精品解析：四川省成都市第七中学初中学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

成都七中初中学校2027届九上10月学业质量检测 数学 （满分150分，120分钟完成） A卷（满分100分） 一．选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 4. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点，且与交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，点的坐标是，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）     A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 关于的一元二次方程的解为____________． 10. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 11. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 12. 如图，正方形中，在延长线上，，交于点，连结，若，那么的度数是________． 13. 如图，在中，是边上的高，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接，分别交，，于点，，，若，，则的长为 _________． 三．解答题（共48分） 14. 解方程： （1）； （2） 15. 先化简再求值：，其中． 16. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 17. 如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 18. 在矩形中，，两边的长满足，的平分线交边于点，于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图，当时，求证：； （2）如图，当时， ①求证：点为线段的中点； ②求的值． B卷（满分50分） 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 若是一元二次方程的解，则的值为________． 20. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 21. 如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 22. 在边长为的正方形中，，分别为线段，上的动点，且，连接，，过点作于点，连接，，当的值取最小时，的值是________． 23. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为边在下方作正方形，点为的中点，点是正方形的对角线的中点，连结，则的取值范围是________．设，请用含的式子表示________． 二．解答题（共30分） 24. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． （1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ （2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 25. 如图，在边长为的正方形中，点是射线上的一点，以为边向上作正方形，使得，两点在的同侧，连接，． （1）求的值； （2）请直接写出的最小值； （3）若所在直线与交于点，若，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为． （1）如图①，当经过点时，求直线的函数表达式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，用含有的式子表示；并写出的取值范围； ②请直接写出满足时，取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中初中学校2027届九上10月学业质量检测 数学 （满分150分，120分钟完成） A卷（满分100分） 一．选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝13＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定解答即可． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题； D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】此题考查正方形的判定，关键是根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定定理解答． 5. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点，且与交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高． 【详解】∵四边形是菱形， ，，， ， 故选：B． 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，点的坐标是，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用矩形的性质得出，求得线段 的长即可得出的长． 【详解】连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴.， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、两点间的距离，能够求得对角线AC的长是解题的关键． 7. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过将道路平移，六块草坪可以组成一个矩形，矩形的长为，宽为，根据草坪的面积为即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得． 8. 如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由正方形的性质算出，用面积法求出，再利用勾股定理求出，通过证明得到，最后用算出． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 关于的一元二次方程的解为____________． 【答案】x1=0，x2=3 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解：x2=3x， x2-3x=0， x（x-3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．掌握因式分解法是解题的关键． 10. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是将方程左边配成完全平方式． 通过配方法将一元二次方程转化为“等号左边是完全平方形式，等号右边是数字”的形式，从而求出的值． 【详解】 移项得：， 配方得：， 即：， ∴ ． 故答案为． 11. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据菱形及直角三角形的性质求出的长，再用勾股定理求的长，进而求出，即可解答． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，， ，， ， ， 菱形的面积为． 12. 如图，正方形中，在延长线上，，交于点，连结，若，那么的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得，，，即可证明，根据全等三角形性质得，根据直角三角形两锐角互余即可求出，再根据三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在中，是边上的高，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接，分别交，，于点，，，若，，则的长为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，连接，根据作图可知：垂直平分，得出，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三．解答题（共48分） 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 常数项移到等号右侧： 两边同除以4， 得， 等号左右两边同时加1， 得， 即 开平方， 得， ∴，． 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 方程两边同乘最简公分母，去分母， 得， 展开整理，得， 解得 验根：把代入最简公分母， 得， ∴是增根，舍去； 把代入最简公分母， 得， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，即时， 原式． 16. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 17. 如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 是对角线的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再由证出四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，然由菱形面积计算公式得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 四边形是菱形，周长为52， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 18. 在矩形中，，两边的长满足，的平分线交边于点，于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． （1）如图，当时，求证：； （2）如图，当时， ①求证：点为线段的中点； ②求的值． 【答案】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， ． 的平分线交边于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）①证明：连接，如图， 四边形为矩形， ，，， 的平分线交边于点， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ， ，， ， ， ， 点为线段的中点； ② 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义和等腰直角三角形的判定与性质解答即可； （2）①连接，利用矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质得到为等腰直角三角形，，利用全等三角形的判定与性质得到；②利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质得到．．，同理可得，进而得到为等腰直角三角形，进而得到，再利用等式的性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ① 略 ②解：连接，取的中点，连接，，如图， 由（2）①知：， ． 点为的中点，，， ，， ． ， ， ， 同理可得：， ． 由（2）①知：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ∴． B卷（满分50分） 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 若是一元二次方程的解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】因为是一元二次方程的根，所以将代入方程可得．观察所求代数式，可变形为，如果能求出的值，那么就能代入计算代数式的值．由整理得到的取值，再整体代入变形后的代数式即可． 【详解】∵是一元二次方程的解， ∴将代入方程可得： ， ∴整理得：  ∴． 20. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 21. 如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点，根据旋转的性质得到为等边三角形，从而得到，再证得，得到对应边的长度，再解直角三角形求出的长度，根据平行线间垂线段相等求出的长度，从而算出的高进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点； ， ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵，．点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴，解得， 在中，， ∴，解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∴． 22. 在边长为的正方形中，，分别为线段，上的动点，且，连接，，过点作于点，连接，，当的值取最小时，的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明得到；如图1所示，连接，取的中点T，连接， 则，导角可证明，得到；连接，则当A、H、C三点共线时，有最小值；如图2所示，当有最小值时，连接，证明，得到；再证明，得到；过点H作于点S，则是等腰直角三角形，求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图1所示，连接，取的中点T，连接， ∵，， ∴， ∴，； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图1所示，连接， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴当A、H、C三点共线时，有最小值； 如图2所示，当有最小值时，连接， 由正方形的性质可得， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2所示，过点H作于点S，则是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为边在下方作正方形，点为的中点，点是正方形的对角线的中点，连结，则的取值范围是________．设，请用含的式子表示________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，根据三角形的中位线定理．过作，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，根据二次函数的性质求出，的最大值与最小值，由此即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵点是正方形的对角线的中点， ∴点是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 过作，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最小值为 2 ；当时，取最大值为， ∴， ∴， ∴． 二．解答题（共30分） 24. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． （1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ （2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 【答案】（1）售价应定为65元 （2） 解：不能，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵ ∴该一元二次方程没有实数根 ∴商场不能获得10000元的利润． 【解析】 【分析】（1）设每个售价提高x元，根据题意列出一元二次方程求解； （2）根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断． 【小问1详解】 解：设每个售价提高x元， 由题意得， 解得， ∵尽量兼顾顾客的利益 ∴ ∴（元） ∴售价应定为65元； 【小问2详解】 略 25. 如图，在边长为的正方形中，点是射线上的一点，以为边向上作正方形，使得，两点在的同侧，连接，． （1）求的值； （2）请直接写出的最小值； （3）若所在直线与交于点，若，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线交延长线于点，证明，得到，，再证明，即可求解； （2）连接，通过证明得到的运动轨迹为过且与夹角为的直线，作，则为的最小值，因为为等腰直角三角形，则可求； （3）建立如图所示的平面直角坐标系，所在的直线解析式为，已知，分两种情况讨论：点在线段上或点在的延长线上，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，四边形是正方形，过点作的垂线交延长线于点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵与为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的运动轨迹为如图，过且与夹角为的直线，作，则为的最小值， ∵为等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 过原点和，设所在的直线解析式为， 代入得， 解得， ∴所在的直线解析式为， 已知，分两种情况讨论： 情况1：点在线段上，过作， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴可得， 同理可求得的解析式为， 由（1）知， 设， 则，代入的解析式， 解得，此时点坐标为， ∴，， ∴； 情况2：点在的延长线上， 同理可得， 同理可求得的解析式为， 同理可设， 将代入的解析式， 解得，此时点坐标为， ∴，， ∴； 综上所述的长为或． 26. 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为． （1）如图①，当经过点时，求直线的函数表达式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，用含有的式子表示；并写出的取值范围； ②请直接写出满足时，取值范围是________． 【答案】（1） （2）①，的取值范围；②满足的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）先根据平移和等腰直角三角形得到，则，再利用待定系数法求直线的解析式； （1）①先根据等腰直角三角形得到，，再根据计算面积，最后根据在线段上且在点右边时重叠部分为五边形求取值范围； ②根据运动情况分情况讨论，分别画出图形，根据等腰直角三角形和矩形结合图形求面积，代入解不等式组即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点， ∴，，，，， ∵，，将沿轴向右平移，得到， ∴，，， 当经过点时，，    ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由平移得，，，， ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，，，，四边形为矩形，    ∴， ∴，， ∴， ∴与矩形重叠部分的面积 ， ∵只有当在线段上且在点右边时重叠部分为五边形， ∴， 解得， ∴； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图③，    此时， ∴， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴，整理得， 解得或， 此时结合得； 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图④，    此时，， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴， 解得， 此时结合得； 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 此时，， 重叠部分的面积为：，不满足； 当时，与矩形重叠部分为五边形，如图②，    由①可得， ∵， ∴， 解得或 此时结合得； 当时，与矩形重叠部分为矩形，如图， 此时，， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴， 解得， 此时结合得； 综上所述，满足的取值范围是或． 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