辽宁沈阳市第二十中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试卷

18.(1) 取AD的中点O,连接PO、BO ·因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角 形，所以PO⊥AD,且PO=AO=OD=1。 ·由题设条件AD=2,2DC=2,2CB=2,得 DC=1,CB=1;又BC/AD,CD⊥AD,因此 OD=1,且OD平行且等于BC,故四边形 BCDO是矩形，可得BOLAD: ·由于POnBO=O,且PO、BO都在平面POB 内，因此AD⊥平面POB。 ·又PBC平面POB,所以AD⊥PB。 答案第1页（共2页）2025级高二年级月考数学学科参考答案 1.C【详解】由题意得直线的斜率为-，所以直线的倾架角为否 2.B【详解】由m-n=(-l,a,-1)-(1,-l,1)=(-2,a+1,-2),而(m-n1n, 所以(m-nn=(-2,a+1,-2)(1,-l,1)=-2-(a+)-2=-5-a=0, 所以a=-5. 3.B【详解】设正三棱柱ABC-ABC的高为h,即BB=h, 由于AB=BB-BA,BC=BC-B,B,AB⊥BC, 则ABBC=(BB-BAB,C-BB=0,即B丽B,C-BBBB-BABC+BABB=0,则 -2x2×5=0,所以h=V2, 取BC的中点O,连接AO,B,O, B ○ 由于底面△ABC为等边三角形，AB=2,则AO⊥BC,AO=V3 由于BB⊥平面ABC,AB,AOc平面ABC,所以A0⊥BB,AB⊥BB,且AB=V22+(V2)}=V6 由于BB⌒BC=B,BB,BCC平面BCCB,所以AO⊥平面BCCB, 所以∠MB,0为直线AB与平面BCCB所成角，则si血∠AB0=40=5-2. AB6 2 4.B【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA所在直线为z轴建 立空间直角坐标系，设正方体棱长为a,则Ea0,Q,0,D'(Qa,a,D0a,0,设平面 第1页 BD的法有最为-6小，则m石=ax-受：=0，保得：y=0,令x=1,则Z=2,所以后-82， 2 m.D°=ay=0 平面D'D的法向量为n=(1,0,0),设二面角E-AD-D的平面角为0，可以看出为锐角，则 cos0= L0,2小-0,0_5 则m0=-w0-25 故tam0=sin日=2. m-n √5 5 cos0 D' B E-- D B x+y+1=0 .D【详解)直线1的方程可化为mx+y+)+2x-y-)=0,由2x-y10可得0 by=-1' 所以，直线过定点P(0,), 设直线l的斜率为k,直线l的倾斜角为a,则0≤a<π 因为直线PA的斜率为1-2=-1，直线PB的斜率为)=1， 0-1 0-2 因为直线I经过点P(O,-),且与线段AB总有公共点， 将A(1,-2)代入方程：(m+2)x+(m-1)y+m-1=0 可得：3=0不成立，A(1,-2)不在直线1上， 所以-l<k≤l,即-1<tana≤1， 建 因为0≤a<π所以0≤as或3<a<π 4 面 故直线的倾解角的取值范围是引（子小】 1页共11页 6.C【详解】因为DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD, 由空间向量的共面定理可知，点E,A,C,D四点共面， 即点E在平面ACD上，所以DE的最小值为点D到平面ACD,的距离d, 由正方体棱长为1，可得△4CD,是边长为√互的等边三角形， 则叹am号-9,5mx1 2 由等体积法得，m=aD,所以×xd=×x1d=巨 32 32 3 所以的最小值为 3 7.A【详解】如图： B 因为BC=4C-恋，所以酝-c-aC-, 4 则花=孤+死=西+c-)而+C, 又0=3师，所以-子心， 则CF=Af-AC=2AD-AC, 又AB⊥平面ACD,AC,ADC平面ACD,所以AB L AC,AB⊥AD, 即AB.AC=0,AB·AD=0, 又∠CAD=60°，所以AC.D=2×2x=2 所以正.-（得+和得而-C -C+C而-C20-0+×2-} ×22=-2, 6 国网-西+-网-- 所以os(AE,C)= AE.CF -2=3而 c丽i0x2万 35, 2 3 第2页共 则直线AB与直线CF夹角的余弦值为3V而 35 8.C【详解】设A关于直线l的对称点为P,关于x轴的对称点为2，P2与l的交点即为B,与x轴 的交点即为C 如图，P,2两点之间线段最短可知，P?的长即为△ABC周长的最小值. y-3x3=-1, 设P:y),则 x-2 xx+2_y+3+ 3x 22 2+1=0, 2 x=- 解得 5 即() y-5 4关于x轴的对称点为2(2，-3)， c周长的最小值为Pg-【号-2+g+3-2E. 9.ABD【详解】以D为原点，DA,DC,DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 则M,0,0),E(2,12),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0)，D(0,0,2), 所以ME=(1,1,2),M=(-1,2,1),AC=(-2,2,0),BD=(-2,-2,2),BM=(-1,-2,0) 设平面EMN的一个法向量为n=(x,y,z), i-ME=x+y+2z=0, {Mm=-x+2y+2=0,令z=1,得y=-1x=-1,得i=(-l,-). 因为ACn=2-2=0,所以AC⊥方， 又ACt平面EMN,所以ACII平面EMN,A正确： 因为D=2苏，所以BD/Ii,所以BD1⊥平面EMN,B正确： 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 了共1页 所以平面18CD与平面EW夹角的余弦值为水s低训-恼-，C错误： 同3 点B到平面EMW的距离为 BM. 网 =√5，D正确 10.ACD【详解】由题意平面α的一个法向量m=(1,-1,-l),B的一个法向量i=(k,2,-1), 因为子+月所以成员不平行，么，日不平行，放A正确： m方=k-1,当k=1时，mi=0,m⊥元，a⊥B,故C正确； 设a,B的夹角为0，当cos0= k-L-5 32+内9时，平方化简得4-9k+2=0, 解得k=2或k=子，故B错误： 当k=1时，m·方=0，所以0= 2, -1 cos= 当k≠1时， os95k-+2k-+65,+k+k- 2 6 】 =S- 5,6+ 9 因为函数y=c心0在0e[0引上单调递减，所以0>子，故D正确， I1.ABD【详解】由题意知D=D-AB=D-(AB+A4)=D-AB-AA, 第3页共 若A分则8-0-而-酒-号从，放A正确： 由题意知D=BA+BG+RB,若=月则驴=BD=8A+C+号B, 可得3BP=B,4+B,C+RB,所以BP-BA=(B,C-BP)+(BB-B）, 即AP=PC+PB,所以P,A,CG,B四点共面，故B正确： 因为丽.而=丽而=x2×分l,而.M=1,而.=2， 且AC=AB+D+M,所以 4G-VaB+D+-√AB2+D+4+2aB而+B.4+D.a) =V1+4+4+2x1+1+2)=V17,又DB=AB-AD, 所以D=伍-D}=√2-2ABAD+而2=-2x1+4=5, 所以AG·D丽=(B+D+4)A-D)=-D+B.4-D.4=1-4+1-2=4, 所以0(c）可园“75-1， AC·DB 445ī 即直线AC与直线DB所成角的余弦值为4y 51 ,故C错误： 记点A在平面ABCD内的投影为'，设AA=1AB+4AD, 所以AA=AA-AA=AB+μAD-AA, 又AA⊥AB,AA⊥AD, 所以AA.AB=(2AB+μAD-A）AB=1AB+μAD.AB-A·AB=+-1=0, AA:AD=(2AB+μAD-AA）AD=元A.而+4A而-AAD=见+4μ-2=0， 解得=子4-写，所以4d-号亚+兮0-瓜，所以 共11页 网-西+兮而-双-6而4而42号而而-号而双-号而石 3 =侣号4+号号-29，即四陵柱0c0-aCA的商为2 9333 所以四棱柱BCD-48CA的体积为1x2sn×2✉5=2N2,故D正确 3 3 777 12. 3'6'6 【详解】根据向量坐标的计算公式A瓜=(2,1,1)，AC=(4,4,3), 根据投影向量的计算公式AC在AB方向上的投影向量为 AC.ABAB h AC·AB A 而-2413西-名-3， V2+P+P） 13.-5【详解】若4/1八2，则m(m+3)-2×5=m2+3m-10=(m-2)(m+5)=0, 所以m=2或m=-5. 当m=2时，1,2重合；当m=-5时，符合题意. 14.4V6 一1【详解】如图建立空间直角坐标系， 3 D B 则由题意可得A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),4(0,0,4), 则A9=2AC+(1-)AA=2(4,4,0)+(1-2)0,0,4)=(4元，42,4-42)， 则②(42,4元，4-4元)，由P可=1可知，动点P的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 第4页 :亚-A观=，AP-A死的最小值为2到球心B的最小距离减去半径1， 0=-9+162+以-=V48-64+2=48号。 指=专味，B阳限最小为+，成F-石的最小为 61 15.(1)2x-y+2=0: 2)2x+y-10=0或x+2y-14=0 【详据】（0法一：依题意，有c8音宁所以0的斜率为2， 所以AD所在直线的方程为y-6=2(x-2),即2x-y+2=0. 法：使题意，有大。=子即直线0的-个法向量为-》 由直线的点法式，可得直线AD所在的直线的方程为：1x-2)+(0-)=0, 即2x-y+2=0 (2)法一：(1)当直线1的斜率不存在时，直线：x=2,B,C两点到直线1的距离分别为2和6， 不符合题意】 (ii)当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y-6=k(x-2), 即x-y-2k+6=0】 依题意，有10-4-2k+6_18k-0-2k+6 √k2+1 Vk2+1 6，即1k-1非3引k+1, 所以k-1=30k+)或k-1=-3+D,解得k=-2或方 所以直线1的方程为2x+y-10=0或x+2y-14=0. 法二：因为直线I经过点A,且B,C两点到直线I的距离相等， 所以直线1与直线BC平行，或过线段BC的中点. 0当直线！与直线BC平行时，直线BC的斜率为kc8二合-弓 =一 所以直线1的方程为y-6=-2-2),即x+2y-14=0. 共1页 (ii)当直线1过线段BC的中点时，线段BC的中点为(4,2)， 所以直线1的方程为)-2=x-4 6-22-4 即2x+y-10=0. 综上所述，直线1的方程为2x+y-10=0或x+2y-14=0. 16.(1)证明见解析 9 【详解】(1)取D2的中点M,连接AM、FM. 因为F为2C中点，所以FM是aODC的中位线，故PM1DC,且PM=DC. 由原等腰梯形性质得AB/IDC,AB=2,DC=PC-PD=6-2=4, 因此AB/IFM且AB=FM=2,四边形ABFM是平行四边形，故BF/IAM. 又AM∈平面ADQ,BF平面AD2,因此BF/I平面AD2. B (2)由折叠性质知AD⊥D2,AD⊥DC,D2=PD=2,又D2∩DC=D,因此AD⊥平面DC2. 己知QC=25,D9=2,DC=4,满足D02+DC2=22+42=20=QC2,故D2⊥DC. 又D2⊥AD,AD∩DC=D,因此DQ⊥平面ABCD. 以D为原点，分别以DC、DA、DQ所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为D(0,0,0),B(2,2,0),F(2,0,1)，0,0,2). 设平面DFB的法向量为%=(x,,),平面2FB的法向量为乃=（名，2,2）： BF=(0,-2,1),BD=(-2,-2,0), 由-际=-2y+名=0，令%=1，得石=(1儿2. 7·BD=-2x-2%=0 第5页 B0=(-2,-2,2), ·BF=-2y2+23=0 0=25+2%-2,=0'令%=1，得万=（仙l2). 由{一 %%=x1+1x1+2×242 66 63 因此=面角的正孩值为s血（何）-小-）-5 B 17.(1)x-y=0或x+3y-4=0; (2)4 【详解(1)当直线l的横、纵截距均为0时，设其方程为y=c,代入M(1,1),得k=1,则得L:x-y=0； 当直线的横、纵拔距均不为0时，可设马：名台，代入点M心)，解得a号 则直线方程为x+3y-4=0, 所以直线的方程为x-y=0或x+3y-4=0: (2)由题意直线4的斜率存在，可设：y-1=k(x-1)(k<0), 令x=0,则y=1-k,所以2(0,1-k), 令y=0,则x=1是所以P-20 所以=语清=岩墙 +i=2 共11页 因为4x+y=0的倾斜角为径，所以∠Q0S=∠POR=骨 所以△QOS,△POR均为等腰直角三角形， 12 +1 2 4 2 4 1 所以e-+ +1-2+10-1-2 4 +-4+6 -4* 因为<0，所以+安[(-划+-2划2， 当且仅当t=子， 即k=-1时取等号， 由二次函数性质可知， 士22-2.4当汉当-取等号 A 所以四边形PQSR面积的最小值为4. 18.(证明见解折2V 3 【详解】 第6页 F D v (2)取AD中点O,连接OP,OB,因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以 OP1AD且OP=AD=1. 2 由BC//AD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD,所以四边形OBCD为正方形， 所以AD⊥OB,OB=1. 因为OP∩OB=O,OP,OBC平面PBO,所以AD⊥平面PBO 又ADC平面ABCD,所以平面PBO⊥平面ABCD. 在平面PBO内作直线OB的垂线Oz, 则Oz⊥平面ABCD,有Oz⊥OB,Oz⊥OD. 以O为原点，分别以OB,OD,Oz所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系. 因为BC/IAD,所以BC⊥平面PBO, 因为BPC平面PBO,所以BC⊥BP. 由PC=2,BC=1,可得BP=√5. 税定理，c0s∠B0POP+Og一BP上= 20P.OB 所以∠BOP= 2π 3 共11页 D(01,0),C(1,1,0) 漫E-丽-（号 西-愿-(a0-〔49号 底面ABCD的-个法向量为n=(0,0,1) 设直线CE与底面ABCD所成的角为B, 则sin0=-.- cE列 2 网-42++2元 当入=0时，sin0=0: 5 5 2 当2≠0时，sin0= +2 (11)27 λ2 4 所以当2=-2时，sinB取得最大值. 此时，D正=(1,2，√3) 所以E到平面ABCD的距离为d= 1 又S.ACD=5×2×1=1, 所议此时三棱维E二4Cp的体积为亚.4eood子xxv5.月 3 3 第7页 19.(1)证明如下： 因为4-c=瓜(c--4C-·=网acs60-网国eos60 =3x2x3x2x对-0， 所以4⊥BC,即AM⊥BC. (2)(i)d=0, 10 (i)证明如下： 2c0s0- d(e)= tana-tanB 2cos0 4cos20-1 tana+tanB 2cos0+ 1 4cos20+1 2cos0 已知存在两个不同的锐角8,8，使得d(e)=d(8), 设1=cos28,h2=cos282, 则g-_4- 44+1442+1 锐角日，日，是两个不同的锐角，则412-1,44-1符号相反， -,即(0-4g4+-(倒+4-， 1-44-42-1 1 化简整理得4，=6' :6os8es8-石日，8为脱角，则cos日>0cs8,>0, 1 ..coscos A Z (2)以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，过A垂直于面ABC的直 B 线为z轴，建立右图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), (i)已知∠AAB=60°，∠AAC=0=60°，4=3， 共11页 则=从-号%=从s的-子故O很号0 已知AO与AB、AC所成角分别为a、B, 则tana=边=2cos0=l,tanB=边=，1 古 yo 2cose =1, 则d-2+-o, 40--,则4o-4+0-VP-侵万j-5. 49) c-(220.厮-(}， BC.i=-2x+2y=0 设平面ABC的法向量为方=(x,y,z),则 mm=-x+y+322=0' x+ 2 2 令y=32,则i=(3W2,35,-2, 平面ABC的法向量可取m=(0,0,), 设平面ABC与平面ABC夹角为P,则 方 1-2 coso= =i而 -网V18+18+4×110 (ⅱ)略 第8页 2026-2027学年度（上）沈阳市第二十中学阶段测试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷共两部分：第一部分选择题（1--11题 共58分）；第二部分非选择题（12--19题 共92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题所给选项中有且只有一个正确选项） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数（ ） A．5 B．-5 C．1 D．-1 3．如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 4．若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则l的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．在四面体中，，平面，，点E，F分别为棱，上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题所给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则（ ） A．平面 B．平面 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点B到平面的距离为 10．在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A．对任意，，不平行 B．存在，使得，垂直 C．当，夹角的余弦值为时， D．不存在，使得，的夹角在区间内 11．在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点P满足，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则P，，，B四点共面 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．四棱柱的体积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 13．已知直线与直线，若，则________． 14．正方体棱长为4，点P满足，点Q满足，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算） 15．（13分）已知的顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 16．（15分）如图①，在等腰梯形中，，于点D，，，，将沿折起至的位置，形成如图②所示的四棱锥，F为中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 17．（15分）已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． （2）若直线与x，y轴正半轴分别交于P，Q两点，过P，Q分别作直线垂线，垂足分别是R，S．求四边形面积的最小值． 18．（17分）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）证明： （2）若点E为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 19．（17分）如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于O，且O在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率d（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）d关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $