第二十五章 一元二次方程（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十五章一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（) A.xm+x=1 B.3x-4=0 c.3x2+1=4 D.x2-2x-5=0 2.若x=3是方程x2+bx-3=0的一个根，则b的值为() A.1 B.2 C.-2 D.-1 3.用配方法解一元二次方程x+8x=7,变形后的结果正确的是() A.(x-4)}2=7 B.(x+4)}=7 c.(x-4}=23 D.(x+4)}=23 4.若关于x的一元二次方程2+bx+c=0中的a,b,c满足4a-2b+c=0,则方程必有根() A.-2 B.-1 c.1 D.2 5.关于x的一元二次方程x2-m=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 6.方程c-1(x+2)=0的解是() A.x=1 B.x=-2 C.=-,5=2 D.=16=-2 1/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.若，是一元二次方程-5x+6=0的两个根，则+6-5的值是() A.-11 B.11 C.1 D.-1 8.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车 销售量持续增长.假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍.设第一个月的销 售量为a辆，月销售量的增长率为x,则可列方程为() A a(1+x)2=2a B.a1+2y)2=2a C.a(1+2x)1+3x)=2a D.a(1+x)1+2x)=2a 9.如果关于x的一元二次方程x2-x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为() 1 A.k=2 B.k<) 3 C.&=1 4 D.k>| 4 10.关于x的多项式A=x-2,B=2x2+mx-1,m为任意实数，则下列结论中正确的有()个， ①若AB中不含x项，则m=4: ②不论x取何值，总有B之A: ③若关于x的方程B=0的两个解分别为=20-4，名=a ,则实数m的最大值为10； ④不论m取何值，关于x的方程4+B旷-(1+B)=6始终有4个不相同的实数解. A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一元二次方程x2-4x=0的解是 12.若方程(m-2)x2-3x-7=0 是关于x的一元二次方程，则m的值为 13.若一个等腰三角形的两边为方程x(x-10)-5(x-10)=0的根，则该三角形的周长为 2/5 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.若关于x的方程am2+bx+c=0的两根分别为-2,3，则方程c2+bx+a=0的解为 15,已如关于的一元二次方程-(6m-小x+?m-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 16.若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字 之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和 为F(M).若m5m2是“公能数”， 且F(m5m2=18 则四位数m5n2是：A、B均为“公能数”，A=1000a+100b+10c+d, B=1000x+800-10c+y1≤axc≤90≤bdy≤9 ,且a,b,c,d,x,y均为整数)，若 a++F(4)+F(B)=S0,且F(B) 能被8整除，则满足条件的A的值为一 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)请用合适的方法解方程. 1)2x-6x-3=0 (2)x-2'=2x-x2 18,(8分)关于x的-一元=次方程-(2k+1x+2k=0 (1)判定此方程根的情况： (2)等腰△MBC的两边AB、AC的长是方程 x2-(2k+1)x+2k=0 的两个实数根，第三边BC的长为5，求k 的值. 19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0, (1)若方程有实数根，求k的取值范围。 3/5 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果k是满足(1)问的最大的整数，且方程x2-4x+2k=0的根是一元二次方程x2-2mx+m-1=0的一 个根，求m的值及这个方程的另一个根。 20.(10分)双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有A、B两种玩具正在参加活动，己 知每个A款玩具的售价是每个B款玩具售价的2倍，顾客用160元购买A款玩具的数量比用160元购买B 款玩具的数量少1个 (1)求每个B款玩具的售价为多少元？ (2)经统计，该店每月卖出A款玩具100个，每个A款玩具的利润为50元.为了尽快减少库存，该店决定 采取适当的降价措施.调查发现，每个A款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想 每月销售A款玩具的利润达到5200元，则每个A款玩具应降价多少元？ m+3mn-1 m 21.(10分)先化简，再求值： m+3n) m2-9n2 其中m,n是方程x2-x-2=0的两个不同 根，且m<n. 22.(10分)阅读下面的例题与解答过程： 例.解方程： x2--2=0 解：当之0时，原方程可化为--2=0，解得 x=2,x2=1 (不合题意，舍去)： 0时，原方程可化为+x-20,解得=13=-2 当< (不合题意，舍去)： “原方程的解是 =2,x2=-2 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值.这是解决数学问题的一种重要思想一一分类 讨论，请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： ④r-2树=0 ②-2x-4-小-4=0 23.(10分)某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型.9月份的销售量是 500件，11月份的销售量是720件 (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； 4/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20 件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使 销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24.(10分)如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长10m、宽8m的矩形劳动实践基地ABCD扩建 为矩形AEG,使其总面积达到110m.经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为1：2（即 DG:BE=1:2). 10m D Im G G 8m 1m C 扩建区域 F (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为m的十字形小路，剩余部分为试验园地， 求试验园地的面积， 25.(10分)随着科技进步，网上购物已成为中国人日常生活的一部分，根据中国国家邮政局2025年5 月22日发布的《2024年邮政行业发展统计公报》，2024年中国日均快递量达到近4.8亿件.某快递公司 为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.已知每台A型智能机器人单价为20万 元，每天可分拣快递5万件：每台B型智能机器人单价为15万元，每天可分拣快递4万件. (1)该快递公司拟用不超过180万元资金购买10台A、B两种型号的智能机器人，其中A型智能机器人最多 可以购买多少台？ (2)随着业务量的大幅增加，公司请厂家对A、B两种型号的智能机器人进行了系统升级，升级后的每台A 型智能机器人每天可以多分拣0.4m万件快递，升级后的每台 B型智能机器人每天可以多分拣0.6m万件快递，在(1)中购买A型智能机器人最多的条件下，公司又重 新增购了m台B型智能机器人，这样该公司一天可以完成105万件的快递分拣量，求m的值. 515 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十五章 一元二次方程（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A D D D A C C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．， 12． 13．25 14．， 15． 16． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(8分) （1）解：∵， ∴ ∴，................3分 ∴，；................4分 （2）解：原方程可化为：，即， ，................7分 ，．................8分 18．(8分)（1）证明：． 方程有两个实数根；................3分 （2）解：由，且， 得 ∴，，................6分 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，．................8分 19．(10分)（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ．................3分 （2）解：由（1）得， ∵是满足（1）问的最大的整数， ∴， 依题意，当时，则整理原方程为， ∴， 则此方程的解为，................5分 方程的一个根为2， ， ， ∴， ∴ 即 或0， 方程的另一个根为0．................8分 20．(10分)（1）解：设每个款玩具的售价为元． 由题意得，................3分 解得 经检验：是原分式方程的解，且符合题意................5分 答：每个款玩具的售价为80元． （2）解：设每个款玩具应降价元． 由题意得，， 解得，，................9分 为了尽快减少库存， ， 答：每个款玩具应降价10元．................10分 21．(10分)解： ，................6分 ， ∴， 解得：，，................8分 ∵m，n是方程的两个不同根，且， ∴，， ∴．................10分 22．(10分)（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或；................3分 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或；................6分 （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）；................8分 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或．................10分 23．(10分)（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程，................3分 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为；................5分 （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元．................10分 24．(10分)（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， ................3分 因此，， 即长增加了，宽增加了；................5分 （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：．................10分 25．(10分)（1）解：设型智能机器人购买x台，根据题意得： ， 解得：， 答：型智能机器人最多可以购买6台；................5分 （2）解：根据题意得：型智能机器人有6台，型智能机器人有台， 升级后的每台型智能机器人每天可以分拣万件快递，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递， ∴， 整理得：，................8分 解得：（舍去）， 即m的值为5．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次方程；据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.原方程可化为，未知数的次数最高是1，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； B.是一元一次方程，故不符合题意； C.是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D.是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．若是方程的一个根，则b的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ 解得． 3．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是掌握配方法的核心步骤：对于形如的一元二次方程，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再合并右边的常数项． 【详解】解：原方程为， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方为，得， 左边根据完全平方公式可化为，右边计算得， 即； 故选：D． 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 6．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 解得． 7．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 9．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程 ，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式满足 ，列方程求解即可． 【详解】解：本题中一元二次方程为 ， ，，， 代入判别式得， 化简得：， 解得：． 10．关于x的多项式，，m为任意实数，则下列结论中正确的有（    ）个． ①若中不含项，则； ②不论x取何值，总有； ③若关于x的方程的两个解分别为，，则实数m的最大值为10； ④不论m取何值，关于x的方程始终有4个不相同的实数解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， 若中不含项，则， ，故①正确； ∵， 当时，不论x取何值，总有，即，故②错误； 若关于的方程，即的两个解分别为，，则， ， 当时，m有最大值，为，故③正确； 由得， 或， 由得， ∴， ∵， ∴有两个不相同的实数根， 由得， ∴， ∴， ∴有两个不同的实数根， ∴始终有4个不相同的实数解，故④正确， 正确的有①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一元二次方程的解是________． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 解得，． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元二次方程，则的最高次数为2，即， ， ∴．又因为二次项系数，即， 故． 故答案为． 13．若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为_______． 【答案】25 【分析】先求解方程得到两根，分类讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，计算得到周长． 【详解】解：对原方程， 提取公因式因式分解，得 解得， 分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此种情况不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，三角形三边长为，， ∵，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为， 综上，该三角形的周长为． 14．若关于x的方程的两根分别为，3，则方程的解为___________． 【答案】， 【分析】利用原方程两根和根与系数的关系得到系数，与的关系，代入所求方程即可求解． 【详解】解：关于的方程的两根分别为，，且， 根据根与系数的关系可得：，， 整理得，， 将，代入方程得：， ，等式两边同除以得：， 因式分解得， 解得，． 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． 16．若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为．若是“公能数”，且，则四位数是______；A、B均为“公能数”，，（，，，，，，且a，b，c，d，x，y均为整数），若，且能被8整除，则满足条件的A的值为______． 【答案】 【详解】解：∵是公能数， ，即， ∵， ， 联立， 解得 ∴四位数是． 是公能数， ， ， 是公能数， ， ， ， ， 化简得：， ，为整数，， ，或， 情形一，把代入，， ，解得（舍去）， 能被8整除， 能被4整除， ，为整数， ，，， ，， ， 当时，，数字重复，舍去； 当时，，，数字互不相同，符合条件； 当时，，不是个位数，舍去． 把代入，得， ， 解得（舍去）， 此时，此情形应舍去． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）请用合适的方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴，； （2）解：原方程可化为：，即， ， ，． 18．（8分）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 19．（10分）已知关于的一元二次方程， (1)若方程有实数根，求的取值范围. (2)如果是满足（1）问的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根. 【答案】(1) (2)，这个方程的另一个根为0 【分析】（1）由题意，构建不等式即可解决问题； （2）先求出第一个方程的根，再求出的值即可解决问题； 本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ． （2）解：由（1）得， ∵是满足（1）问的最大的整数， ∴， 依题意，当时，则整理原方程为， ∴， 则此方程的解为， 方程的一个根为2， ， ， ∴， ∴ 即 或0， 方程的另一个根为0． 20．（10分）双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个． (1)求每个款玩具的售价为多少元？ (2)经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？ 【答案】(1)每个款玩具的售价为80元 (2)每个款玩具应降价10元 【分析】（1）设每个款玩具的售价为元．由题意得，，解方程即可． （2）设每个款玩具应降价元．由题意得，，解方程，合理对方程根进行取舍． 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个款玩具的售价为元． 由题意得， 解得 经检验：是原分式方程的解，且符合题意 答：每个款玩具的售价为80元． （2）解：设每个款玩具应降价元． 由题意得，， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个款玩具应降价10元． 21．（10分）先化简，再求值：，其中m，n是方程的两个不同根，且． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先将分式化简，再求出的解，确定的值，最后代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 解得：，， ∵m，n是方程的两个不同根，且， ∴，， ∴． 22．（10分）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 23．（10分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 24．（10分）如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 25．（10分）随着科技进步，网上购物已成为中国人日常生活的一部分，根据中国国家邮政局2025年5月22日发布的《2024年邮政行业发展统计公报》，2024年中国日均快递量达到近4．8亿件．某快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．已知每台型智能机器人单价为20万元，每天可分拣快递5万件；每台型智能机器人单价为15万元，每天可分拣快递4万件． (1)该快递公司拟用不超过180万元资金购买10台、两种型号的智能机器人，其中型智能机器人最多可以购买多少台？ (2)随着业务量的大幅增加，公司请厂家对、两种型号的智能机器人进行了系统升级，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递，升级后的每台 型智能机器人每天可以多分拣万件快递，在（1）中购买型智能机器人最多的条件下，公司又重新增购了台型智能机器人，这样该公司一天可以完成105万件的快递分拣量，求的值． 【答案】(1)6台 (2)5 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意得到数量关系． （1）设型智能机器人购买x台，根据题意，列出不等式，即可求解； （2）根据题意可得型智能机器人有6台，型智能机器人有台，升级后的每台型智能机器人每天可以分拣万件快递，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递，根据可以完成105万件的快递分拣量，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型智能机器人购买x台，根据题意得： ， 解得：， 答：型智能机器人最多可以购买6台； （2）解：根据题意得：型智能机器人有6台，型智能机器人有台， 升级后的每台型智能机器人每天可以分拣万件快递，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为5． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则b的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 6．方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．关于x的多项式，，m为任意实数，则下列结论中正确的有（    ）个． ①若中不含项，则； ②不论x取何值，总有； ③若关于x的方程的两个解分别为，，则实数m的最大值为10； ④不论m取何值，关于x的方程始终有4个不相同的实数解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一元二次方程的解是________． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 13．若一个等腰三角形的两边为方程的根，则该三角形的周长为_______． 14．若关于x的方程的两根分别为，3，则方程的解为___________． 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 16．若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为．若是“公能数”，且，则四位数是______；A、B均为“公能数”，，（，，，，，，且a，b，c，d，x，y均为整数），若，且能被8整除，则满足条件的A的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）请用合适的方法解方程． (1) (2) 18．（8分）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 19．（10分）已知关于的一元二次方程， (1)若方程有实数根，求的取值范围. (2)如果是满足（1）问的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根. 20．（10分）双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个． (1)求每个款玩具的售价为多少元？ (2)经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？ 21．（10分）先化简，再求值：，其中m，n是方程的两个不同根，且． 22．（10分）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 23．（10分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24．（10分）如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 25．（10分）随着科技进步，网上购物已成为中国人日常生活的一部分，根据中国国家邮政局2025年5月22日发布的《2024年邮政行业发展统计公报》，2024年中国日均快递量达到近4．8亿件．某快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．已知每台型智能机器人单价为20万元，每天可分拣快递5万件；每台型智能机器人单价为15万元，每天可分拣快递4万件． (1)该快递公司拟用不超过180万元资金购买10台、两种型号的智能机器人，其中型智能机器人最多可以购买多少台？ (2)随着业务量的大幅增加，公司请厂家对、两种型号的智能机器人进行了系统升级，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递，升级后的每台 型智能机器人每天可以多分拣万件快递，在（1）中购买型智能机器人最多的条件下，公司又重新增购了台型智能机器人，这样该公司一天可以完成105万件的快递分拣量，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $