精品解析：湖南长沙市南雅中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试卷

2026年下学期高一年级10月质量检测卷 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列对象不能构成集合的是（ ） ①我国近代有名的数学家；②中国古代四大发明；③空气中密度大的气体． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，，若，则的值为（） A. B. C. D. 或 8. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则下列不等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为____________． 13. 振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 14. 已知实数x，y满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集R，，，求 （1）； （2）． 16. （1）已知，，，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值． 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 18. 已知集合，，. （1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. （2）若，求实数a的取值范围. 19. 长沙市地铁8号线项目正在规划中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与时间的关系式为（为参数），且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为． （1）求当时，的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量． （2）若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高一年级10月质量检测卷 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列对象不能构成集合的是（ ） ①我国近代有名的数学家；②中国古代四大发明；③空气中密度大的气体． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【详解】判断一组对象能否构成集合，关键看是否满足元素的确定性，即对于任何一个对象，都能明确判断它是否属于该集合， ①我国近代有名的数学家”：“有名” 没有明确的判定标准，无法确定哪些人属于该对象，不满足确定性，不能构成集合； ②中国古代四大发明”：对象为造纸术、印刷术、火药、指南针，元素是确定的，可以构成集合； ③“空气中密度大的气体”：“密度大” 没有明确的界定标准，无法确定哪些气体属于该对象，不满足确定性，不能构成集合； 综上，不能构成集合的是①③. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再由补集的定义即可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 4. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 5. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 7. 设集合，，若，则的值为（） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 8. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项. 【详解】因为2是中的元素，A项正确； “”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误； 因为，，根据子集的概念知，C项正确； 是任何集合的子集，D项正确. 故选：ACD. 10. 若，，则下列不等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次不等式与二次方程的关系，可借助韦达定理来求解即可. 【详解】由不等式的解集为可得： 方程的两根为，且，故A正确； 再由韦达定理可得即， 所以，故B错误； 由不等式， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 由，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，准确计算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13. 振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【答案】1 【解析】 【分析】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意得出关于的等式即可求解． 【详解】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 14. 已知实数x，y满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，根据不等式性质求解即可. 【详解】令，则， 则， 又， 所以， 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集R，，，求 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 ，故或， 因为，所以； 【小问2详解】 或， 故或 16. （1）已知，，，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）2；（2）8. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式可求得答案； （2）由已知得，根据基本不等式可求得答案； 【详解】解：（1），当且仅当即时取等号． 故的最大值为2． （2），即，∵， 故，当且仅当时等号成立， 又，∴时，． 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的图像，讨论k的取值，求出结果即可． 【小问1详解】 由不等式的解集为， 可知，和1是一元二次方程的两根， 所以有，解得. 【小问2详解】 不等式的解集， 若，不等式为，符合题意； 若，则有，解得， 所以不等式的解集为R，求实数k的取值范围为 18. 已知集合，，. （1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可； （2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以.因为是的充分条件， 所以，解得，. 【小问2详解】 因为，，所以，解得.故a的取值范围为. 19. 长沙市地铁8号线项目正在规划中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与时间的关系式为（为参数），且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为． （1）求当时，的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量． （2）若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值． 【答案】（1）当时，；发车时间间隔为5分钟时载客量为475人； （2）当发车时间间隔为5分钟时，每分钟净收益最大，最大值为1400元 【解析】 【分析】（1）设出解析式，根据求出，得到解析式，并求出，得到答案； （2）分和两种情况，结合基本不等式求出最大值，得到结论. 【小问1详解】 当时，设， 发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，即， 所以，解得， 所以当时，，故， 发车时间间隔为5分钟时载客量为475人； 【小问2详解】 当时，， 故当时，取得最大值，最大值为， 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当发车时间间隔为5分钟时，每分钟净收益最大，最大值为1400元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $