湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试（10月）数学试题

1 长沙市周南中学 2024 年下学期高一年级第一阶段性测试 数 学 试 卷 分量：150分 时量：150分钟 命题人：刘清平 审题人 谭周滔 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各图中，不能表示 y 是 x 的函数的是 2．已知： 1 a ＞ 1 b (a、b∈R，且 ab≠0)，下列不等关系一定成立的是 A．a＞b B．|a|＜|b| C．a＋b＞ab D．ab2＞a2b 3．已知集合 A＝{x||x|≤3，x∈N}，B＝{2m－1,m,m2}，C＝{3,m,3m－2}，若 B＝C，则 A∩ B 的子集个数为 A．2 B．4 C．7 D．8 4．已知函数 y＝f(x)的定义域为[－1,4]，则 y＝ f(2x＋1) x－1 的定义域为 A．(1, 3 2 ] B．(1,5] C．[－5,5] D．[－5, 3 2 ] 5．已知 f(x)＝   (3a－1)x＋4a x＜1 －ax x≥1 是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是 A．[ 1 8 , 1 3 ) B．[ 1 8 , 1 3 ] C．[0, 1 3 ] D．(0, 1 3 ] 6．为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的微信群．已知该群中男 学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人 数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为 A．20 B．22 C．26 D．28 7．若 a＞b，且 ab＝2，则 (a－1)2＋(b＋1)2 a－b 的最小值为 A．2 5－2 B．2 5－4 C．2 6－2 D．2 6－4 8．关于函数 f(x)＝ x 1＋|x| (x∈R)的性质，① 等式 f(－x)＋f (x)＝0 对 x∈R 恒成立； ② 函数 f (x)的值域为(－1,1)； ③ 若 x1≠x2，则一定有 f (x1)≠f (x2)； ④ 存在无数个 x0，满足 f(x0)＋f( 1 x0 )＝－1 其中正确结论个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 O y x A O y x B O y x C O y x D 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分． 9．命题 p：∃ x∈R，x 2 －x＋1＝0，命题 q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题， 下列判断正确的是 A．p 是真命题 B．¬p：∀ x∈R，x 2 －x＋1≠0 C．q 是真命题 D．¬q：存在两个等边三角形，它们不相似 10．已知集合 A＝{x|x2＋a2x＋8－a2＝0}，B＝{x|(x＋2)2＝0}，且 A∩B＝A∪B．集合 D 为 a 的取值组成的集合，则下列关系中正确的是 A．－2∈D B．2∈/ D C．Ø⊂D D．0∈/ D 11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 f(x)＝   1 x∈Q 0 x∈∁RQ ，被 称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 f(x)的 结论中，正确的是 A．函数 f(x)满足：f(－x)＝f(x) B．函数 f(x)的值域是[0,1] C．对于任意的 x∈R，都有 f(f(x))＝1 D．在 f(x)图象上不存在不同的三个点 A、B、C，使得△ABC 为等边三角形 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知－1≤x－y≤4，－2≤x＋6y≤3，则 z＝x－8y 的取值范围是_______________． 13．在 A＝{x| 2x－2 x＋1 ＜1}，B＝{x|x2＋x＋a－a2＜0}，设全集 U＝R，若“x∈A”是“x∈B”的充 分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_______________． 14．设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x＋1)＝ 1 2 f(x)，且当 x∈(0,1]时，f(x)＝－x(x－1)．若对 任意 x∈[m,＋∞)，都有 f(x)≤ 8 9 ，则 m 的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15．(13 分) 已知集合 A＝{x|(x－m)(x＋2)＜0}，B＝{x|x＋m＜0}． (1) 当 m＝1 时，求 A∩B； (2) 若 A∪B＝B，求实数 m 的取值范围． 3 16．(15 分) 已知函数 f(x)＝2x＋ a x (x∈R，x≠0)． (1) 若 a＝1，求 f(x)在{x∈R|－1≤x＜0 或 0＜x≤1}上的值域； (2) 证明：当 a＞0 时，函数 f(x)在区间(－∞,－ 2a 2 ]上单调递增． 17．(15 分) 已知 y＝f(x)在(0,＋∞)上有意义，单调递增且满足 f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)． (1) 求证：f(x2)＝2f(x)； (2) 求不等式的 f(x)＋f(x＋3)≤2 的解集． 4 18．(17 分) 我们知道，当 a≥b＞0 时，如果把 a，b， 2 22 ba  ， a＋b 2 ， 2 1 a ＋ 1 b ， ab按照从大到小的 顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链： a≥ 2 22 ba  ≥____≥____≥ 2 1 a ＋ 1 b ≥b 便款款的、含情脉脉的降临在我们面前．这个均值不等式链神通广大，可以解决很多很 多的由定值求最值问题． (1) 填空写出补充完整的该均值不等式链 a≥ 2 22 ba  ≥____≥____≥ 2 1 a ＋ 1 b ≥b ； (2) 当 a≥b＞0 时，记 a－b 为 a,b 间的“缝隙”．记 2 22 ba  与 a＋b 2 间的“缝隙”为 M， a＋b 2 与 ab间的缝隙为 N，请问 M、N 谁大？给出你的结论并证明． 19．(17 分) 对于函数 f(x)，若存在 x0∈R，使 f(x0)＝x0成立，则称 x0为 f(x)的不动点． (1) 已知函数 f(x)＝x2－x－3，求函数 f(x)的不动点； (2) 若对于任意的 b∈R，二次函数 f(x)＝ax2＋(b－1)x＋b－8 (a≠0)恒有两个相异的不 动点，求实数 a 的取值范围； (3) 若函数 f(x)＝mx2－(m＋1)x＋m＋1 在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数 m 的取值 范围． 长沙市周南中学2024年下学期高一年级第一阶段性测试 数学试卷参考答案 1~8 BDBA ABCD 6.【详解】设教师人数为x,家长人数为y,女学生人数为， 男学生人数为t,x、八、1∈Z, 则y2x+1,z2y+1≥x+2,12z+12y+22x+3,则x+y+z+124x+6, 又教师人数的两倍多于男学生人数，2x>x+3,解得x>3, 当x=4时，x+y+z+t≥22，此时总人数最少为22. 故选：B. 7.【详解】因为ab=2, 所以由题意a=+b+=++2-2a+2b-。++b-2 a-b a-b a-b =a-b}'+3ab a-b 2=0-+62 因为a>b,所以a-b>0, 所以由基本不等式可得a-广+6+=a-b+6-2226-2, a-b a-b ab=2 [a6-@ a=6+ 当且仅当 a-b=√6时等号成立，即当且仅当 2 或 2 b=6-4 66+a 时等号成立， a>b 2 2 综上所述， a-2+b+y 的最小值为2√6-2 a-b 故选：C 8.【详解】对于0.因为0中内-网，所以/儿)+/国=0对xeR恒 成立，所以①正确： 对于②，当x>0时，f==0+0-=1-1 1+x I+x 1+x 因为x>0,所以x1,所以0右1， 所以0>之1，所以1之1-+>0，所以0</<， x+1 当<0时，m言 1-x 因为x<0,所以1-x1,所以0小，所以-1k-+0,所以-1k<0, 当x=0时，f(x)=0, 综上，f(x)的值域为（一1,1），所以②正确， 对于@，当x>0时，@=1中为增函数，因为-小代)-=0，所以国为奇函数 因为f(x)的图象在R上连续，所以f(x)在R上递增 所以当，≠，2，则一定有f(:)≠∫(：)，所以③正确， 所以存在无数个七<0，满足fx)+f()=-1,所以④正确， 所以正确的有4个， 故选：D 9-11 BCD ACD AC 1x∈Q 11.【详解】由于)=0x∈0 对于选项A,设任意x∈Q,则-x∈Q,f(-x)=1=f(x): 设任意x∈CRQ,则一x∈CRQ,f(-x)=0=f(x): 总之，对于任意实数x,f(一x)=f(x)恒成立，A正确： 对于选项B,f(x)的值域为0，}，0，}≠[0，]，B错误： 对于选项C,当x∈Q,则f(x)=1,ffx)=f)=1: 当x∈RQ,则f(x)=0,f(f(x)=f(O)=1:C正确： 对于选项D,取A0,B趴，0，C(,0),得到VABC为等边三角形，D错 故选：AC 12.【-5,10113.(o,-3U4,+四)14.【-+四) 14.【详解】x∈(-l,0时，x+1∈(0，，而x∈(0，时，f(x)=-x(x-) 所以f(x+)=-(x+I)[x+)-]=-x(x+1), 又2f(x+l)=f(x),所以当x∈(-1,0]时，f(x)=2f(x+l)=-2x(x+1), 当xe(-2,-时，f(x)=2f(x+1)=-2x2(x+1)[(x+1)+1]=4(x+10(x+2), 作出示意图如下图所示： -2x1-10 2衣 要使1)。则需之x,结合上图。 由464x+2-号解得气=手所以m2号 15.解析：(1)当m=1时，A=x(-1(x+2)<0={x-2<x<1},…2分 B={xx+1<0}={xx<-},…4分 所以A门B=(-2,-).…5分 (2)若A门B=A,则AB,…6分 ①m=-2时，A=☑，ACB,符合题意：…8分 ②m>-2时，A={x|-2<x<m,B={x|x<-m. 若A二B,则-m之m,解得m≤0，所以m∈(-2,0]：…10分 ③m<-2时，A={x|m<x<-2},B={xx<-m. 若A三B,则-m≥-2，解得m≤2，所以m∈(-0，-2). …12分 综上所述，实数m的取值范围是（一0,0].…13分 16.【详解】()解：当a=1,)=2x+号 …l分 若@小则网=2+25，等号当且仅当x=马到成立 …3分 若E-10则=2x+-25,等号当且仅当=-号时成立。 …5分 所以x)在{红∈R-1≤x<0或0<x≤1}上的值域为：(-，-2V2]U[2V2,十o.…7分 ②证明：，∈（一0，-，且<，……8分 有)厂g)=2+导-2+总=21-2+号-号 =21-29+aw_2-a. …10分 XIX2 由e(一鸟得：<受≤ 2 所以x2>号0,2-a>0,又由<得x-<0.…12分 于是：2-a0,即< …小4分 所以。函数=2x+学在区间一上单调港批 。…15分 17.【详解】(0g)=f)+0∴f0x3=fx为=f+0)=2f).…5分 (2).f(x)+fx+3)=f(x(x+3)≤2=2f(2)=f(4), **…9分 x>0 且函数f(x)在(0，十o)上单调递增， x+3>0 ……13分 x(x+3)≤4 解得0<x≤1. …15分 18.【详解】(1)a≥ 2 …5分 a b (2)M≤N(当且仅当a=b时取等号)…7分 a2+b2 atb a2+b2 证明：M-N +√ab 2 -(a+b)…9分 又 a"+b2 +√ab) -(a+b= a"+b -(a2+b2+2ab) a'+b a'+b 2 2 .√ab+ab a +b -√ab ≤0（当且仅当a=b时取=号）， 2 …5分 a +b +√ab ≤(a+b2,·1 a2+b2 +√absa+b 2 ∴.M≤N(当且仅当a=b时取=号). …17分 19.【详解】（)设为不动点，因此（6)=无，即-。-3=。，…2分 解得x=-1或x=3,所以-1,3为函数f(x)的不动点.…4分 (2)方程f(x)=x,即ar2+(b-l)x+b-8=x,有ar2+(b-2)x+b-8=0, 因为a≠0，于是得一元二次方程a2+(b-2)x+b-8=0有两个不等实根， 即判别式△=(b-2)2-4a(b-8)>0台b2-4(a+1)b+4(8a+1)>0,…7分 依题意，对于任意的b∈R,不等式b-4(a+1)b+4(8a+1)>0恒成立， 只需关于未知数b的方程b-4(a+1)b+4(8a+1)=0无实数根， 则判别式△=16(a+1)-16(8a+1)<0,…10分 整理得a2-6a<0,解得0<a<6, 所以实数a的取值范围是(0,6).… …12分 (3)由f(x)=2-(m+1)x+m+1=x,得mx2-(m+2)x+m+1=0, 由于函数f(x)在(0,2)上有且只有一个不动点， 即2-(m+2)x+m+1=0在(0,2)上有且只有一个解……13分 令g(x)=r2-(m+2)x+m+1 ①g(0)g(2)<0,则(m+1)(m-)<0,解得-1<m<1: ②g(0)=0,即m=-1时， 方程可化为-x2-x=0,另一个根为-1，不符合题意，舍去：…14分 ③g(2)=0,即m=1时， 方程可化为x2-3x+2=0,另一个根为1，满足： …15分 ④△=0，即(m+2-4m(m+1)=0,解得m=±25 ①当m=25时，方程的根为x=-(m+2.m+21+5 ,满足 2m 2m2 (ii)当m= 25时，方程的根为=-m+2.m+2.上- ,不符合题意，舍去： 2m 2m2 …16分 综上，m的取值范围是-1<m≤1或m-2 ……7分 4