第二十七章 反比例函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十七章反比例函数单元自测卷，基础通关导向，涵盖选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（9题72分），适配单元复习，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义（题1）、实际应用（题2）、图像性质（题4）|结合“十四五”智慧公路（题2），基础概念辨析| |填空题|6/18|解析式求解（题11）、增减性（题13）、坐标变换（题16）|“友好点”创新概念（题16），考查符号意识| |解答题|9/72|与几何综合（题20菱形平移）、实际应用（题23水上滑梯）、动态问题（题25矩形平移）|茶吧机水温变化（题10）、水上滑梯建模（题23），培养模型意识与创新思维|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章反比例函数基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A B C ⊙ 0 D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.10 12.1 13.m<-3 14.0<y<3 15.（1,-3) 16.（2,-或，2) 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解，设该反比例函数的解析式为k≠0)， ,点 A(2,-3) 是该反比例函数图象上一点， :3s 2 ∴k=-6, ·该反比例函数的解析式为少=一6 3分 (2)解：在y=6 中，当x=-1时，y=6 6, 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 s、6 =-18 当x=时， 1 3 6点B46在个原数的图聚上，点后不在这个微3农，o窗 18 【详解】(1)解：，y与x-1成反比例， 设点生0， 将x=-2:y=7代入得7= -2-1, 解得k=-21, 六y和x之间的函数关系式为y=-2引 x-1;2分 a解将x8代x=相y科3,4分 x-1得2=、21 (3)解：将y=-2代入=-2”有 x-1,…6分 23 解得X=2· 19. 【详解】《)解：点PL2)在反比例唇数y营(>0)的图象上， :k=1×2=2, 反比例函数的表达式为》 x:3分 (新：点P2小Qu在反比女ye>0图家上，m1 .AC=m-1 CO=n mn=2 0<n<2 PB,QD垂直于y轴，PA,QC垂直于x轴， 四边形ACQE是矩形， 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S四边形4coE=AC·QC=(m-1)n=mn-n=2-n =2-n(0<n<2) ∴.S与n的函数关系式为 6分 20 【详解】(I)解：连接BD交AC于点H,如图， YA k(x>0) 四边形8CD是菱形，(34)，点C在轴上，4Cy轴。 c30.4H=cH=4c=2,m=M=3 点D在y轴上， .D(0,2)B(-6,2) 3分 (2)解：菱形ABCD 向右平移m个单位得 ABCD 点4(3+m4)D(m,2) :点4、D恰好同时落在反比例图数y-(c>0)的图像上， k 4= -3+m k ,解得m=6, 2= m k=12 12 则反比例函数少=.6分 21. 【详解】(1)解：由题意知，y=-x+b图像是由y=r的图象向上平移1个单位得到， 得y=-x+b与y=ar+1为同一函数， 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a=-1,b=1, .一次函数为y=-x+1, 将x=0代入一次函数y=-x+1,得y=1, :4(@) BC⊥y “过点”作 C BC=1 轴于点， .B的横坐标为-1， B在y=-x+1上，代入x=-1,得’=-()+1=2 ·B点坐标为 -1,2) 点8在反比例函数少= x上， 二将点B坐标代入得2=4 -1,k=-2, 则反比例函数表达式为=二（x<0)。…4分 (2)解：过点B作BC1y轴于点C,BC为△ADE的中位线，BC=1, BCUDE:BC=ADE 2 .DE⊥y DE=2 轴， 点D的横坐标为-2， 又“点D在一次函数少=-+1上，代入x=-2,得)=-(-2)+1=3 点D的坐标为2,3) DE⊥y 轴， 点F的纵坐标为3， “DB交反比例函数y= x的图象于点F· 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :3-2 2 x=-5, ·点F的坐标为了3) P=2 3 ·DF=DE-EF=2-2=4 338分 22. 【详解】(1)解：把点 42代入y=2x得，a=4, A(2,4) .反比例函数y三(x>0)图象过点4 ∴k=2×4=8 :反比例函数解析式为少=8 ;3分 8 y=- x (2)解：由y=-x+6 x=2∫x=4 解得y=4或y=2, B(4,2) 作A点关于x轴的对称点A',连接A'B,与x轴的交点即为P点， 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(2,4 ∴A(2,-4) 设直线AB的解析式为y=mr+n, [2m+n=-4 则4m+n=2, m=3 解得n=-10, A'B y=3x-10 直线的解析式为 把y=0代入得，3x-10=0, 解得9 把y=0代入y=-x+6得，-x+6=0, 解得x=6, .C(6,0) PC=6-10_8 33· 1x8x2=8 .S.PRC=23 3 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 :当PA+PB的值最小时△PBC的面积为3.8分 23 【详解】(1)解：，矩形AOEB,OA=8,AB=3, ∴.BE=OA=8,OE=AB=3,∠AOE=∠AEO=∠OAB=∠ABE=90°， ,点E在x轴上， ∴.BE⊥x轴， AB1y轴， 点B的坐标为 3,8) :设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y=:(k为常数，且k≠0)， k k 将坐标B(3,8)代入y=二 ,得38， 解得k=24, 六8C段滑梯所在的双曲线的解析式为)=24 .2分 (2)解：：C点距离水面的距离为1.2米， 设点C的坐标为 m,1.2） 24 ·点C在y= x上， 二将C(m,1.2)代入y=24 ,解得：m=20 点C的坐标为 20,1.2) :8,C之间的水平距离：。-。=20-3=17 (米)5分 (3)解“设点P的坐标为 a,b) 将0a,b)代入y=24 , 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得b-24 a 24 .∴.a= b 24-326 根据题意，得 .8 解得b≤。 3 、点0到水面的距离最多3米.8分 24. 【详解】(1)解：由题意，3(a+2)=2,(6+2)b=12 解得a=2,b=1.5:4分 (2) ①画图如下： 6 8分 品≥0 = 012345678x ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小.12分 25. 【详解】(1)解：四边形AB'CD'是矩形，AD'=16,A'B=12, .C2,16).4E'=cE ·点E'的坐标为 6,8) 由平移得：点E的坐标为98) 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A 把E(9,8)代入y x,得k=72: :该双曲线的解析式为：y=2 ,4分 (2)解：平移m个单位长度后，点E的坐标为 6+m,8) A'D'边平移后所在的直线AD为x=m,AF=10, “点F的坐标为 m,10) 点、在 图象上， B :.10m=8(6+m)=k 解得：m=24, 点F的坐标为 24,10) 8分 (3)解：如图3，四边形ABCD是矩形， AE=1AC=BD=x22+16=10 2 2 当△AEK是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当AK=AE=10时， A(t,0)E(t+6,8) 由平移可得： 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 K(6,10) k ~点KE在y=x图象上， :10t=8(t+6) 解得t=24」 ②当KE=AE=10时，此时点K与点D重合， K(t,16)E(t+6,8) 点KB在y=图象上， 16t=8(t+6) 解得t=6 ®当KE=水时，设K川 由平移可 E(+6,8)A6,0) KE AK, .∴(t+6-t)2+(8-m)2=n2 解得n=25 4 到 点KE在图像上， 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A B 25 =8(t+6) 4 解得1=、192 7· t>0, 这与题意不符，舍去 综上所述，当△AEK是等腰三角形时，t的值为6或24,12分 11/11 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数形如（为常数，）． 【详解】解： A、为正比例函数，不符合题意； B、符合该形式，且，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． 2．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 【详解】解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 3．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 4．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 6．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先移项，变形不等式得，化成一次函数大于反比例函数的形式；找两个交点横坐标；看图像：找到直线在双曲线上方对应的的范围即可． 【详解】解：不等式： 把移到左边： 此题变为求一次函数的图像在反比例函数图像上方对应的取值． 两个函数交点：，，反比例函数． 观察图像： ：直线在双曲线上方； ：直线在双曲线上方． 解集为：或 8．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 9．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 10．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】10 【分析】将点代入反比例函数，即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入函数解析式得， 解得． 12．已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义，列出关于的指数方程与系数不等式，求解后舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 13．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 14．已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，先确定函数图象所在象限，再结合自变量的范围求解的取值范围． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，代入得， 又，对应的点在第二象限，， 的取值范围是． 15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用已知点的坐标求出正比例函数解析式，再联立两个函数解析式求解，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把点代入，得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立两函数解析式，得， 解得或， ∴点的坐标为． 16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的图象和性质，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握“友好点”的定义，设点，其“友好点”，根据函数的图象和性质，进行解答，即可． 【详解】解：设点，其“友好点”， ∵点的“友好点”在反比例函数的图像上 ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点或点． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 【答案】(1) (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点B和点C的横坐标代入对应的解析式中，求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 18．已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与成反比例设出函数形式，再代入已知条件求出得到函数关系式； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例， ∴设， 将，代入得， 解得， ∴和之间的函数关系式为； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 解得． 19．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． (1)请直接写出、、三点的坐标； (2)将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）连接交于点，根据菱形的性质得到，，，即可求得点和点； （2）根据平移得到点和，代入反比例函数得到方程组求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点，如图， ∵四边形是菱形，，点在轴上，轴， ∴，，， ∵点在轴上， ∴，； （2）解：∵菱形向右平移个单位得， ∴点、， ∵点、恰好同时落在反比例函数的图像上， ∴，解得， 则反比例函数． 21．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 22．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点横坐标代入分段一次函数对应解析式求出点纵坐标，再把点坐标代入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数与对应的一次函数解析式求出交点坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为使最小的点；利用待定系数法求直线解析式，求出点坐标；再求射线与轴交点的坐标，算出线段长度，结合点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 23．如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【答案】(1)； (2)米； (3)米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 24．阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 【答案】(1)2，1.5 (2) ①画图如下： ②不断减小 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解； （2）①用描点法，画出图象；②根据表格里函数的图象性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）解：①略 ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小． 25．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 3．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 8．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点在反比例函数的图象上，则_____． 12．已知函数是反比例函数，则________． 13．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 14．已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 18．已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 19．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． (1)请直接写出、、三点的坐标； (2)将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 21．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 22．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 23．如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 24．阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 25．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 3．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 8．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点在反比例函数的图象上，则_____． 12．已知函数是反比例函数，则________． 13．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 14．已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 18．已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 19．如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．已知轴，，点、分别在轴和轴上． (1)请直接写出、、三点的坐标； (2)将菱形向右平移个单位得，如果点、恰好同时落在反比例函数的图像上，求的值和这个反比例函数的表达式． 21．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 22．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 23．如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 24．阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻R，之间的关系为 通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： 1 a 4 6 4 3 2 b (1) ， ； (2)根据以上实验，构建函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在图2中画出函数 的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ． 25．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $