湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季高一数学一参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C A B D C C ABD ACD BC 三、填空题 12．， 13． 14．4 四、解答题 15．【解析】（1）因为，或，， 所以解得，即的取值范围为． 5分 （2）当时，满足，此时，解得． 当时，或 解得或， 综上，或，即的取值范围为． 13分 16．【解析】（1）当时，， 当时，， 所以 6分 （2）若，则，当时，； 若，，当且仅当，即时，等号成立，此时． 因为，所以该企业全年产量为50千件时，所获利润最大为6600万元． 15分 17．【解析】（1）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为． 4分 （2）设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为． 8分 （3）由化简得，即， 当时，，解得． 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 15分 18．【解析】（1），当且仅当时取得等号，所以的最大值为． 4分 （2）由题意，长方体的体积为：，当且仅当时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为． 9分 （3）证明：当时，左式，右式，且； 当时，， 显然，所以等号不能取，所以， 综上可知，恒成立． 17分 19．【解析】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素，，均为奇数时，为奇数，不满足条件③． （ii）从集合中任取三个元素，，有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质． 4分，未说明理由只给1分 （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 7分，少讨论一种情况扣1分 令，，，解得，，， 显然，，，所以集合是集合的“期待子集”，得证． 8分 （3）先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，由可知，存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质． 12分 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，，，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得，，均为整数， 因为， 所以，且，，均为整数，所以，，， 因为，，， 所以，，均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”． 综上所述，“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的”期待子集“． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列表述正确的是 A． B． C． D． 2．已知集合是小于9的正整数，，则中元素个数为 A．8 B．5 C．3 D．0 3．函数的定义域为 A． B． C． D． 4．“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则代数式的最小值为 A．2 B．4 C．3 D．无最小值 6．已知实数，，设，，若，则 A．1 B．2 C．4 D．3 7．已知函数满足，则 A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知集合恰有15个真子集，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，均为实数，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．下列命题是真命题的有 A．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件 B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．每个定义域为的二次函数的图象都是轴对称图形 D．存在无理数，它的立方是有理数 11．已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则 A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“，”的否定是__________． 13．不等式的解集为__________． 14．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知集合，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16．（本题满分15分） 2026年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，生产千件该产品，需另投入成本万元，且假设该产品对外销售单价定为每件0．9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． （1）求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 17．（本题满分15分） 设． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，解关于的不等式． 18．（本题满分17分） 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实：不等式，，可以推广至阶．即：若实数，，…，均大于0，那么．请利用上述事实解决下列问题： （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少？ （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立． 19．（本题满分17分） 已知集合中含有三个元素，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）已知集合，证明：“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的‘期待子集’”． 学科网（北京）股份有限公司 $