精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年九年级上学期阶段性消化作业一数学试卷

初2027届阶段性消化作业一 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上； 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． ） 1. 下列数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 地球到太阳的平均距离约为149600000千米，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 随机抛掷一枚硬币10次，一定有5次正面朝上 B. 概率为的事件是不可能事件 C. 频率反映了随机事件发生的频繁程度 D. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 5. 如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 9. 在边长为6的菱形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F，平分交的延长线于点G．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次整式，其中，，均为整数，且满足，．下列说法： ①满足条件的所有整式共有10个； ②若函数的图象与x轴存在交点且分别在原点两侧，则满足条件的整式M有7个； ③满足条件的所有M中，在有理数范围内可以因式分解的整式M共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． ） 11. 已知二次函数，其图象的顶点坐标为______． 12. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则______． 13. 已知抛物线过点，，，则，，的大小关系为______．（用“”号连接） 14. 若实数x，y满足，，则的值为______． 15. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球、1个白球、1个蓝球，这些球除颜色外没有差别，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次均摸到红球的概率是______． 16. 已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 17. 自然数m与n均为两位数，它们的十位数字相差1，个位数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则的最大值为______；当时，若能被3整除，则所有满足条件的m和n所对应的的值之和为______． 18. 正方形的对角线、相交于点O，点E是边上一点，连接交于点F，点G是的中点，连接，，，过点G作交于点M，交于点H．若，，则正方形的边长是______，的值是_______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余小题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． ） 19. 解不等式组：． 20. 综合与实践．在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性研究． 【动手操作】 如图，在中，E是对角线上一点，连接．用尺规完成基本作图：在线段的左侧作，交对角线于点F．连接，． 【问题提出】猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 （1）请按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 某中学为响应“绿色校园”号召，开展废弃塑料瓶回收积分活动．活动结束后，学校从八、九年级随机抽取20名学生的积分成绩（单位：分）进行统计分析，积分成绩越高，说明活动参与度越高．此次活动中所有同学的积分均高于60分，（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的积分成绩为： 62，68，71，75，77，80，80，80，80，83， 85，95，96，97，97，97，98，99，100，100． 九年级20名学生的积分成绩在C组的数据是： 81，81，81，83，84，86，87，88 八、九年级所抽学生的积分成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 86 86 中位数 84 a 众数 b 81 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的活动参与度更高？请说明理由写出一条理由即可）； （3）该校八年级有400名学生，九年级有600名学生参加了此次活动，估计该校八、九年级参加活动积分成绩高于80分的人数是多少？ 23. 如图，四边形是矩形，，，点M以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当点M到达D点时停止运动．在点M出发的同时，点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿方向运动，P，Q，M三点同时停止运动，设运动时间为t（），点M与点B的距离为，的面积为． （1）请直接写出，关于t的函数表达式，并分别写出自变量t的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象：结合函数图象，直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 列方程（组）解决问题： 随着人工智能技术日益普及，各类服务套餐逐渐成为用户刚需．某人工智能公司推出高级版和标准版两种服务套餐．已知每月高级版套餐比标准版贵120元，今年8月份高级版套餐的销售额为480万元，标准版套餐的销售额为360万元，且标准版套餐的销量是高级版的倍． （1）求该人工智能公司高级版和标准版套餐的单价； （2）9月份，公司对高级版套餐进行降价促销：已知每份高级版套餐的成本（含算力、存储、运维成本）为160元，每份标准版套餐的成本比高级版的成本低．若高级版套餐售价每降低20元，销量就比8月份多3000份；标准版套餐售价和销量都与8月份相同．此次促销销售完两种套餐的总利润为456万元，求高级版套餐每份降价了多少元？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 26. 如图，以为斜边在上方作等腰直角三角形，，点D是边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接． （1）如图1，，连接，若，求的长度： （2）如图2，点M在边上，延长至点E，连接交于点H，连接，．点G是线段上一点，连接并延长至点F，连接．若且，请用等式表示，，的数量关系并证明； （3）如图3，，点N也是边上一点，连接并延长，点P，点Q分别是射线上两点，连接，、、，．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2027届阶段性消化作业一 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上； 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． ） 1. 下列数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 3. 地球到太阳的平均距离约为149600000千米，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：将149600000用科学记数法表示为． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 随机抛掷一枚硬币10次，一定有5次正面朝上 B. 概率为的事件是不可能事件 C. 频率反映了随机事件发生的频繁程度 D. 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、随机抛掷一枚硬币10次，可能有5次正面朝上，故原说法错误； B、概率为的事件是随机事件，故原说法错误； C、频率反映了随机事件发生的频繁程度，说法正确； D、天气预报“明天降水概率”，是指明天有的可能会下雨，故原说法错误； 5. 如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：∵与位似，且， ∴与的面积比为. 6. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】原式化简为，再估算出的取值，即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在5和6之间． 7. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左侧，可判断a，b，c的正负；再由抛物线过点，可得，，根据当时，，可得，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴， ∴，故A选项错误； 观察图象得：抛物线过点， ∴，即，，故B选项错误；故C选项正确； 观察图象得：当时，， ∴，故D选项错误． 9. 在边长为6的菱形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F，平分交的延长线于点G．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作于点H，证明，得出，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理分别求出，，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点B作于点H，如图所示： 则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知二次整式，其中，，均为整数，且满足，．下列说法： ①满足条件的所有整式共有10个； ②若函数的图象与x轴存在交点且分别在原点两侧，则满足条件的整式M有7个； ③满足条件的所有M中，在有理数范围内可以因式分解的整式M共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，再由，可得，然后结合，列举出所有可能结果，再逐项判断，即可． 【详解】解：①∵为二次整式， ∴， ∵，，均为整数，， ∴， ∵， 若，，此时，不符合题意； 若，，且， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 此时有2个； 若，，且， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 此时有3个； 若，，且， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，或符合题意； 当时，，符合题意； 此时有3个； 若，，且， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 此时有2个； 若，，且， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 此时有1个； 若，，且， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 此时有1个； ∴满足条件的所有整式共有12个，故①错误； ②， 设方程的两根分别为，则， ∵函数的图象与x轴存在交点且分别在原点两侧， ∴异号，且， ∴，， 当时，， 即且， 当，或，或，或，或，或，时，整式M满足条件，有6个； 当时，， 即且，均不符合题意； 综上所述，整式M满足条件，共有6个，故②错误； ③当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，不能因式分解，不符合题意； 当，时，不能因式分解，不符合题意； 当，时，不能因式分解，不符合题意； 当，时，不能因式分解，不符合题意； 当，时，不能因式分解，不符合题意； 当，时，不能因式分解，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不能因式分解，不符合题意； 当，时，，不能因式分解，不符合题意； ∴满足条件的所有M中，在有理数范围内可以因式分解的整式M共有4个，故③正确． 综上所述，正确的个数是1个． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． ） 11. 已知二次函数，其图象的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的特点即可得出函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数，其图象的顶点坐标为． 12. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】求出，可得到的度数，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴． 13. 已知抛物线过点，，，则，，的大小关系为______．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴． 14. 若实数x，y满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再表示出，将代入得，整理得，再分两种情况：和，计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得， 整理得， 当时，，则，解得，此时， 故； 当时，，则，解得，与矛盾，故不符合题意； 综上所述，的值为． 15. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球、1个白球、1个蓝球，这些球除颜色外没有差别，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次均摸到红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 红1 红2 白 蓝 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） （红1，蓝） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） （红2，蓝） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，白） （蓝，蓝） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次均摸到红球的情况有种， ∴两次均摸到红球的概率是． 16. 已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，从而可得二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，再结合题意即可得出结果． 【详解】解：二次函数， ∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，其最大值为4， ∴． 17. 自然数m与n均为两位数，它们的十位数字相差1，个位数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则的最大值为______；当时，若能被3整除，则所有满足条件的m和n所对应的的值之和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】答题空1：设的十位数字为，个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则，，结合题意表示出，从而可得要使最大，需尽可能大，再结合，分情况讨论即可得出结果； 答题空2：表示出，结合题意可得能被3整除，由答题空1的过程可得或，分情况计算即可得出结果． 【详解】解：答题空1：∵自然数m与n均为两位数， ∴设的十位数字为，个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ∴，， ∴， ∵自然数m与n均为两位数，它们的十位数字相差1，个位数字之和为9， ∴，， ∴设（对称情况不影响结果）， ∴， ∴， 要使最大，需尽可能大， 由题意可得， 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为四位数，不符合题意； 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为四位数，不符合题意； 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为四位数，不符合题意； 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为四位数，不符合题意； 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为四位数，不符合题意； 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为四位数，不符合题意； 当时，的最小数为，的最小数为，，乘积为三位数，符合题意，此时，最大； 答题空2：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整除， 由答题空1的过程可得或， 当时，满足题意的的值为或或， 当，时，，，此时，，，满足题意，， 当，时，，，此时，，，满足题意，， 当，时，，，此时，，，满足题意，， 当时，满足题意的的值为或或， 当，时，，，此时，，，满足题意，， 当，时，，，此时，，，满足题意，， 当，时，，，此时，，，满足题意，， 综上所述，所有满足条件的m和n所对应的的值之和为． 18. 正方形的对角线、相交于点O，点E是边上一点，连接交于点F，点G是的中点，连接，，，过点G作交于点M，交于点H．若，，则正方形的边长是______，的值是_______． 【答案】 ①. 16 ②. 【解析】 【分析】过点G作交于点P，由正方形的性质结合已知条件，推出是的中位线，继而得出是等腰直角三角形，继续证明，得出，利用相似三角形的判定与性质得出，从而得到，设，，则正方形的边长为，，由等腰直角三角形的性质列出含a的一元一次方程，从而求得a的值，进而得到正方形的边长；再利用勾股定理，等腰直角三角形的性质，正切的定义和平行线的性质得出，的长度，从而求出的值． 【详解】解：如图，过点G作交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点G为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，即正方形的边长为， ∴， ∴， 在等腰中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴，，即正方形的边长为16； 如图，延长交于点Q，过点M作交于点K， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点G为的中点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余小题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． ） 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 20. 综合与实践．在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性研究． 【动手操作】 如图，在中，E是对角线上一点，连接．用尺规完成基本作图：在线段的左侧作，交对角线于点F．连接，． 【问题提出】猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 （1）请按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）按要求作图如下： （2）证明：由作图可知，， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据作等角的步骤作即可； （2）由平行四边形的性质及作图可证明，则，，进而可证明，根据内错角相等两直线平行得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则和分式的混合运算法则计算进行化简，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出的值，最后代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 某中学为响应“绿色校园”号召，开展废弃塑料瓶回收积分活动．活动结束后，学校从八、九年级随机抽取20名学生的积分成绩（单位：分）进行统计分析，积分成绩越高，说明活动参与度越高．此次活动中所有同学的积分均高于60分，（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的积分成绩为： 62，68，71，75，77，80，80，80，80，83， 85，95，96，97，97，97，98，99，100，100． 九年级20名学生的积分成绩在C组的数据是： 81，81，81，83，84，86，87，88 八、九年级所抽学生的积分成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 86 86 中位数 84 a 众数 b 81 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的活动参与度更高？请说明理由写出一条理由即可）； （3）该校八年级有400名学生，九年级有600名学生参加了此次活动，估计该校八、九年级参加活动积分成绩高于80分的人数是多少？ 【答案】（1）；80；35 （2）九年级学生的活动参与度更高．理由：两个年级的平均数相同，但八年级的中位数84小于九年级的中位数85，说明九年级有一半以上学生的积分高于85分，整体高积分的学生占比更多，参与度更高． （3）670人 【解析】 【分析】（1）根据中位数是将成绩从小到大排序后，第10和第11个数据的平均数可求出a的值；根据众数是出现次数最多的数可求出b的值；先求出C组的占比，进而可求出m的值； （2）选择合适的统计量分析即可（答案不唯一）； （3）用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据扇形图：A组占，共人； B组占，共人， 因此A、B组合计共5人，即排序后前5个数据都，第6到第13个数据是C组的8个数据（81，81，81，83，84，86，87，88）， ∴第10、11个数据分别是84、86， ∴中位数． ∵八年级20名学生的积分，80出现了4次，是出现次数最多的数， ∴． ∵九年级共抽取20名学生， ∴中位数是将成绩从小到大排序后，第10和第11个数据的平均数． ∵C组共8人，占比为， ∴，即． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 八年级：20名样本中，积分高于80分的有11人，占比为， 因此400名八年级学生中高于80分的约为人． 九年级：积分高于80分对应C、D组，总占比为， 因此600名九年级学生中高于80分的约为人． 合计：人． 答：估计该校八、九年级积分成绩高于80分的总人数是670人． 23. 如图，四边形是矩形，，，点M以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当点M到达D点时停止运动．在点M出发的同时，点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿方向运动，P，Q，M三点同时停止运动，设运动时间为t（），点M与点B的距离为，的面积为． （1）请直接写出，关于t的函数表达式，并分别写出自变量t的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象：结合函数图象，直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）关于t的函数表达式为；关于t的函数表达式 （2）画出函数，的图象，如图所示： 时t的取值范围为 【解析】 【分析】（1）点M与点B的距离为，分两种情况讨论：当点M在上运动时，；当点M在上运动时，，分别用含t的代数式表示出即可；根据题意得，，再由即可解答； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象，直接写出时t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵ 点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→D方向运动，，， ∴ 分以下两种情况讨论： 当点M在上运动时，，则， ∴ ； 当点M在上运动时，，则， ∴ ； 综上所述，关于t的函数表达式为； ∵点P以每秒1个单位长度的速度沿C→B方向运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿C→D方向运动， ∴，， ∴ 的面积； 【小问2详解】 解：结合函数图象可知，当时t的取值范围为． 24. 列方程（组）解决问题： 随着人工智能技术日益普及，各类服务套餐逐渐成为用户刚需．某人工智能公司推出高级版和标准版两种服务套餐．已知每月高级版套餐比标准版贵120元，今年8月份高级版套餐的销售额为480万元，标准版套餐的销售额为360万元，且标准版套餐的销量是高级版的倍． （1）求该人工智能公司高级版和标准版套餐的单价； （2）9月份，公司对高级版套餐进行降价促销：已知每份高级版套餐的成本（含算力、存储、运维成本）为160元，每份标准版套餐的成本比高级版的成本低．若高级版套餐售价每降低20元，销量就比8月份多3000份；标准版套餐售价和销量都与8月份相同．此次促销销售完两种套餐的总利润为456万元，求高级版套餐每份降价了多少元？ 【答案】（1）该人工智能公司高级版套餐的单价为320元，标准版套餐的单价为200元 （2）60元 【解析】 【分析】（1）设该人工智能公司高级版套餐的单价为x元，则标准版套餐的单价为元，根据“今年8月份高级版套餐的销售额为480万元，标准版套餐的销售额为360万元，且标准版套餐的销量是高级版的倍．”列出方程，即可求解； （2）设高级版套餐每份降价了m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该人工智能公司高级版套餐的单价为x元，则标准版套餐的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：该人工智能公司高级版套餐的单价为320元，标准版套餐的单价为200元； 【小问2详解】 解：设高级版套餐每份降价了m元，则题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：高级版套餐每份降价了60元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2），取得最大值 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点和点代入计算即可； （2）先求出，得到，根据平行得到，设，过作于，即可得到，最后根据求出取最大值，此时；取点，连接，，，则垂直平分，得到，根据当，，三点共线时，取得最大值，； （3）先求出平移后的解析式，进而求出新抛物线与原抛物线交于点，过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，则，结合，得到当点在下方时，在射线上，求出直线解析式与新抛物线求交点即可；证明，得到，同理得到当点在上方时，在射线上，求出直线解析式与新抛物线求交点． 【小问1详解】 解：把点和点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵过点P作，交于点D， ∴， ∵P为线段上方抛物线上的一动点， ∴设，， 过作于， ∴， ∴，，， ∴ ， ∴当时，取最大值，此时，即； 取点，连接，，，则， ∴，即垂直平分， ∴， ∵中，即， ∴当，，三点共线时，取得最大值，； 【小问3详解】 解：将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，则新抛物线解析式为， 联立，解得， ∴新抛物线与原抛物线交于点， 过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 当时，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且， ∴当点在下方时，在射线上， 设直线解析式为，代入和得，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得或， ∵， ∴此时； ∵， ∴当时，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且， ∴当点在上方时，在射线上， 同理求出直线解析式为，与联立得到； 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为或． 26. 如图，以为斜边在上方作等腰直角三角形，，点D是边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接． （1）如图1，，连接，若，求的长度： （2）如图2，点M在边上，延长至点E，连接交于点H，连接，．点G是线段上一点，连接并延长至点F，连接．若且，请用等式表示，，的数量关系并证明； （3）如图3，，点N也是边上一点，连接并延长，点P，点Q分别是射线上两点，连接，、、，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 如图，在上取点K，使得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质得到，进而证得，由全等三角形的性质得到相关线段的长度，最后利用勾股定理即可得出结论； （2）通过倒角得出，在上取点K，使得，证明和，从而利用线段和差关系即可得证结论； （3）先确定出点P和点M的运动轨迹，设的中点为O，过点O作交直线l于点，当点O，，三点共线时，取最小值，进一步确定出点Q的运动轨迹，过点D作交于点S，过点D作交于点R，设直线l与的交点为T，证出，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质得出相关线段和角度之间的等量关系及线段的长度，最后利用三角形面积公式即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 又∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点J，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的轨迹是以为直径的圆， ∵点D是边上的动点，， 如图，当点D在中点时，即点， ∵，， ∴点M在上，即点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，点在的中点上， ∴， ∴， ∴点M的轨迹是与夹角为的直线l， ∴， 设的中点为O，过点O作交直线l于点， 当点O，，三点共线时，取最小值， ∵点N是边上的动点，点Q是射线上的动点，为定角，为定弦， ∴点Q的轨迹是以为直径的圆， 如图，过点D作交于点S，过点D作交于点R，设直线l与的交点为T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 此时在等腰的中线上，且点Q与点N重合， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $