形中，，即， ， ，密码为：； 第三个三角形中，， ， ，密码为：； ∴上数字为，左下数字为，右下数字为． 第、位数字： 第、位数字： 第、位数字： 当，，时， ， ， ， 组合六位密码：， 故答案为：． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将1，，，，，，按一定规律排成如图，从图中可以看到，第4行中自左向右第3个数是．第5行中自左向右第4个数是．那么第行中自左向右第五个数是_____． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律的探究，根据题意找出前行数的总数的表达式是解题的关键，根据所给排列方式得出前行数的总个数为个，再结合分母及符号的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知： 第一行数的个数为1， 第二行数的个数为2， 第三行数的个数为3， …， ∴前行数的总个数为个， ∴当时，， ∴第行从左至右第个数的分母是：， ∵分母为偶数的分数都是负数， ∴该分数为：， 故答案为：． 【作业12】．（25-26七年级上·广东汕头·期末）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空： ； ； ________； 猜想： ； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①请计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 【答案】(1) (2) (3)① ② 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了乘方的应用，数字变化规律问题， 对于（1），根据前两个数字变化特点得出规律解答； 对于（2），根据（1）写出，作差可得答案； 对于（3），①先提出，再根据（1）得规律解答；②先表示出，作差可得答案； 【详解】（1）解：； ； ， ； 故答案为：，； （2）解：设，则， 即， 得 ， 即． 故答案为：； （3）解：① ， ； ②设 则 即， ∴得， 即． 如图所示，． 【作业13】．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 【作业14】．（20-21七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2) 解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； (3) 解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 【知识点】两个有理数的乘法运算、用代数式表示数、图形的规律、整式加减的应用 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）略 （3）略 【作业15】．（25-26六年级上·山东威海·期末）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 【答案】(1)；； (2)①； ②理由如下： 令， 将等式倒序得， 将两式相加得：， 每一组括号内的和均为，且共有组， ， 两边同时除以2得：． (3)③；④ 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】（1）依据信息1中归纳出的n个连续正偶数的和为的规律，直接代入求解即可； （2）①结合信息1的表格特征，猜想出从2开始n个连续正偶数和的代数式； ②用倒序相加法，将和式正序与倒序相加，合并同类项后化简推导，验证猜想的合理性； （3）①先根据最后一个偶数2026求出对应的n值，再代入归纳的和的公式，结合乘法分配律进行有理数混合运算得出结果； ②借鉴信息2的错位相减法，先设和式为，给等式两边乘以等比数列的公比5，再将两式作差，化简后求解即可得到结果． 【详解】（1）解：观察信息1的表格可知，个连续正偶数的和， 当时，． （2）①解：猜想：； ②略 （3）③解：最后一项为，即， ， 根据，可得：． ④解：令， 两边同时乘以5得：， ， 化简得：， 两边同时除以4得：． 【作业16】．【观察与填空】（1）若，则的值为________． 58．【实践与应用】（2）①若，求 的值； ②若，求 的值． 59．【应用与拓展】（3）若8，求的值． 【答案】（1） （2）①；②； （3） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查代数式的整体代入求值，通过已知条件变形或直接代入，将所求代数式转化为含已知条件的形式进行计算. （1）将直接带入即可求解； （2）①将转化为，然后将直接代入即可求解；②由，可得：，然后整体代入求值即可； （3）将改写为：，然后整体代入求值即可. 【详解】57．解：∵， ∴， ∴原式=， 故答案为：. 58．①因为， 所以 ． ②因为，， 所以， 所以． 59．原式： ． 因为，， 所以原式：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （有理数代数式整式加减）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握有理数四则混合运算与绝对值化简，能准确进行符号分类讨论 · 深入理解代数式与整式的概念，能辨析单项式、多项式的次数与系数 · 掌握整式加减运算规则，能进行去括号、合并同类项与整体代入求值 · 学会观察数式与图形规律，能归纳周期规律并推算第n项 · 理解新定义数字问题与进位制转换，能按规则完成计算与说理 · 能结合数轴解决动点、距离与对称类综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算与绝对值 有理数混合运算按先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行 灵活运用加法交换律、结合律、乘法分配律进行简便运算 绝对值表示数轴上点到原点的距离，具有非负性，化简时需按正负分类讨论 几个非负数的和为零，则每个非负数均为零 概念辨析例题：计算：3+(−)−(−)+2 答案：6 解析：先把符号统一，再利用交换律与结合律，将同分母分数（同号）先结合：3−=3，+2=3，原式=3+3=6 ☆ 2.代数式与整式的概念 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和 多项式的项是每个单项式，次数是次数最高项的次数，几次几项式据此判断 多项式求值与系数求和常用赋值法（令x=1、x=0等） 整式中的字母取值需满足系数、次数等约束条件 概念辨析例题：已知多项式15xm+1y2+2xy2−4x3+1是六次四项式，单项式26x2ny5−m的次数与该多项式的次数相同，求(−m)3+2n的值 答案：−3 解析：由六次四项式可得m+1+2=6，即m=3；单项式次数为2n+(5−m)=6，得n=2；故(−m)3+2n=−27+4=−3 ☆ 3.整式的加减与绝对值化简 去括号法则：括号前是正号去括号不变号，负号去括号各项变号 合并同类项：系数相加，字母及指数不变 含绝对值的代数式化简，先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号 几何背景（图形分割、周长面积）中的整式加减，先列式再化简 概念辨析例题：已知a<b<0<c<d，对多项式a−b−c−d任选两个字母添加绝对值运算，判断化简结果 答案：化简后可得a−b+c+d等不同结果 解析：绝对值具有非负性，添加绝对值后负项可能变号，先判断各字母大小关系，再分情况化简 ☆ 4.规律探索与周期运算 数列规律：观察项数n与项值的对应关系，归纳通项公式 周期问题：找出最小循环节，用位置数除以周期求余数判断 操作递推：记录每次操作的结果，寻找循环或递推关系 数形结合：把图形规律转化为数式规律，用代数式表示 概念辨析例题：输入x=243，若为奇数乘3加1，为偶数除以2，求第2025次输出结果 答案：1 解析：按规则递推，当出现4→2→1→4的循环后，利用周期性计算第2025次的结果 ☆ 5.新定义数字与进位制 新定义运算：按题设规则代入计算，注意运算顺序与分类讨论 新定义数字：理解“和差一数”“重善数”等定义，用代数式表示数位关系 进位制转换：k进制数按位权展开转换为十进制，十进制按除k取余转换 说理与证明：将数字问题转化为代数式恒等变形 概念辨析例题：三进制数1212（3）转换为十进制数 答案：50 解析：按位权展开：1×33+2×32+1×31+2×30=27+18+3+2=50 ☆ 6.数轴上的动点与新定义 数轴上两点间距离等于两点所表示数的差的绝对值 中点公式：两点所表示数的平均数即中点表示的数 动点运动：位置=初始位置±速度×时间，结合相遇、追及列方程 对称点：关于某点的对称点，两对称点到该点距离相等 概念辨析例题：数轴上A、B两点表示数a、b，满足|a+6|+(b−1)2=0，点M在A、B之间且到A、B距离满足一个距离是另一个的2倍，求M表示的数 答案：−或− 解析：由非负性得a=−6，b=1；A、B距离为7，设M表示x，则|x+6|与|x−1|一个为另一个的2倍，解得x=−或− 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数混合运算 先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号 正确运用运算律简化计算，注意符号 绝对值 |a|=a(a≥0)，−a(a<0) 非负性：|a|≥0；几个非负数和为0则各自为0 单项式 系数×字母的积；次数=所有字母指数和 单独一个数或字母也是单项式；π是常数 多项式 几个单项式的和；次数=最高次项次数 几次几项式按次数与项数命名，注意合并后项数 同类项 所含字母相同，相同字母指数也相同 合并时只合并系数，字母与指数不变 去括号 负号前括号内各项都变号 括号前系数要乘进去（乘法分配律） 整体代入 把含未知数的式子看作一个整体替换求值 先变形已知条件，再整体代入目标式 进位制 k进制数按位权展开：ankn+…+a0 k进制各位数字取值范围为0～(k−1) ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数运算与绝对值（第1-6题） · 混合运算先定运算顺序，再用交换律、结合律、分配律简化 · 绝对值化简先判断正负，非负数相加为零则各自为零 · 符号分类讨论题（如abc符号）按正负个数分类 · 几何意义类（数轴距离、图形面积）转化为代数运算 1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 3．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）__________． 4．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上某个点重合，这个点所标数字为______． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为________．（表示、、的乘积） 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【考点2】代数式与整式概念（第7-13题） · 由次数、项数条件列方程（组）确定字母取值 · 赋值法求系数和：令x=1、x=−1、x=0代入 · 新定义整式按题设规则逐步代入验证 · 计数问题用枚举、排列组合思想，注意不重不漏 7．（25-26七年级上·重庆奉节·期末）关于x的多项式：，其中n为自然数，含x各项的系数均不为0且各不相同，下列说法中：①若多项式，则；②若多项式，则；③若，且为整数，则满足条件的多项式共有6个．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（25-26八年级上·重庆·期中）已知整式：，其中系数，，，均为整数，满足，且（其中，1，2），下列说法正确的个数是（   ） ①存在满足条件的整式，当时，； ②若整式满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式共有4个． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：①若，则；②满足条件的整式中不存在单项式；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（25-26九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： 若，时，则； 若，时，则的值不可能是奇数； 若时，则满足条件的整式M共有10个． 其中正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2025七年级上·全国·专题练习）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，则的值是________． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 记， 请利用以上规律求出的展开式中的值为______． 【考点3】整式加减与绝对值化简（第14-20题） · 先去括号再合并同类项，括号前负号注意变号 · 含绝对值先定号再化简，必要时分类讨论 · 图形周长、面积类先设未知量列代数式再化简 · 新定义运算（如f(x)、g(x)）按定义代入计算 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有（    ） ①每个小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将四个如图甲所示的小长方形按照如图乙所示的方式不重叠地放在长为、宽为的大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分用阴影表示，则两个阴影部分的周长之和是（    ） A． B． C． D． 16．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知，对多项式任选两个字母，在它们的两侧添加一个绝对值运算（保持原字母顺序不变），称这种操作为“绝对操作”．例如：，，下列说法：①存在一种“绝对操作”，其化简的结果与原多项式的和为0；②不存在任何“绝对操作”，其化简的结果与原多项式相等；③所有的“绝对操作”，共有5种不同的化简结果．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（25-26七年级上·北京·期中）如图1，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中展台有三种不同的形状，其规格如图2所示． ①； ②图1中长方形的长可以表示为； ③图1中长方形的宽可以表示为； ④图1中长方形的面积可以表示为； ⑤ 以上说法正确的有（        ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 18．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 20．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下面是华师版教材111页的部分内容． 【特例验证】写出一个能被3整除的四位数 ①．该数四个数位上的数字之和为 ②，显然该和 ③被3整除（填“能”或“不能”）． 【探究证明】下面是小明的部分证明过程，请补充完整． 解： ＝ ， 显然能被3整除． 因此如果能被3整除，那么就能被3整除． 【迁移运用】设是一个三位数，如果能被9整除，那么这个数可以被9整除，为什么？请写出证明过程． 【拓展提升】当五位数能被9整除时，直接写出x的值． 【考点4】规律探索与周期运算（第21-26题） · 先列出前几项，找项数与项值之间的函数关系 · 周期问题找最小循环节，用取余判断 · 操作递推记录每次结果，寻找循环节 · 图形规律转化为数式规律，注意首项与公差/公比 21．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知三个数，，c，任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，．以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是7； ②若，，，且，，中最小值为0，则或； ③若，则第n次操作的结果为，，．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推： ①第二次操作后，得到5个整式，从左往右第2个整式为：． ②第三次操作后，所有整式的和为：； ③经过四次操作后，若，则所有整式的值的和为68； ④经过10次操作后，得到513个整式． 以上四个结论正确的个数有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 23．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）对整式A、B进行加法运算后，进行如下操作：若的结果为单项式，则记该单项式为；若的结果为多项式，则记该多项式的最高次项与最低次项的和为，称为第一次操作．再将第一次操作的结果与整式A进行加法运算后，重复上述操作，并将结果记为，称为第二次操作．以此类推，若已知整式，则下列四种说法： ①若，则 ②若，则 ③存在整式B，使得始终为单项式 ④若，经过15次操作后得到，若，经过28次操作后得到，则 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要______个小立方块，最少需要______个小立方块． 25．（23-24七年级上·天津和平·期中）如下图所示，对于任意正整数，若为奇数则乘3再加1，若为偶数则除以2，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数．在1937年提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数，路径长为，当时，的所有可能值有______个，其中最小值为______． 26．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得______； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有______个． 【考点5】新定义数字与进位制（第27-35题） · 严格按新定义代入计算，注意运算顺序 · 数字问题用位值原理：abc=100a+10b+c · 进位制转换按位权展开或除基取余 · 证明整除性用代数式变形，把数字拆成若干项 27．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）对于一个三位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若百位数字与个位数字的和与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“和差一数”．若百位数字与个位数字和的两倍与1的差等于十位数字，则称这个三位自然数为“倍差一数”．例如：自然数463，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以463是“和差一数”；自然数392，满足各数位数字互不相等且均不为0，且，所以392是“倍差一数”，则最小的“和差一数”为 ________；若“和差一数”s的百位数字为3，“倍差一数”t的个位数字为1，且能被7整除，则满足条件的最大的s为________． 28．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足．那么称这个四位数M为“重善数”．我们将“重善数”M的千位数字与十位数字对换，百位数字与个位数字对换，就得到四位数．记．若“重善数”，则____；若“重善数”M满足，且能被7整除，则满足条件M的最大值与最小值之差为____． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤： （1）将34，25分别写在方格的上边和右边； （2）把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧； （3）沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边； （4）将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）． 若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，该图表示的乘积结果为__________． 30．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段检测）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n，记．例如：满足，则126为“天长数”，那么，所以．则=______；对于任意一个“天长数”m，若能被11整除，则满足条件的m的最大值是______． 31．（25-26六年级上·山东淄博·期末）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明为了研究这片网的结点数（），网眼数（），边数（）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下： 根据上述探索过程，可能猜想之间满足的数量关系为__________；如图2，若网眼形状为六边形，则之间满足的数量关系为__________． 32．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 33．（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在计算机领域，还有一种“逢八进一”的计数方式，叫做八进制． 八进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 观察发现：八进制数10表示十进制中的8，即；同理，八进制数23表示十进制中的19，即． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：八进制数35代表十进制中的数是______； (2)已知一个八进制两位数，各位数字的和为8，若该八进制两位数转换成十进制数后，是一个小于40的偶数，求所有满足条件的八进制数； (3)①求八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数； ②对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是否固定不变？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 34．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 35．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 【考点6】数轴动点与新定义（第36-44题） · 距离=|两点所表示数的差|，中点=两数和的一半 · 动点位置=初始位置±速度×时间 · 相遇问题：两者路程和=总距离；追及：路程差=初始距离 · 新定义（对称点、友好点）严格按规则建立方程 36．（25-26七年级上·湖南常德·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． (1)则________，________； (2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点在点右侧，同时点在点的右侧，且点到点的距离是点到点距离的4倍，则当，，三点中有一点是另两点的“友好点”时，求点在数轴上对应的有理数． 37．（25-26七年级上·北京·期中）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．如1，2，3是一组“好数组”． (1)2，3，6____________“好数组”，2，3，5，7___________“好数组”（填“是”或“不是”）； (2)若2，4，8，是“好数组”，求出的所有可能值； (3)若含2025的4个正整数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”． 38．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，已知点和点，若点与点分别位于点的两侧，且点和点到点的距离相等，就把点叫做点的“对称点”．特别地，若点与点重合，那么点的“对称点”就是它本身．已知数轴上点，点对应的数分别为，．解决下面的问题： (1)当时， ①点的“对称点”对应的数是_________； ②若点是点的“对称点”，那么点对应的数是_________； (2)已知点对应的数分别为，，，记点的“对称点”为，点的“对称点”为点的“对称点”为． ①在线段中，长度为定值的是_________，它的长度是_________； ②若对于任意的值，有下面两种说法： （A）存在定点，使得点的“对称点”是点； （B）存在定点，使得点的“对称点”是点．请判断这两个说法哪一个是正确的，并求出相应的定点所对应的数． 39．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 40．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 41．（24-25七年级上·福建泉州·期中）操作发现： 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点，记作：，例如：； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点，记作：，例如：． (1)直接填空： ， ； (2)点A表示的数为a，点B与点A之间的距离为5，点C是数轴上一动点，且． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由； ②当点C表示的数是时，且B、D两点之间的距离恰好为2，求a的值． 42．（25-26七年级上·广西南宁·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． (1)_____；_____；_____． (2)点、、开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，假设秒钟后． ①点表示的数是_____，点表示的数是_____，_____．（用含的代数式填空） ②探究：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出其值． 43．（24-25七年级上·北京·期中）小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． (1)记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； (2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． （25-26七年级上·全国·周测） 44．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．将两颗小球A，B（可近似看成两个点A，B）放在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，表格中a的值是_____，b的值是____； (2)根据（1）的信息，在初始位置，若给A，B两颗小球分别安装一个磁吸感应装置，在两颗小球同向或者反向运动过程中，不发生磁吸撞击；在两颗小球相向运动过程中，当感应A，B两颗小球距离为5时，两颗小球会瞬间在两球所在位置的中点处发生磁吸撞击（可近似看成两个点A，B重合）．撞击后两颗小球沿着相反方向继续匀速运动，速度不变，瞬间发生磁吸撞击时间忽略不计．求A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数； (3)在（2）的条件下，若在M，N两点处分别放置一块挡板，当小球运动到挡板时（可近似看成点A，B与点M或N重合）会立即反向匀速运动，速度不变．求A，B两颗小球第十次磁吸撞击时刻的位置表示的数． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数运算重在“先定号再定值”，熟练运用运算律减少计算失误 · 整式概念题抓住“次数、系数、项数”三要素，用赋值法快速求系数和 · 绝对值化简先判断正负，再分类讨论，注意非负数性质的应用 · 规律探索题先列前几项找周期或通项，切忌凭直觉猜测 · 新定义题严格按规则逐步代入，数字问题善用位值原理转化 【作业1】．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）桌面上放有8只杯子，将其中3只杯子翻转（杯口朝上与杯口朝下互换）作为一次操作，8只杯口朝上的杯子，经过n次操作后，杯口全部朝下，则n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业2】．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【作业3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【作业5】．（23-24七年级下·重庆·期中）有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【作业6】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是__________． 【作业7】．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）数列的第2025项的值是__________． 【作业8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将自然数按如图的规律排列．如第2行、第3列的数是7，则第25行、第24列的数是____． 【作业10】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）学校信管中心老师根据中的三个数按照一定的规律设置学校密码，请根据提供的信息可以推断该校七年级组的密码是___． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将1，，，，，，按一定规律排成如图，从图中可以看到，第4行中自左向右第3个数是．第5行中自左向右第4个数是．那么第行中自左向右第五个数是_____． 【作业12】．（25-26七年级上·广东汕头·期末）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空： ； ； ________； 猜想： ； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①请计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 【作业13】．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【作业14】．（20-21七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【作业15】．（25-26六年级上·山东威海·期末）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 【作业16】．【观察与填空】（1）若，则的值为________． 58．【实践与应用】（2）①若，求 的值； ②若，求 的值． 59．【应用与拓展】（3）若8，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $