辽宁省沈阳市回民中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

《月考》参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 A B A B ⊙ ABC BCD 题号 11 答案 ACD 1.A 【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点 坐标求解. [3x-2y+3=0 x=1 【详解】由 x+y-4=0，得 =3…交点坐标为1,3). 设与直线2x+y-1=0平行的直线方程为2x+y+C=0, 把点(L,3)的坐标代入，得2+3+C=0,解得C=-5, ∴.所求直线方程为2x+y-5=0, 故选：A. 2.B 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线：x-y-2=0过定点与图形可得答案， 【详解】曲线C:x=V1-y-1+1即(x-1)+(y-1=1(x≥1)表示如图所示的半圆， 又1：kx-y-2=0过定点：(0，-2). -13k 当1：-y-2-0与半圆相切时，圆心L1)到直线距离为1，则中 当直线过如图点B(1,0)时，斜率为：k= 0+2=2, 1-0 则实数k的取值范围是 故选：B 答案第1页，共15页 3.A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设M(,,),P(K,),由V(-8,0),M证=PN得： -=-4- x0=4+ 3 --)8--),则有 2 1 -=-2y 3 Yo= 因为M为圆C:(x+2)2+y2=9上任意一点， x=4+3x 2 所以(x。+2)+=9,代入 可得： 3 y2 V 〔4+-9，整理附：4产-4. 即方程(x+4)2+y2=4就是动点P(x,y)的轨迹方程. 故选：A 4.B 【分析】依A中的最大数进行分类求解 【详解】依A中的最大数进行分类： ①若A中的最大数为1，则A有1种，则B是集合{2,3,4,5}的非空子集，有24-1=15种， 所以有1×15=15（种）： ②若A中的最大数为2，则A有2种，则B是集合{3,4,5}的非空子集，有2-1=7种，所以 有2×7=14种： ③若A中的最大数为3，则A有4种，则B是集合{4,5}的非空子集，有22-1=3种，所以有 答案第2页，共15页 4×3=12种； ④若A中的最大数为4，则A有8种，则B是集合{5}的非空子集，有1种，所以有8×1=8种 所以可得15+14+12+8=49，故不同的选择方法共有49种. 5.c 【分析】根据向量的线性运算可得+2b+3c=(x+y)a+:-y+2zc,结合空间向量基本 定理可求x,y,z,从而得相应的坐标. 【详解】依题意可知币=ā+26+3元， 设向量市在基底{ā+b,ā-b,2}下的坐标为（化，y,), 即币=x(a+b)+y(a-+2z元=(x+ya(x-y万+2z0, 则a+2b+3c=(x+y)a+-yb+2z元， 3 x= x+y=1 2 1 由空间向量基本定理得， x-y=2,解得y= 2 2-=3 2 故选：C 6.C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合余弦定理求出离心率 【详解】设椭圆半焦距为C,如图所示，|BR曰BE=Vc2+b2=a, B 设D关于原点对称的点为E,则DFE至，为平行四边形， 由BI∥DE,得B,R,E三点共线，且EE,⊥BE,设EE=x,则EF2=2a-x, 在RtaEFB中，d2+(2a-x刘=(x+a,解得x=号a,而co8∠BRR,=-co8∠BRR=-号 答案第3页，共15页 在△EFE中，由余弦定理得，C9+4c2、6 a 8 二，解得d-5c,即e- 所以椭圆C的离心率e- 5 故选：C 7.C a=1 【分析】由己知及双曲线的参数关系列方程求得 b=V5, 根据双曲线的定义有 e以=P卧+P P +4且P≥1，应用基本不等式求最小值. a2+b2=4 【详解】因为椭圆+-1的焦点为（士20），离心率为分，则 a=1 b2.,解得 1612 =2 b=51 a2 因为P为双曲线左支上任意一点，所以PF-P=2a=2,即PF=Pr+2,又 P≥c-a=1, 4 P P 当且仅当P= 丙即PR=2时取等号，所以的最小值为8 4 故选：C 8.B 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得ME,|+W|的最小 值为b+2a=16,S△rs=2S△w=b,结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题意得MR,I-|MR=2a,故M曰M|+2a,如图所示， 答案第4页，共15页 M F F,x 而（←c,0)到渐近线x+w=0的距离N=c=b, 则MR,+W=M+a+MN2lFN+2a≥b+2a, 当且仅当M,,N三点共线时两个等号同时成立， 所以|ME,|+1Mw1的最小值为b+2a=16,所以16≥2√2ab,即ab≤32， 当且仅当b=8,a=4时，等号成立，又O=c,故OW=a, 所以Sa=2SAo=2×1N51-N0Fab≤32. 即△FNF,面积的最大值为32. 故选：B 9.ABC 【分析】根据排列数公式，以及相间问题的排列数的应用问题，即可判断： 【详解】A.根据排列数的定义可知，38×39×40××50可表示为A,故A正确： B.若把英文llo的字母顺序写错了，可能的错误共有A-1=59种，故B正确； C.若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数AA?=12种方法，故C 正确； D不等武4<4，则公8 <6x 81 6 8-60-即a0-9-可1， 即x2-19x+84<0,得7<x<12, [0<x-2≤8 且满足0<x≤8，解得x=3,4,5,6,7,8, x∈Z 综上可知，x=8,故D错误 故选：ABC 答案第5页，共15页 10.BCD 【分析】根据给定条件，利用线线平行，结合空间向量线性运算判断A:建立空间直角坐标 系，利用空间向量运算，结合相应条件求解判断BCD 【详解】对于A,在正方体ABCD-ABCD中，连接BC,AC,AB,则E,F分别为BC,AC 的中点， BF11AB,且ZF-AB,因此ZF-号B4-4-A,A错误： B 卡 以A为原点，直线AB,AD,AA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则.0.m0.0.0.1o4aa205号0. =a5+biD+cM=a6c小，F=(号o3, 对于B,由1AM,得承=-a40,b+分0-0，则a=c,B正编： 对于C,当2+b+c2=1时，点M在以A为球心，半径为1的球面上运动， 面不+少+行5因此的技小值为 -1,C正确： 对于D,当a+b+c=I时，M∈平面ABD,而EF丈平面ABD,则EF/平面ABD, 因此|ME|的最小值为点E到平面ABD的距离，又AB=1,0,-1),BD=(-1,1,0), AB.m=x-z=0 设平面ABD的法向量m=(x,y,z),则 ,取z=1,得m=(1,1,1), BD.m=-x+y=0 又丽=0号为，因此点：到平面4BD的距离为d:.E严方普 1mV3,D正确 故选：BCD 11.ACD 答案第6页，共15页 【分析】根据短轴长直接求解判断A；设P(,n),Q(-m,-n),结合点P在椭圆上，利用 斜率公式化简求值即可判断BC;记E为椭圆C的左焦点，连接PE,QP,由椭圆的对称性 可得△PQF的周长的取值范围判断D 【详解】对于A选项，由2b=2√3，可得b=√5，故A选项正确： 对于B选项，由A(0,V3),P,Q两点关于原点对称， 股Pm,-业-0，有亚+，可得i3驶，有k9。k+3 43 32 -3 有，-心3 4 3,故B选项错误； 4 对于C选项，由长十点-”-5”+V52弘，太=”，有长+龙26，放C遮项正确： m 对于D选项，记E为椭圆C的左焦点，连接PE,OE, 由椭圆的对称性，有PF+l2F=Q+|2F=4, 又由2√3<Pg<4,可得△PQF的周长的取值范围为4+2W3,8),故D选项正确 故选：ACD 12.20 【分析】法一：利用直接法求解即可；法二：先对6名同学作全排列，再去掉两边3人的排 序即可求解 【详解】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有3名同学，均按身高排列，排法只有 1种. 先将6名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有CSA-20种。 解法2：将除甲外的6名同学全排列，甲左边3名同学与右边3名同学顺序一定， 答案第7页，共15页 所以排法共有%=20种. AA 故答案为：20 13. 【分析】先写出直线方程，再应用直线和圆位置关系得出B的轨迹是MN,应用弧长公式 计算求解。 【详解】过点P(2,0)且与两坐标轴的截距都相等的直线，直线l的方程为x+y-2=0, 点B在以A为圆心，2√3为半径的圆上， 因直线I与线段AB有交点，故点A与点B在直线I的两侧或其中一点在直线上， 设直线I与圆的交点为M、N,则B的轨迹是劣弧MN, 因为点A2,3V2)到直线x+y-2=0的距离为 |2+32-2 =3 √2 所以MW=2W12-32=2√5， 所以MAN=,点B的轨迹长度为2 3 3 故答案为： 25 兀. 3 【分析】由抛物线的定义以及题意写出抛物线方程，整理函数解析式，根据三角函数的性质， 可得答案 【详解】由题意可得，动圆圆心的轨迹E为抛物线x2=2y,焦点F0, 准线方程为y=- 过点P作PH垂直于准线，H为垂足，如图所示： VA H 因为抛物线x2=2y关于y轴对称，不妨设点P的横坐标x≥0， 由抛物线的定义可得PF=PH，设∠PH=日， 答案第8页，共15页 由y,求导可得=x,设切点) 切线斜率为k=x, 则切线方程为y- =,(x-),f 1 x=-x,解得x=1, 所以当直线PK与=2y相切时，其倾斜角等于写 1 PF PH FM -n 即sin0=2 ,则m= 1 -1+7 2 由角平分线定理可得 PKPKMK + 2 1+sin 0 2 因为函数y= -1+2 在π 单调递减， 2 1+sin04'2 因此当0-晋时：》，放m最大值为}点 4 35 故答案为： 15.(1)-2: (2)5+5v5 2 【分析】(1)先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； (2)先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值 【详解】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 1+1+D+E+F=0 因为圆M经过点A(1,1),B(2,0),C(5,3),所以4+2D+F=0 25+9+5D+3B+F=0 「D=-6 解得{E=-4,经检验，符合题意， F=8 E M 所以圆M的方程为x2+y2-6x-4y+8=0,即(x-3)2+(y-2)2=5, 因为直线1与圆M相切， 答案第9页，共15页 所以圆心M(3,2)到直线x-+y-3=0的距离为√5， 所以B+2到-5，解得m-2: √m2+1 (2)x-m+y-3=0可化为(x-1)+y-3=0,即直线1恒过点(1,3)， 因为点(1,3)在圆(x-3)2+(y-2)2=5上，故不妨设E为(1,3)， 所以直线BE:3x+y-6=0,且BE=V1-2)2+(3-0)=√10， 设点F到直线BE的距离为d, 所以△BEF的面积S=BBd=0d, 2 2 因为点F在圆上，所以d的最大值等于圆心M(3,2)到直线BE的距离加上半径， 所以d小 Bx3+2-9W5-0+25 V32+1 2 所以(Sss) -1⑩，-00+255+55 2 2 2 2 故△BEP的面积的最大值为5+5V2 2 16.(1)m=±3，y2=2x (2)8 【分析】(1)利用抛物线的定义结合条件求得p=1,得其解析式，代入点M,计算即得 的值： 将其分别与抛物线方程 联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得1C-2+是和B0-2+2,结合4AC1BD,表 示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值， 【详解】1因能物线)=2的焦点为人，则号+号？ ∴.p=1,即抛物线C的方程：y2=2x 又因为抛物线过点M号，0，代入抛物线方程，可得m-3,解得m=±5。 综上：m=±√5，抛物线C的方程：y2=2x; (2)由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 答案第10页，共15页沈阳市回民中学2024级高二上学期月考 数 学 出题人：金宇丹 审题人：刘威 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.过直线3x-2y+3=0与直线x+y-4=0的交点，且与直线2x+y-1=0平行的直线方程为() A.2x+y-5=0B.2x+y+1=0 C.3x+2y-7=0 D.x-2y+5=0 2.若直线1：x-y-2=0与曲线C:x=√1-Oy-1y+1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(） A.(4 B.2 C.[4,+m) 3.己知M为圆C:(x+2+y=9上任意一点，W(-8,0),若点P满足M证=】PN,则点P的轨迹方程为 () A.(x+4)2+y2=4 B.(x-4)2+y2=4 C.(x+4)2+y2=1 D.(（x-4)2+y2=1 4.设集合I=1,2,3,4,5},选择集合I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，则 不同的选择方法共有(). A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 5.已知向量币在基底{a,b,c}下的坐标是(1,2,3)，则向量币在基底{a+b,ā-b,2c下的坐标为() c.222 313 7133 D.222 6已知见，发分别为城国C号+若=a>b0的左、右焦点，8为酷图的上膜点.过5作3照的至线 并与椭圆交于点D,且满足B?/1DE,,则椭圆C的离心率为() B. c. D.月 7已知双查线c若若-a>Q60与箱周上 1612 =1的焦点相同，离心率互为倒数，设耳，F分别 为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C左支上任意一点，则的最小值为《) PE A.10 B.9 C.8 D.7 试卷第1页，共4页 :已知双曲线C:。三1(a>0b>0)的左右焦点分别为，乃，点M在C的左支上，过点M作C的 一条渐近线的垂线，垂足为N,则当ME+MW取最小值16时，△FNF,面积的最大值为() A.16 B.32 C.36 D.64 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.38×39×40××50可表示为A8 B.若把英文“elo”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C.若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D.不等式A<6A-2的解集为(7,10) 10.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E,F分别为平面BCC,B、平面AB,CD的中心， AM=aAB+bAD+cAA,a,b,c∈[0,1]，则() A.丽丽-钢 B.当EF⊥AM时，a=C c.当G+B+e=1时，M的最小值为6-1 D.当a+b+c=1时，的最小值为 3 山，已知椭国C号卡=-10<b<2)的短销长为25，A为肠圆c约上顶点，过原点0的直线与辅圆C交 于P,Q两点(P,Q不在坐标轴上)，记直线AP,AO的斜率分别为k,k2,则() A.b=3 B级 C.记直线P9的斜率为k,可得k+k,=2k D.记椭圆C的右焦点为F,可得△POF的周长的取值范围为4+2V3,8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到 低排列，共有种排法. 试卷第2页，共4页 13.已知点A2,3V2),线段AB长度为2√5，经过点P(2,0)且与两坐标轴的截距都相等的直线1与线段AB 始终有交点，则点B的轨迹长度为 14.己知动圆过点0,2 且与直线1：y=-相切，直线1与y轴交于K,点P为动圆圆心的轨迹E上任 意一点，∠KPF的角平分线与y轴交点为M(0,m),则m最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在平面直角坐标系中，已知点A(1,1),B(2,0),C(5,3),圆M经过A,B,C三点，直线l的方程为 x-m+y-3=0 (1)若直线l与圆M相切，求m的值： (2)若直线I与圆M相交于E,F两点，求△BEF的面积的最大值， 16.(15分)已知抛物线C:y'=2Px(p>0)过点M2,m,其焦点为F,若MF例=2. (1)求的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的最小值 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/1CD,且CD=2,AB=1,BC=2N2, PA=1,AB⊥BC,N为PD的中点. B (1)求证：AN1/平面PBC: (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值： (3)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为V26 若存在，求出 DM 26 DP 的值：若不存在，说明理由. 试卷第3页，共4页 187分)已知42山是椭图5若+若-1〔a>60上的点，且后的离心率为 ,斜率存在且不过 2 点A的直线与B相交于P,Q两点，直线AP与直线A0的斜率之积为} (1)求椭圆E的方程。 (2)证明：1的斜率为定值. 19.(17分)三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规 作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角 的方法：己知角(0<<π)的顶点为A,在α的两边上截取AB=AC,连接BC,在线段BC上取一点O, 使得BO=2CO,记BO的中点为D,以O为中心，C,D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心， AB为半径作圆，与双线M的左支交于点&（射线A迟在∠B4C内部），则∠BAB-专BAC.在上述过 程中，以O为原点，直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. (1)若B(-4,0),求双曲线M的方程以及其渐近线方程； (2)若B(-2,O),点A在x轴的上方，过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G,点E到直线AG的距离为 d.证明 O1BE为定值： d ②∠BAB=∠BAC. 试卷第4页，共4页