精品解析：四川省成都市七中育才学校2026-2027学年上学期九年级阶段性测试数学试题

成都七中育才学校九年级阶段性测试数学试题 （满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 成都熊猫基地观光瞭望塔因外形如破土春笋，被市民称为“笋子塔”，塔高约米．如图，将塔身看作线段（为塔底，为塔顶）．若观光层所在位置点恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）米． A. B. C. D. 6. 如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 美术课上制作矩形画框，外框为矩形，两条对角装饰线、相交于点．测量发现由画框边和装饰线围成的的周长比的周长大，画框外框周长为，则画框边的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 年铁路暑运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次；年暑运期间增至亿人次．若年、年这两年间全国铁路暑运发送旅客人次的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则________． 10. 若，且相似比为，的面积为，则的面积为________． 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是________． 12. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 13. 如图，中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于、点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．已知，，则的长为________． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 17. 学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． （1）小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； （2）为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 18. 如图①，在边长为的正方形中，把、分别沿折痕、翻折，使点、恰好落在对角线上的点、处，其中在边上，在边上． （1）求证：； （2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图②，点在上，，点为边上的动点（不与点重合），连接，将沿翻折，得到，连接、．当时，求的长． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，矩形是黄金矩形（即宽与长的比是），对角线交于点，点在上且，为中点．若，求该黄金矩形长边的长为________． 20. 如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 21. 已知一元二次方程的两根分别是，，则________． 22. 在中，，点为边上一点，连接，若，，且时，则________． 23. 定义：在平面直角坐标系中，给定一点与一个图形．若在图形上或其内部能够找到一点，以线段为边构造等边三角形，则称点为点关于图形的“度旋伴点”．已知点，，，，． （1）当时，以下点，，，中，点________是点关于菱形的“度旋伴点”； （2）当时，过点作轴的平行线，若该平行线上存在点既是点关于菱形的“度旋伴点”，又是点关于直线的“度旋伴点”，则的取值范围是________． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 年月至年月，首届“川超”（四川省城市足球联赛）火爆出圈：全赛季现场观赛超过万人次，成都锦城队夺得冠军，“看球吃火锅逛景区”的消费模式也带火了成都的体育消费和各赛区场馆周边的“球迷集市”． （1）受“川超”等本土赛事带动，成都体育消费持续升温．成都某运动品牌专卖店年全年销售额为万元，预计年全年销售额达到万元．求这两年该店全年销售额的年平均增长率． （2）“球迷集市”上一家文创店销售“锦城助威”纪念恤．每件进价元，当每件售价为元时，每个比赛日可售出件．市场调查发现：每件售价每降低元，每个比赛日可多售出件．为使每个比赛日销售这种恤的利润达到元，且为保障基本利润空间，每件恤的售价不低于进价的倍．问每件恤应定价多少元？ 25. 如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）点为直线上的一点，作轴，连接，为的中点，连接，并将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为轴上一点，点关于直线的对称点恰好为点． ①求的最小值，并求出此时点的坐标； ②当时，求的面积． 26. 如图①，在中，，，是边上的中线，点在延长线上，连接，以为顶点，在下方作，且射线与直线交于点，与直线交于点． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图②，过作的垂线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，若，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中育才学校九年级阶段性测试数学试题 （满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，该几何体的俯视图是． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】判断四条线段是否成比例，先把四条线段从小到大排序，再验证最大数最小数是否等于中间两数的乘积，相等则为成比例线段． 【详解】解：，，，，排序：，，， ，， ，故A项错误． ，，，，排序：，，，， ，， ，故B项正确． ，，，，排序：，，，， ，， ，故C项错误． ，，，，排序：6，，，， ， ，故D项错误． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程根的情况与判别式的关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根． 【详解】解：， 一元二次方程没有实数根． 4. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线等分线段定理得，由已知得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 5. 成都熊猫基地观光瞭望塔因外形如破土春笋，被市民称为“笋子塔”，塔高约米．如图，将塔身看作线段（为塔底，为塔顶）．若观光层所在位置点恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用黄金分割较长线段公式代入总长度计算． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵（米） ∴， ∴． 6. 如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，延长，交于点，先得出，，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵， ∴，， ∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）， 由题意得：，，， ∴， 解得． 7. 美术课上制作矩形画框，外框为矩形，两条对角装饰线、相交于点．测量发现由画框边和装饰线围成的的周长比的周长大，画框外框周长为，则画框边的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，再得出，，联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴①， ∵画框外框矩形的周长为， ∴， ∴②， 联立①②得：，． 8. 年铁路暑运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次；年暑运期间增至亿人次．若年、年这两年间全国铁路暑运发送旅客人次的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“初始量（年平均增长率） 最终量，其中n是增长的年数”，解答即可； 【详解】解：由题意可得． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 10. 若，且相似比为，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：，且相似比为， ， 的面积为， 的面积为． 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】将值代入方程，将其转化成关于的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：是的一个根， ， ， ． 12. 如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由，，利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于、点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知是的角平分线，由，可推出，，即可求出的长． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 解得． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得． 15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）分别找出A，B，C关于y轴对称的点，顺次连接即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ，，， ∴ ， ， ， 该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）写出一元二次方程判别式，化简证明，即可证明方程总有两个实数根． （2）设方程两根为，利用韦达定理写出两根之和、两根之积；结合，利用恒等式建立关于的方程，结合求出 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设方程两根为， ，． ， ， ， ， 解得，， ， ． 17. 学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． （1）小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； （2）为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 【答案】（1）16.6米 （2）8.75米 【解析】 【分析】（1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小明向前移动了多少米． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度为16.6米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小明向前移动了8.75米． 18. 如图①，在边长为的正方形中，把、分别沿折痕、翻折，使点、恰好落在对角线上的点、处，其中在边上，在边上． （1）求证：； （2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图②，点在上，，点为边上的动点（不与点重合），连接，将沿翻折，得到，连接、．当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵翻折， ∴ ∴ ∴； （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵ ∴ 由折叠可得， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及折叠的性质证明，继而可用证明； （2）由全等三角形的性质结合折叠可证明，再由证明，即可证明其为平行四边形； （3）过点作于点，过点作，交于点，通过构造“一线三等角”相似，即通过求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作，交于点，则 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ 由折叠可得，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，矩形是黄金矩形（即宽与长的比是），对角线交于点，点在上且，为中点．若，求该黄金矩形长边的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据矩形的对角线互相平分，得出是的中位线，则，再利用黄金分割比，结合二次根式分母有理化求解即可． 【详解】解：矩形是黄金矩形，对角线交于点， ，， 为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再证明，进而利用勾股定理求出，即可求出四棱柱的表面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 等腰梯形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，，， ， ， 在中，， 四棱柱的高为， 此四棱柱的表面积为 21. 已知一元二次方程的两根分别是，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴， 由根与系数的关系得，，， ． 22. 在中，，点为边上一点，连接，若，，且时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，作于点，设，，则，，，再在中，由勾股定理得到，在、、分别根据勾股定理求出，最后消元整理得，解方程即可得到． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作于点， 设，，则，，， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴由得， 由得， 把代入得， 整理得， 解得， 因为， ∴． 23. 定义：在平面直角坐标系中，给定一点与一个图形．若在图形上或其内部能够找到一点，以线段为边构造等边三角形，则称点为点关于图形的“度旋伴点”．已知点，，，，． （1）当时，以下点，，，中，点________是点关于菱形的“度旋伴点”； （2）当时，过点作轴的平行线，若该平行线上存在点既是点关于菱形的“度旋伴点”，又是点关于直线的“度旋伴点”，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ， ②. 或 【解析】 【分析】（1）把菱形绕点分别旋转后，看点、、、是否落在所得图形上或内部； （2）分别求直线与菱形绕点旋转后所得的图形，再求直线与这两个图形的公共部分． 【详解】解：点是点关于图形的“度旋伴点”，就是图形上或内部存在一点，使 为等边三角形． ∵把绕点旋转就得到， ∴这样的点恰好在图形绕点旋转后所得的图形上或内部． 如图，设点相对点的水平距离、竖直距离． ∵把绕点旋转到，则 ，且与水平方向成 ， ∴在含的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，即在水平方向上的长度为， ∴由勾股定理，它在竖直方向上的长度为 ． ∵把绕点旋转到，旋转前后对应线段的夹角等于旋转角，而沿竖直方向， ∴与竖直方向成，长度仍为． ∴同理，在竖直方向上的长度为，在水平方向上的长度为（向左）． ∴点绕点逆时针旋转得到后，与的水平距离为，竖直距离为 ； ∴顺时针旋转时，水平距离为，竖直距离为． （1）当时，，菱形的顶点为，，，． 点相对点的水平距离为、竖直距离为，逆时针旋转后分别变为与，故 的对应点为； ∴同理可得，，，它们构成四边形； ∴顺时针旋转时同理得，，，，构成四边形． ∵点 与重合，落在四边形 上， ∴点 是点 关于菱形 的“ 度旋伴点”． ∵点 是 的中点，落在四边形 内部， ∴点 也是点 关于菱形 的“ 度旋伴点”． ∵四边形上点的横坐标都满足，四边形上点的横坐标 都满足，而点 的横坐标为 ， ∴点不在这两个四边形上或内部，它不是点关于菱形的“度旋伴点”． ∵横坐标为时，四边形上只有点，四边形上只有点 ，它们的纵坐标都不是， ∴点也不在这两个四边形上或内部，它不是点关于菱形的“度旋伴点”． ∴点、是点关于菱形的“度旋伴点”． （2）当 时，，菱形 的顶点为 ，，，． ∵把菱形绕点分别旋转与， ∴逆时针旋转后，菱形的四个顶点依次变为，，，； ∴顺时针旋转后，四个顶点依次变为，，，． ∵在直线上取点，它相对点的水平距离为、竖直距离为， ∴逆时针旋转所得点与点的水平距离为，竖直距离为 ． ∴点的横坐标为，纵坐标为； ∵由横坐标得，代入纵坐标得， ∴直线绕点逆时针旋转后变成直线； ∴顺时针旋转时同理得，所得点的纵坐标恒为，即直线变成． ∴点关于直线的伴点集合是直线和直线． ①直线与四边形；边所在直线设为，代入 与 解得 ，， ∴ 所在直线为 ，与 联立解得交点 ；边 同法得 ，与 联立解得交点 ． ∴直线 与四边形 的公共部分是线段 ；点 在这条直线上时可记为 ，它落在线段 上时， ∴ 满足 ． ②∵把直线 与四边形 的四条边所在直线分别联立，解都不在对应边的范围内， ∴直线 与四边形 没有公共点． ③∵四边形 四个顶点的纵坐标最小为 ， ∴直线 与四边形 没有公共点． ④∵边 所在直线为 ，令 得 ；边 所在直线为 ，令 得 ， ∴直线 与四边形 有公共点，即 满足条件． ∴ 或 ． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 年月至年月，首届“川超”（四川省城市足球联赛）火爆出圈：全赛季现场观赛超过万人次，成都锦城队夺得冠军，“看球吃火锅逛景区”的消费模式也带火了成都的体育消费和各赛区场馆周边的“球迷集市”． （1）受“川超”等本土赛事带动，成都体育消费持续升温．成都某运动品牌专卖店年全年销售额为万元，预计年全年销售额达到万元．求这两年该店全年销售额的年平均增长率． （2）“球迷集市”上一家文创店销售“锦城助威”纪念恤．每件进价元，当每件售价为元时，每个比赛日可售出件．市场调查发现：每件售价每降低元，每个比赛日可多售出件．为使每个比赛日销售这种恤的利润达到元，且为保障基本利润空间，每件恤的售价不低于进价的倍．问每件恤应定价多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设这两年该店全年销售额的年平均增长率为，根据题意列出方程解答即可； （）设每件恤应定价元，根据题意列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这两年该店全年销售额的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这两年该店全年销售额的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件恤应定价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵每件恤的售价不低于进价的倍， ∴， ∴不合题意，舍去， 答：每件恤应定价元． 25. 如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）点为直线上的一点，作轴，连接，为的中点，连接，并将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为轴上一点，点关于直线的对称点恰好为点． ①求的最小值，并求出此时点的坐标； ②当时，求的面积． 【答案】（1），直线的解析式 （2）①的最小值为，点的坐标为；②或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，再由待定系数法求解即可； （2）①连接，作直线，证明是等边三角形，则，可得点在过原点的定直线上运动，故当时，取得最小值，再由直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； ②分两种情况讨论，点在第二象限和点在第四象限，过点作轴于点，根据为等边三角形，得到，则，由，求出，再由割补法求解面积． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 将点代入，则 解得 ∴直线的解析式； 【小问2详解】 解：①连接，作直线， 设 ∵轴，为的中点， ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴由对称可得， ∴ ∴由对称可得， ∴ 由对称可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在过原点的定直线上运动， ∴当时，取得最小值，如图： ∴此时， ∴ 过点作轴于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴此时； ②当点在第二象限时，如图，过点作轴于点 ∴ 由对称可得，， ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； 当点在第四象限时，如图，过点作轴于点 同理可得，为等边三角形， ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上：的面积为或． 26. 如图①，在中，，，是边上的中线，点在延长线上，连接，以为顶点，在下方作，且射线与直线交于点，与直线交于点． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图②，过作的垂线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，若，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴； （2） （3）或12 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得出，证明是等边三角形，得出，结合已知可得出，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）过B作交于F，则，证明，得出，设，则，解直角三角形求出，，则，证明，根据相似三角形的性质求出，最后代入计算即可； （3）过D作于P，连接，则，证明，求出，结合，可得出，则，证明，则，，当时，如上图，过K作于Q，设，可求，，在中，根据勾股定理得出，求出，则，，根据勾股定理求出，由，求出，即可求出；当时，则K在的垂直平分线上，连接，则，同理，根据等角对等边得出，过K作于M，则，同理可求，，然后同理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过B作交于F，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过D作于P，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 当时，如上图，过K作于Q，设， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则K在的垂直平分线上，连接，则， 同理， ∴， ∴， 过K作于M，则， 同理可求，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $