第二十六章 二次函数（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十六章 二次函数（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D B C C B C B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．直线 12． 13． 14． 15．7 16．，或 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(8分)（1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为；................4分 （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上．................8分 18．(8分)解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：，................3分 代入得：， 解得：，................7分 抛物线的解析式：．................8分 19．(10分)（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ................2分 ∵点，在一次函数y=kx+b的图象上 ∴， 解得：， ∴；................6分 （2）解：由（1）可知一次函数关系式 当时， 则一次函数与y轴交点坐标为 ∵，点横坐标为，点的横坐标为................8分 ∴ ∴ ∴的面积为．................10分 20．(10分)（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得，................4分 水流所在抛物线的函数表达式为：；................5分 （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；................7分 ②令，则， ， 不会被水流直接喷到．................10分 21．(10分)（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为；................5分 （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于．................10分 22．(10分) （1）解：∵， ∴ ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴（）；................4分 （2）如图所示， 答案不唯一，写出任意一条即可． 函数图像是过原点的抛物线；抛物线开口向下；函数有最大值；抛物线的对称轴是；当时，函数值都大于0；................7分 （3）观察图像可知当时，． 故答案为：．................10分 23．(10分)（1）当时， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时，w有最小值，． ∴， ∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小．................5分 （2）由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元， 乙种蔬菜的种植成本是（元）， 甲种蔬菜的种植成本是（元）， ， 设，则， 解得：，（舍去）， ∴． ∴． 答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元．................10分 24．(10分)（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴；................3分 （2）解：令，则，且， 因式分解得， 解得，， ， ， ，即， 或．................7分 （3）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴；................10分 25．(10分)（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 即， 将点代入 ， 得到， 解得， 故抛物线的函数表达式为．................3分 （2）解：对于抛物线， 当时，解得或， 即点， 当时，， 得点， 令直线的函数表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 令点的坐标为， 则点坐标为， ∴， 过点作轴交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴当取最大值时，， 此时点， 过点作，过点作交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， 令直线的函数表达式为， 代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即、、三点共线时，最小， 过点作交于点， 故的最小值为的最小值，即的值， 令点的坐标为， 由点，， ∵， ∴， 即， 化简得， 解得（舍去）或， 点的坐标为， ∴， 即的最小值为；................7分 （3）解：由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， ∵，， ∴，， 且新抛物线表达式为， 过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，如下图所示： ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令点坐标为，则， ∴，， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 此时点坐标为； 作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，如下图所示： 令， 可得，中点在直线上， 故，解得（舍去），， 即， 令直线的表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立和， 得， 化简得， 解得（舍去）或， 得， ∴点坐标为； 综上，点的坐标为或．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是关于x 的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 4．抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 5．二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．抛物线的对称轴是___________ ． 12．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 13．二次函数与轴的交点坐标为_______． 14．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 15．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．过点C作轴交抛物线于点D，点M是坐标平面内一点（不与点D重合)，若与全等，则点M的坐标为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 18．（8分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 19．（10分）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)求的面积． 20．（10分）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 21．（10分）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 22．（10分）如图，在中，，点P是边上一动点，点P从点A出发，沿着方向匀速运动，当点P与点C重合时停止运动．过点P作交于点E，过点E作，垂足为点F，连接．设，的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；（） (3)图中已经画好了直线的图象，请结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：____________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 23．（10分）为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； (3)若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列是关于x 的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的一般式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 3．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 4．抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，一次函数经过一、二、四象限，得；故错误； B．开口向下，可得到，一次函数经过一、二、三象限，得；故错误； C．根据二次函数图像可知，开口向上，可得到，交y轴于负半轴，得到，一次函数经过一、二、三象限，得，，故错误； D．根据二次函数图像可知，开口向下，可得到，交y轴于负半轴，得到，此时经过二、三、四象限，故正确． 5．二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 6．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 7．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，结合图象找出二次函数图象在一次函数图象下方对应的取值范围即可． 【详解】解：不等式移项，得， ∵二次函数与一次函数的交点为及轴上的点， ∴交点横坐标分别为和， 由图象可知，当时，抛物线在直线下方或重合， ∴不等式的解集为． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当轴时，线段最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求a的值． 【详解】解：根据题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 9．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．抛物线的对称轴是___________ ． 【答案】直线 【分析】根据二次函数顶点式的性质确定抛物线的对称轴即可. 【详解】解：∵对于二次函数的顶点式，其对称轴为直线， ∴抛物线对称轴是直线. 12．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 13．二次函数与轴的交点坐标为_______． 【答案】 【分析】轴上点的横坐标为，将代入二次函数解析式，计算即可得到交点的纵坐标，从而得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标为， ∴将代入 得， 因此二次函数与轴的交点坐标为． 14．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 【答案】 【分析】先将因式分解得到；由对称轴，顶点在x轴的下方可知，时函数值小于0；时函数值大于0，代入判断乘积正负． 【详解】解：． 当时，，由图，顶点横坐标为1，顶点在x轴下方， ． 当时，，从图象可知，对应点在x轴上方， ． ， 即， ． 15．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．过点C作轴交抛物线于点D，点M是坐标平面内一点（不与点D重合)，若与全等，则点M的坐标为_______． 【答案】，或 【详解】解：在中， 令， 得， 解得或3， ∴， ∴， 令，得， ∴， ∴. ∵抛物线的对称轴为直线，轴交抛物线于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴.在线段上截取， ∵， ∴， 如图，此时， ∴； 作线段的垂直平分线l，则直线l的解析式为， 作点关于直线l的对称点， 则， 此时； 作点D关于直线l的对称点， 则， ∵， ∴； 综上，点M的坐标为，或． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】(1)新抛物线解析式为； (2)点在这个新抛物线上． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 18．（8分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 19．（10分）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数y=kx+b的图象上 ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可知一次函数关系式 当时， 则一次函数与y轴交点坐标为 ∵，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为． 20．（10分）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 21．（10分）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 22．（10分）如图，在中，，点P是边上一动点，点P从点A出发，沿着方向匀速运动，当点P与点C重合时停止运动．过点P作交于点E，过点E作，垂足为点F，连接．设，的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；（） (3)图中已经画好了直线的图象，请结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：____________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)如图所示， 答案不唯一，写出任意一条即可． 函数图像是过原点的抛物线；抛物线开口向下；函数有最大值；抛物线的对称轴是；当时，函数值都大于0； (3) 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴（）； （2）略 （3）观察图像可知当时，． 故答案为：． 23．（10分）为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 【答案】(1)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小 (2)当a为20时，2026年的总种植成本为28920元 【详解】（1）当时， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时，w有最小值，． ∴， ∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小． （2）由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元， 乙种蔬菜的种植成本是（元）， 甲种蔬菜的种植成本是（元）， ， 设，则， 解得：，（舍去）， ∴． ∴． 答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元． 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； (3)若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求抛物线与轴的交点坐标，根据的长度列不等式求解的范围． （3）先求得对称轴为直线，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：令，则，且， 因式分解得， 解得，， ， ， ，即， 或． （3）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为，的最小值为 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 即， 将点代入 ， 得到， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：对于抛物线， 当时，解得或， 即点， 当时，， 得点， 令直线的函数表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 令点的坐标为， 则点坐标为， ∴， 过点作轴交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴当取最大值时，， 此时点， 过点作，过点作交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， 令直线的函数表达式为， 代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即、、三点共线时，最小， 过点作交于点， 故的最小值为的最小值，即的值， 令点的坐标为， 由点，， ∵， ∴， 即， 化简得， 解得（舍去）或， 点的坐标为， ∴， 即的最小值为； （3）解：由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， ∵，， ∴，， 且新抛物线表达式为， 过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，如下图所示： ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令点坐标为，则， ∴，， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 此时点坐标为； 作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，如下图所示： 令， 可得，中点在直线上， 故，解得（舍去），， 即， 令直线的表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立和， 得， 化简得， 解得（舍去）或， 得， ∴点坐标为； 综上，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十六章二次函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.下列是关于x的二次函数的是() A.y=x3+1 B.y=2x D.y- 2.若将抛物线'=（任4-3 象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为 () A.y=x-2}2-6 B.y=(x-2 C.y=(x-62-6 D.y=(x-62 3.已知4(4，），B(,),C-3,)在函数=-(x-2y+2的图象上，则片，片，马的大小关系是< ) A.片<h<2 B.片<乃<h C.为<h<h D.片<乃<5 y=ax2+b 4.抛物线 与直线'=x+b(ab≠0) 在同一平面直角坐标系中的大致图象为() 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 5.二次函数”=-4x+m在1≤x≤3范围内的最小值为1，则m的值为《) A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知二次函数y=-(x-2+8, 当-2≤x≤5时，y的取值范围是() A.-8≤y≤-1 B.-1≤y≤8 C.-8≤y≤8 D.-8≤y≤1 7.如图，二次函数y=r+r+C与一次函数y=m+m的图象交于A,B两点，已知点 (-3-0,点B 在y轴上，则不等式ax2+bx+c-mx-n≤0的解集是() y=ax2+bx+c y=mx+n/A A.x≤-3或x≥0 B.x≤-1或x≥0 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 8。如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=-4r+3a(a<0)与x箱交于4B两点，与y箱交于点D, 2,-4) 点C的坐标为 则当线段CD最短时a的值是() 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 A. 4 B 3 4 C.4 D.3 9.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则 铅球落地点到出手点的时间为() Ah/米 3 t/秒 A4-26 B.8 C.4+2V6 D.9 10,如图，抛物线’=+c+a0)与'箱交于点4(-3,0)和点B.0),与'轴交于点C.下列说法： ①abc<0:②抛物线的对称轴为直线x=-1;③当-3<x<0时，ar2+bx+c>0;④当x>1时，y随x的 增大而增大；⑤am+bm≤a-b(m为任意实数)，其中正确的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1.抛物线’=(x+3+1的对称轴是 12.若y=(m-2)x2+3x-1 是关于x的二次函数，则m的值为 13.二次函数’=(：-广与'轴的交点坐标为 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax+bx+ 14.如图，抛物线1 的对称轴为直线x=1,则a+c (填之、<或)。 x=1 15.某水果店单件水果售价”（元）与箱售月份产满足一次面数关系-2x+21。单件水果进价为 （元）与销售月份清足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线项点为6 并且经过(812) 则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 元 (3,12) (6,3) 16如图，能物发-2x与交于1雪丙点点4在友8约左0，与销交于点C,准C 过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M是坐标平面内一点（不与点D重合），若△BCM与△BCD全等， 则点M的坐标为 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)将二次函数'=2的图象向下平移3个单位长度可以得到一个新的抛物线。 (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式： (2)判断点4(4,5)是否在这个新抛物线上. 18.(8分)如图，抛物线分别经过点4(-2,0)，B(3,0),C0,6) 求抛物线的函数解析式. y 6 20 19.(10分)如图，一次函数y=c+b 的图象与=次函数”=“的图象交于点4m）和B(-2,4),与》 轴交于点C. y=ax2 -2-10 ) y=kx+b (1)求k,b,a的值： (2)求△AOB的面积. 20.(10分)如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴P,将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物 线'=ar+r+1a≠0) 当水流距离地面2m时，距喷灌嘴的水平距离为2m,水流落地点距喷灌嘴的水 平距离OA=6m, 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 P A (1)求水流所在抛物线的函数表达式： (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑。 ①若雕塑的高度为1m,求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到： ②若在距喷灌嘴水平距离为0.5m处有一高度为1.2m的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 21.(10分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以 Icm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动， 点P也随之停止移动. (I)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么△PB的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数 解析式及t的取值范围； (2)几秒时△PBQ的面积等于15cm? 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=12,∠B=30,∠C=90°，点P是AC边上一动点，点P从点A出 发，沿着AC方向匀速运动，当点P与点C重合时停止运动.过点P作PE⊥AC交AB于点E,过点E作 BF1BC,垂足为点R,连接PF.设MPx,△PEF的面积为”，请回答下列向题： 6/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 7 6 5 0123456x y (I)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： ②)在平面直角坐标系中画出函数”的图象，并写出该函数的一条性质；(V5≈1.，7乃 (3)图中己经画好了直线的图象，请结合函数图象，直接写出当片>片， 时，x的取值范围： (结果保留1位小数，误差不超过0.2) 23.(10分)为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区1000m的土地作为社会实践基地，该 基地准备种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元m)与其种植面积x(单位： 1 m)的函数关系y=20x+10,其中200≤x≤600：乙种蔬菜的种植成本为50元m2. (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为"元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使"最小？ (2)学校计划今后每年在这1000m土地上，均按(1)中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下 降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当α为何值时，2026 年的总种植成本为28920元？ 24(10分)在平面直角坐标系0中，抛物线”=-20(a+0)经过点4-m和点B(3, (1)当a=1时，比较m,n的大小，并说明理由： Q若抛物线”=-2d(a40)与产轴交于C,D两点，ACD长度大于4，直接写出“的取值范国， (3)若a>0,当-1≤x≤3时，y随x的增大而减小，且y的最大值与最小值的差为h,求h的最小值. 718 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一2+x+c与，轴交于点1和点BL,0),与 交于点C,对称轴为直线x=-1. M 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作直线PD‖y轴，交直线AC于点D,E为y 轴上一动点，且满足DC=DE,点F为x轴上一动点，连接Pp,当PD+CE取最大值时，求点p的坐 PF+- 标及 BF 5 的最小值： 8)如图2，将原抛物线沿射线1C方向平移5 个单位得到新抛物线”，新抛物线片与直线4C分别交于M、 点，点G在新抛物线片上，连接GM. 若∠GMN+∠CA0=45 ，请直接写出所有符合条件的点C的坐 标，并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程. 8/8