辽宁师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试 高二数学试题 时间：120分钟总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分 1.已知点A(-3,1,-4),则点A关于x轴的对称点的坐标为() A.（-3,-1,4) B.(-3,-1,-4) C.(3,1,4) D.(3,-1,4) 2.已知直线1过点4(3,4)，且倾斜角为2亚，则直线1的一般式方程为() A.V3x-y-4-3W3=0 B.V3x+y-4-3W3=0 C.x-V3y-4-3W3=0 D.x+V3y-4-3W3=0 3.设向量g,e,马不共面，已知AB=-38-E,+2g,BC=+e,-6e,CD=46+28,+8e,若A, C,D三点共线，则2=() A.1 B.0 C.3 D.2 4,如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直 线AE与BD所成角的余弦值为() D A.1 B.2 c.3 2 3 D.6 6 5.设直线L的方程为-ycos6+5=0(8∈0，) P. 则直线l的倾斜角的取值范围是() 兀兀 42 ππ C.42 D. [》任 试卷第1页（共6页） 6.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，底面是边长为1的正方形，若∠AAB=∠AAD=60°，且A4=2, 则AC的长为() D A1 B B A.√5 B.2W2 C.10 D.15 7.下列三个命题中，错误命题的个数是() ①若两条不同直线l,m的方向向量分别是a,五，则1‖m⊙a‖b: ②若O1o丽.0c}是空间的-个基底，且oD-a1+兮O丽+号o元，则4及，CD四点共面； ③若两个不同平面x,B的法向量分别是1，v,且i=(1,2,2),=(-2,-4,4),则α川B A.0 B.1 C.2 D.3 8.设直线1：x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=x(x≥0)向直线1射出，与l交于点P,经1反 射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若光线所经长度OP+PM+MN=√10，则k的 值为() A月 C. D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分 9.如图，已知二面角a-1-B的棱l上有A,B两点，C∈，AC⊥1，DEB,BD⊥1，若 AC=AB=BD=2,CD=22,( a A.直线AB与CD所成角的大小为45° B.二面角a-1-B的大小为60° C.三棱锥A-BCD的体积为2√5 D.直线CD与平面B所成角的正弦值为 4 试卷第2页（共6页） 10.己知m∈R,若过定点A的动直线：x-y+-2=0和过定点B的动直线L2:mx+y+2m-4=0交 于点P(P与A,B不重合)，则以下说法正确的是() A.A点的坐标为(2,1) B.PA⊥PB C.PA+PB=25 D.2PA+PB的最大值为5 11.如图，M为棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D表面上的一个动点，则() D B D C B A.当M在平面AB,C,D内运动时，四棱锥M-ABCD的体积是定值 ππ B.当M在直线AC1上运动时，BM与AC所成角的取值范围为 42 C.使得直线M与平面ABCD所成的角为60的点M的轨迹长度为V5π+85 D.若N为棱AB,的中点，当M在底面ABCD内运动，且MNI/平面B,CD时，MN的最小值√6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是 13.已知m∈R,直线3x-y+3=0与直线6x+y+4=0互相平行，则它们之间的距离为， 14.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且 ∠BAC=∠BCD=90°，BC=2,点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q,使得异面直线PO与AC 成30°的角，则线段PA长的取值范围是 P B D 试卷第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共计77分. 15.已知点A(1,2,-1),B(2,k,-3),C(0,5,1),向量a=(-3,4,5) (I)若AB⊥a,求实数k的值： (2)求向量AC在向量ā方向上的投影向量. 16.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 (1)经过直线l:2x-y+4=0与直线l2:x-y+5=0的交点M,且与直线x-2y-1=0平行的直线的方程； (2)已知点A(-2,-1),B(4,3).求线段AB的垂直平分线的方程： (3)经过点P(-2,3),并且在两坐标轴上的截距相等 试卷第4页（共6页） 17.如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,C,D中，E是棱AB上的点，平面CAE交棱BC于点F. B (1)证明：EF/WAC: 2 (2)若直线4B与平面GAE所成角的正弦值为。，求线段AB的长度及此时点B,到平面CAE的距离. 18.如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D是AC中点，E、F分别是BABC边上的动点，且EF‖AC; 将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE: D (I)求证：EF⊥PC; (2)若BE=2AE,二面角P-EF-C是直二面角，求二面角P-CE-F的正弦值： (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围， 试卷第5页（共6页） 19.空间直角坐标系O-xz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0(其中A,B,C, DeR,A2+B+C2≠0)，且i=(A,B,C)为该平面的法向量. (1)若平面a:x+y+z=2,B:x+y+z=2,且⊥B,求实数m的值： (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P(,%,o)到平面Ax+y+Cz+D=0的距离为 d=A+B,+C3。+D,若记集合Q={,y2)+42所围成的几何体为U,求的内切球的表 √A2+B2+C2 面积： (3)记集合T=《xy,z)训+≤2，+扌≤2礻十≤中所有点构成的几何体为W.求W的体积V的值； 试卷第6页（共6页） 《辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试》 参考答案 题号 y 2 3 6 7 9 10 答案 A B B D C C B D AB ABC 题号 11 答案 ACD 1.A 【分析】根据空间点关于坐标轴对称的知识确定正确选项！ 【详解】由题意可知：点A(-3,1,-4)关于x轴的对称点的坐标为(-3，-1,4) 故选：A. 2.B 【分析】由倾斜角的正切值求出斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即可； 【详解】由题得k=tan2亚=-5， 3 又直线过点A(3,4), 所以直线1的点斜式方程为y-4=-√3(x-3), 转化得直线l的一般式方程为√3x+y-4-3V3=0. 故选：B 3.B 【分析】把A,C,D三点共线转化为CD=yAC列出方程组，求解即可. 【详解】因为AB=-38-e,+22,BC=g+E,-6e,CD=4e1+22+8e, 所以AC=AB+BC=-22,+(2-122-4e3, 因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的y,使得CD=yAC, 即4e1+2e2+8e3=y-2e+(a-12-4e), 「4=-2y λ=0 即2=v(-1),解得： y=-2 8=-4y 故选：B 4.D 【分析】根据给定条件，以{AB,AD,AP为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得 答案第1页（共16页） 【详解】令四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则BD=22,由E是PB的中点，得AE=√3， 显然AB,AD,AP不共面，BD=AD-AB,A正=(4B+AP,又∠BAD=90,∠PAD=∠PAB=60, 2 BD.AE=(AD-AB)(AB+AP)=(AD.AB+AD.AP-AB-AB.AP) =1(2x2×c0s60°-22-2×2×c0s60)=-2, BD.AE -2 因此cos(BD,AE)= 6 BDI‖AE12W2×V561 所以则异面直线A迟与BD所成角的余弦值为√ 6 故选：D 5.C 【分析】先求出斜率的范围，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】当6=匹时，cos0=0直线1的斜率不存在，此时倾斜角α= 当8e0,2时，0<cos8≤1， 直线L的斜率k=1∈[L,+∞)，此时倾斜角C∈ π兀 cos0 42 综上所述，直线1的倾斜角的范围是 42 故选：C 6.C 【分析】将AB,AD,44作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示心，然后对其平方化简后，再开方 可求得结果 【详解】由题意得A8=AD=1,442,(AB,AD〉=90，(A4,AB=AD,A460°， 因为AC=AB+BC+CC =裙猫*， 所以AG-(AB+AD+AA) =AB+AD+AA+2AB.AD+24BA4 +2AD.AA =1+1+4+2×1x1c0s90°+2×1×2c0s60°+2x1×2c0s60° =10, 所以4闷=而， 答案第2页（共16页） 故选：C 7.B 【分析】对于①，根据直线方向向量的定义分析判断：对于②，由共面向量定理判断；对于③，由平行平 面的充要条件可判断。 【详解】对于①，若两条不同直线l,m的方向向量分别是ā，五，则l/m⊙a/B, 由方向向量的定义知①正确： 对于②，若{OA,0B,0C}是空间的-个基底，且OD=1OA+10+10元， 2 3 则OD-OA=(OB-OD)+(oc-OD),即AD=DB+DC, 由空间向量共面定理知A,B,C,D四点共面，故②正确： 对于③，若两个不同平面，B的法向量分别是元，，且i=(1,2,2),=（-2,-4,4), 易得/作不成立，所以a∥B不成立，故③错误. 故错误命题的个数是1. 故选：B. 8.D 【分析】设N关于x轴的对称点为N”,先求出点O关于直线l的对称点A的坐标，再根据光学性质得到 A,P,M,N四点共线，由OP+PM+MN=√10求出W的坐标，进而求出直线AN与直线I的交点P的坐标， 即可求出k的值 【详解】设点O关于直线I的对称点为A(x,乃)， +-1=0 2 2 =1 则 即A(1,1). 1)=-1； 设N关于x轴的对称点为N0,b),由光学性质可知，A,P,M,N四点共线， 所以，AN注AP+PM+MN=OP+PM+MN=V10, 又因为A(1,1),所以10=+(-b),解得b=4或b=-2, 故N0,4)或N0,-2), ①当N6,4)时， 此时直线AN的斜率为 4-1=-3,直线AN的方程为y=-3x+4, 0-1 答案第3页（共16页） 由~3+4 x= +y-1=0' 解得 2 所以直线AN与直线l的交点P 1 y=-2 此时k=koP= 「2 1 33 <0,不符合题意，舍去： ②当Np0,-2)时， 此时直线AN的斜率为21=3，直线AW的方程为y=3x-2, 0-1 y=3x-2 3 由 x+y-1=0’ 解得！ 所以直线AN与直线l的交点P ’4 4 1 此时k=kP= 4= 3 3 4 综上，k的值为} 故选：D M 9.AB 【分析】在给定图形中作出直线AB与CD所成角、二面角α-l-B的平面角、直线CD与平面B所成角， 再一一作答即可. 【详解】过A作AE∥BD,且AE=BD,连接CE,DE,如图， O B E 则四边形ABDE是平行四边形，即DE∥AB,DE=AB, ∠CDE是直线AB与CD所成角或补角， 答案第4页（共16页） 因为AC⊥L,BD⊥l,则DE⊥AE,DE⊥AC, 而AE∩AC=A,AE,ACC平面AEC, 所以DE⊥平面AEC, 又因为CEC平面AEC,所以DE⊥CE, CDC”号∠C0m=45,A正确： cos∠CDE=DE=ABV2 因为BD⊥I,所以AE⊥1，而AC⊥1， 则∠CAE是二面角a-1-B的平面角， 又因为CE=DE=2, 所以CE=AE=AC=2,即△ACE为正三角形，∠CAE=60°，B正确： 因为DE⊥平面AEC,DECB,所以平面B⊥平面AEC, 在平面AEC内过点C作COLAE于O,于是得CO⊥B, c094c-5sm号48B0=2亚=形-00Sm25c借误 2 3 3 连接DO,因为COLB,则∠CDO是直线CD与平面B所成角， sin∠CDO= C03√ CD2√2-4 ,D错误： 故选：AB 10.ABC 【分析】根据直线方程求出定点A,B的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求 最值即可得解 【详解】因为：x-y+m-2=0可以转化为1-y)+x-2=0, 故直线恒过定点A(2,1),故A选项正确： 又因为l2:mx+y+2m-4=0,即y-4=-m(x+2)恒过定点B(-2,4), 由4：x-y+m-2=0和12：x+y-4+2=0,满足1×m+（-m)×1=0, 所以l⊥，可得PA⊥PB,故B选项正确： 所以PA+PB=AB=(2+2)2+(1-4)=25,故C选项正确： 因为PAL PB,设∠PAB=O,B为锐角， 则PA=5cos6,PB=5sin8, 所以2PA+PB=5(2cos8+sin9)=5√5sin(0+9, 答案第5页（共16页） 所以当sin(B+p)=1时，2PA+PB取最大值5√5，故选项D错误， 故选：ABC 11.ACD 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据AC/AC找到异 面直线所成角为BM与AC所成的角，即可判断；C选项，找到M的轨迹为线段AH,AT,以及在平面 AGA内以4为圆心、号=百为半轻的片回弧、计：D选质，利用中点得线线予行，甲 可找到M的轨迹，计算即可. 【详解】对于A,因为底面正方形ABCD的面积不变，M在平面AB,CD,内运动时，又M到平面ABCD的 距离为正方体棱长，故四棱锥M-ABCD的体积不变，故A正确： 对于B,由于AC1IIAC,故BM与AC所成的角即为BM与AC所成的角， G时，△4BC为等边三角形，此时所成的角量 当M在AC的中点时，所成的角最大，最大为？，故BM与AC所成角的取值范围为 3’2 故B错误； B A B 府于C,电于M在正方休表面上，若直线A与平面4BCD所成的角为60，则M=3 4 nπ√5，故以A s1h 3 为圆心，以A=2=4 nπ√3为半径作球，与棱AD,AB,相交于点H,T,则M的轨迹为线段AH,AT,以 sin 3 及在平面ABCQ内以A为圆心、A-号1=后为半径的}圆弧，如图O,故W的轨达长度为 2M+玩=2x4+x2=V3m+8w5 323.3,故C正确 答案第6页（共16页） D M B A D 图① 分别取AD、DD、BC、BB、CD的中点K、F、S、E、P, 由正方体的性质可知K、F、S、E、P,N六点共面，且为正六边形PSNF,如图②， 由中位线定理，NIIB,D,BDC平面BCD,N平面B,CD,所以KNI1平面B,CD, 同理WE/I平面BCD,且NONE=N,KN,EC平面PSENKF, 所以平面PSENKF /1平面B,CD, M在底面ABCD内运动，所以M轨迹为线段PS, 取AB中点N”,连接NN,NS,则WN⊥平面ABCD, 故MN=√WN2+NM2=√4+NM 故当NM最小时，N最小，由于SB=N'B=PC=CS,.NS=PS=2,PN'=2,故NS⊥PS,故当M为S 时，NM的长最小，此时WN=√2，故N最小为√4+(2=6，D正确. D b B 图② 故选：ACD 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及 了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹（定义），要么通过 计算（建系）求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种， 即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 答案不唯 13. 1010 【分析】 答案第7页（共16页） 先由两直线平行求出m,再利用两平行线间的距离公式可求得结果 【详解】因为直线3x-y+3=0与6x+y+4=0互相平行， 所以3二13 6m*手解得m=-2, 所以直线6.x+y+4=0为6.x-2y+4=0,即3x-y+2=0, |3-2V10 所以它们之间的距离为d= V32+(-1)2 10 14. 0,6 3 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形， 且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2,则AC=AB=√5， 以C为坐标原点，CD,CB所在直线分别为x,y轴，过点C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， A(0,1,1),B(0,2,0),C(0,0,0),则AB=(0,1,-1),AC=(0,-1,-1), 设2(q,0,0),P0与AC为异面直线，故0<q≤2， ,0<≤1，P(化y,=), 则AP=(x,y-1,z-1),(x,y-1,=-1)=(0,1,-1)=(0,元，-)， 所以x=0,y-1=元，z-1=-,解得x=0,y=1+元，z=1-, 所以P(0,1+元，1-2)，P0=(q,0,0)(0,1+元，1-)上g,-1-22-1), 因为异面直线PQ与AC成30°的角， PO.AC g,-1-元，元-1)(0，-1，-1 2 所以c0s30°= PO.AC V+(-1-2)2+(2-1x2(+2+2×2' √2 5 故行+2元+2 其中0<q≤2， g-号2c04又0<s1, =Q-,放- 答案第8页（共16页） 线段PA长的取值范围是O, 6 3 Q 15.(021 4 【分析】(1)利用向量垂直的坐标表达式解方程即可： (2)利用投影向量公式计算即可. 【详解】(1)由题意，AB=(1,k-2,-2),a=(-3,4,5), 因为AB⊥a, 所以AB.a=0,即-3+4k-8-10=0, 海6：裂 (2)由题意，AC=(-1,3,2),a=(-3,4,5), AC.aa3+12+10 所以向量AC在向量上a上的投影向量为： V9+16+25 99号 16.(1)x-2y+11=0: (2)3x+2y-5=0: (3)3x+2y=0或x+y-1=0 【分析】(1)联立直线，1，方程可得交点M坐标，然后由题设所求直线方程为：x-2y+t=0,代入M坐 标可得答案： (2)由垂直平分线定义，结合直线AB斜率及线段AB中点坐标可得答案： (3)分直线过原点与不过两种情况，对于直线不过原点时，设满足题意直线方程为：+二=1，由题及 a b P(-2,3)可得答案 2x-y+4=0.[x=1 【详解】(1) x-45=09=6则交点M为1,6) 又所求直线与x-2y-1=0平行，设所求直线方程为：x-2y+t=0, 答案第9页（共16页） 代入M(1,6),得1-12+t=0→t=11,则所求方程为：x-2y+11=0. 3-(-1)2 (2)由题，直线AB斜率为：k= 4-(-2)3 则所求直线斜率为： 又所求直线过线段B中点，即过点二 即(1,1) 求直线方程为：y三-x-)+1→2y=3x+5今3x+2y 3）当直线过原点时，显然满足条件，此时方程为：y=一3+2y=0: 当直线不过原点，设满足题意的直线方程为：X+) =1. a b -23=1 则ab→a=b=1,则方程为：x+y=1→x+y-1=0 la=b 则所求直线方程为：3x+2y=0或x+y-1=0. 17.(1) 连接AC,由正方体可知A4/CC,A4=CC1, .四边形A4CC为平行四边形，.ACAC, AC￠平面CAE,AC1C平面CAE,.AC/平面C1AE, ACc平面ABCD,平面ABCD平面C1AE=EF, ∴.AC/EF. (21:3 【分析】(1)根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； (2)建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点 到平面的距离公式求解. 【详解】(1)略 (2) 答案第10页（共16页） ZA B 9 A 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-z, 设AE的长为a,则A(2,0,0),A(2,0,2),C1(0,2,2),B(2,2,2),E(2,a,0), 48=0,20),4C=(-22,0),营=(0，.a,-2), 设平面CAE的一个法向量为i=(x,y,), m.4C=-2x+2y= 则 i.AE=ay-2z= 0,故可符=1)： 设直线AB,与平面C1AE所成角为日， 则si=os(4兵， 4B列 2 48网2 ,23,解得a=1, 2+ 4 ∴AE=(0,1,0),故AE的长度为1： 4B-列24 元=11习》：“点马到平面G42的距离小- 。13 4 18.(1)证明：因为AC LBC,AC‖EF, 所以EF⊥BC, 即EF⊥FC,EFL PF,PFOFC=F,PF,FCC平面PFC, EF⊥平面PFC,又PCC平面PFC, 所以EF⊥PC (2)30 6 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，继而得出线线垂直即可证明； (2)根据直二面角建立空间直角坐标系求出二面角余弦值，进而求出正弦值，计算正切值即可： (3)先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦，应用基本不等式得 答案第11页（共16页） 出范围即可. 【详解】(1)略： (2)因为二面角P-EF-C是直二面角， 所以平面PEF⊥平面EFC, 又平面PEF∩平面EFC=EF,PF⊥EF,PFC平面PEF, .PF⊥平面EFC, 以FE,FC,FP分别为x,y,2轴建立空间直角坐标系， 设平面CEF法向量为i=(0,0,1), BP a)cga0-3哑-g0 设平面PCE法向量为i=(x,y,), 2.4 -32=0 则 ,令==1，得y=2,x=1, 142 3-3y=0 所以=(1,2,1)为平面P℃E的一个法向量， 2.i 6 设二面角P-CE-F为6，cos= × V1+4+1×16 因为6∈[0，， 所以sin0=V1-cos0 6 6 (3)分别以CA反方向和CB方向分别为x,V轴，过C做平面ABC的垂线为z轴， ZA B E D 设P(0,m,m),F(0,t,0),D(-1,0,0),A(-2,0,0),E(t-2,t,0), 答案第12页（共16页) 显然n>0,AE=(t,t,0),PD=1,-m,-n), AE.PD=-t-t=0,得出m=-1, 则P(0,-1,m),则PE=(t-2,t+1,-n), 因为PF=2-t,PF=(0,t+1,-n),故+(t+1)}2=(2-t)2, 化简得n=3-6t, 而P在y轴上的射影、F,P构成直角三角形，则2-t>t+1,且t>0,解得0<t< 1 设平面ABC的法向量为D=(0,0,1),设直线PE与平面ABC所成角为B, PE.p 上 sinB= PE-t-2)+(+1)+ 则sin2B= 3-6t 3-6t31-2t (2-t)2+t+1)2+3-t22-8t+82t2-4t+41 令y= 3、1-2t 02令1-21=a, -X2-4t44,t∈0H ,且ae(0. 则t=1a V= 1-a+4 -=4× 1-a 9 -4 +6a+g*4x1 a+2+6, 2 2 a 根据函数y=a+二在(0,1)上单调递减，且恒大于0， a 则函数y=4× a96在01)单调道增，则y0》 a ) 即sin2B∈0， (8 则sinBE 6 6 0, 即正弦值的取值范围 4 4 19.(1)m=-2 R)ox 3 (3)16 【分析】(1)根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解： (2)分析可知几何体为正八面体法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积：法2：利用等体 积法求内切球半径，即可得表面积： (3)根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积 【详解】(1)根据题意，平面的法向量乃=(1,1,1)，平面B的法向量h=(m,1,1), 答案第13页（共16页） 所以2·n,=1×m+1×1+1×1=0,故m=-2. (2)不纺设C<0,在平面4+m+Cz+D=0内取-点e〔0，-忍，则向量QP-（6,,+忍， 取平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量i=(A,B,C), 所以点P(:,,)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d= OP.4xo By,+Czo+Dl 2+B2+C2 对于0={(x,出z训++=多， 当x,y,z>0时，x+y+:=2表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分. 由对称性可知U表示（±2,0,0），(0，±2,0)，(0,0，±2)这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为r,则r即为原点O到平面x+y+==2的距离， 10+0+0+22W3 2 则r . 所以内切球的表面积为S=4π2=4π 2V3 16π V12+12+12 3 3 3 法2：考虑Q={(x,y,z)x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}： 即为三个坐标平面与x+y+二=2围成的四面体，其四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)， 此四面体的体积为号2合2×2小子由对格性知，正八面体无的体积斯=8。号 32 设内切球的半径为r,正八面体U的表面积为S=8× 2x209 =16V5, 所以片-=号解得：=25 所以内切球的表面积为S=42=4元 3 3 3 (3)由(2)可知Q=(x,y,z)++主=所围几何体是关于平面0y,oz,x对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中OA、OB、OC两两垂直， D 0 且OA=OB=OC=2. 答案第14页（共16页） 集合T={(x,yz)+≤2，十≤2才+木≤3所表示的几何图形W也关于平面x0w,02,0x对称， 其在第一卦限内的部分T'={(x,y,z)x+y≤2，y+z≤2，z+x≤2}的图形如图1， ZA E G 图1 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果。 ZA 图2 所以T所构成的几何体W如图3所示. K 图3 法一：其中正方体ABCD-LJM记为集合P所构成的区域. 而E-ABCD构成了一个正四棱锥，且E到面ABCD的距离为1，所以Vp=2×2×2=8, 左=1k2x2所以几何体的体积V-6队m=2x2x216号16 3 3 法二：从图2可以看出，几何体W在第一卦限的部分为有公共底面EGH的两个三棱锥O-EGH和C-EG丑. 设其体积为，.由正方体的性质可知OC1面EGH.因为EG=GH=EH=2√2，OC=√1+12+1？=√5， 答案第15页（共16页） 所以其体积号号25x25xm6052. 所以几何体W的体积V=8,=8×2=16. 答案第16页（共16页）