第29章 圆拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训：数学（人教版）九年级上 第二十九章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD.若∠CDB=30°，⊙O的半径为2，则CD的长为 A.4 B.√3 C.23 D.4√3 D A B D 0 A (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=7,点D在边BC上，且BD=3,连接AD,以点D 为圆心，r为半径画圆.若点A,B,C中只有2个点在圆内，则r的值可能为 () A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，将扇形纸片OAB沿着半径剪成两个扇形，∠AOB=164°，其中较小的扇形的圆心角为α°，围 成一个无底盖的圆锥甲（接缝处忽略不计），记它的底面积为S甲；较大的扇形的圆心角为°，围成一 个无底盖的圆锥乙（接缝处忽略不计），记它的底面积为Sz·若S2=9S甲，则α的值为() A.41 B.45 C.36 D.40 4.如图，点A,B,C在⊙O上，D为⊙O外一点，∠AOB=50°，BC=2OA,则∠D的度数可能是 () A.80 B.75° C.70 D.67 5.如图，∠AOB是锐角，在射线OA上取一点C,以点O为圆心，OC为半径作PQ,交射线OB于 点D,连接CD,分别以点C,D为圆心，CD为半径作弧，交PQ于点M,N,连接OM,MN.根据 以上作图过程及所作图形，下列结论中，错误的是 A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20° C.MN//CD D.MN=3CD 0 0 (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线分别相交于点E,F.若∠E=55°， ∠F=37°，则∠A的度数为 () A.34 B.44 C.88 D.92 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC=∠ABC,AC=2√3，则AC的长为 A π B.2π c D. 98 第二十九章圆 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE,过点O作OF⊥AC于 点F,延长FO交BE于点G.若DE=4,EG=2,则AB的长为 () A47 B.2J19 C.8 D.2√/17 D B (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，E是AB的中点，以点B为圆心，BE为半径作弧，交 BC于点F,连接DE,DF,EF,则图中涂色部分的面积为 () A35+ B58+ C.33-3元 D. 10.如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上，∠DOC=90°，AC=2,BD=2√2，则⊙O的半径为 () A.3 B.√5 C.√2+1 D./10 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点C,四边形CDEF是正方形，连接BD.若CO=3, OF=1,则BD的长为 D 0 (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) (第15题) (第16题) 12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD,点P在AB上，连接PA,PB.若∠APB= 130°，则∠BCD的度数是 13.如图所示为一张平行四边形纸片ABCD,BC=36cm,∠A=110°，∠BDC=50°，M为BC的中 点.若以点M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N,将扇形MCN剪下来围成一个无 底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm. 14.如图，将△ABC绕，点C按顺时针方向旋转60°得到△A'B'C.若AC=10,BC=6,则线段AB扫 过的图形（涂色部分）面积为 15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°，AD⊥BC,垂足为D,BD=2,DC=6,则AD= 16.一题多解如图，A(12,0),B(8,6)为平面直角坐标系内两点，⊙B经过原点O,BC⊥x轴于点C, D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长的最大值为 99 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 三、解答题（共52分） 17.(12分)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E,CF⊥BD于点F,交AB于点H,连接CA. (1)求证：CA=CH. (2)若CE=21,OH=1,求⊙O的半径. D (第17题) 18.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为 D,分别交CB的延长线，AC于点E,F,AF,BC的延长线交于点G. (1)求证：AC=CG. (2)若EB=CG,求∠BAC的度数. (第18题) 19.(14分)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶，点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC, AE的延长线交⊙O于点D,连接BD,CD. (1)求证：DB=DE (2)若AB=25,BE=2W2,求BC的长 (第19题) 20.(14分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E,连接AC. (1)求证：∠CAD=∠BCE, (2)连接OC,若OC∥AB,∠EAD=60°，AD=4,求图中涂色部分的面积. (第20题) 100 >“答案与解析”见P6190°.在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=√AE-AO= √/(W5r)2-r2=√2r,∴AF=AG=√2r.∴.OA2+OF2= r2+r2=2r2=(W2r)2=AF2,0A2+0G2=x2+r2=2r2= (W2r)2=AG.∴.△AOF是直角三角形，△AOG是直角 三角形，∠AOF=90°，∠AOG=90°..∴.∠DOF=180°一 ∠AOF=180°-90°=90°，∠D0G=180°-∠AOG= 180°-90°=90°..∠AOF=∠DOF=∠D0G=∠AOG= 90.AF=DF=G=AG.A,G,D,F为⊙0的四 等分点 D C (第1题) 2.70°在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=50° ∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=70°.·∠BAC= ∠BDC,∴.A,B,C,D四点共圆.∴.∠ADB=∠ACB= 70°. 3.32°∠BAC=∠BDC,∴A,B,C,D四点共圆. .∠ABD=∠ACD.∠ABC=90°，∴.AC为直径. ∴.∠ADC=90°.∴.∠ACD=90°-∠CAD=90°-16°= 74°.∴.∠ABD=74°.：AD=BD,∴.∠BAD=∠ABD= 74°..∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-74°- 74°=32° 4.(1)直径AB平分非直径弦CD,∴.CD⊥AB,即 ∠CGO=90°.∴.∠OCD+∠COG=90°.：EF⊥AB, EH⊥OC,∴.∠EFO=∠EHO=90°.∴.∠AOC+∠FEH= 360°-∠EFO-∠EHO=180°..：∠AO℃+∠COG= 180°，.∠COG=∠FEH.∴.∠OCD+∠FEH=90 (2)连接OE.∠EFO=∠EHO=90°，即∠EFO+ ∠EHO=180°，∴.O,F,E,H四，点是在以OE为直径的圆 上.：∠CGO=90°，∴.O,C,G三点是在以OC为直径的 圆上.OE=OC,∴.以OE为直径的圆和以OC为直径 的圆是等圆.：∠COG=∠FEH,即CG=FH,∴.FH= G=2D-3 第二十九章拔尖自主测评 1.C连接OC,设AB⊥CD于点E,则∠OEC=90°. AB是⊙O的直径，∴.CE=DE.∠A=∠CDB= 30°，⊙0的半径为2，.∠C0B=2∠A=60°，O℃=2. ∠0E=90-∠0B=30.0E=0c=1.CE= √OC2-OE=√22-1=√5.∴.CD=2CE=25. 2.C在Rt△ABD中，∠B=90°，AB=4,BD=3,∴.AD= √AB2+BD=√4+3=5.BC=7,BD=3,∴.CD= BC一BD=7一3=4.以点D为圆心，r为半径画圆，点 A,B,C中只有2个点在圆内，∴.r的取值范围是4<r≤ 5.∴.r的值可能为5. 3.A设OA=r.由题意，得S甲=π·（ 180×2x) nar2 3602,S2=π· （180X2元/ 360.:S2=9S年，a+ B=164,.x(164-a)2r =9xTar 3602 3602.·(164-a)2=9a2, 解得a=41(负值舍去). 4.D如图，设DC交⊙O于点E,连接OC,AE.OB= OC=OA,BC=2OA,.OB2+OC”=BC2.∴.△OBC是 等腰直角三角形.∴.∠BOC=90°：∠AOC=∠AOB+ 1 ∠B0C=50°+90°=140，.∠AEC=2∠A0C=70°： :∠AEC是△AED的一个外角，∴.∠AEC=∠D+ ∠DAE..∠D∠AEC,即∠D70°.∴.所给四个选项 的角度中，只有67°满足要求. A B (第4题) 5.D如图，连接CM,DN,ON,MD,由作法得CM CD=DN,∴.CM=-CD=DN..∠COM=∠COD.故选 项A结论正确.：'OM=ON,∴.当OM=MN时，△OMN 为等边三角形.∴.∠MON=60°.CM=CD=DN, &∠A0B=∠M0A=∠N0B=3∠MON=3×60 20°.故选项B结论正确.：MC=DN,∴.∠MDC= ∠DMN.∴.MN/CD.故选项C结论正确.：CM+CD+ DN>MN,∴.3CD>MN.故选项D结论错误. P (第5题) 6.B四边形ABCD是圆内接四边形，.∠A十 ∠BCD=180°..∠CDF是△ADE的外角，∴.∠CDF= ∠A十∠E.∠BCD是△CDF的外角，∴.∠BCD= ∠F+∠CDF.∴.∠BCD=∠F+∠A+∠E..∠A+ ∠F+∠A+∠E=180°，即2∠A+∠F+∠E=180° :∠E=55,∠F=37,·∠A=2(180-∠E- ∠F)=44. 7C:∠D-∠A0C,∠A0C=∠ABC.∠D= 2∠ABC.:四边形ABCD是⊙0的内接四边形， ·∠ABC+∠D=180.号∠ABC+∠ABC=180,解 得∠ABC=120°.∴.∠AOC=120°.过点O作OE⊥AC于 点EAE=CE=2AC=B.:OA=0C,∠A0C- 120°，.∠OAE=30°..易得OA=2.AC的长是 120π×2_4π 180 31 8.B过点B作BM LAC于点M,连接CD.在△AEB和 ∠A=∠D, △DEC中， RAE=DE ..△AEB≌△DEC. ∠AEB=∠DEC, .EB=EC.又BC=CE,∴.BE=CE=BC.∴.△BEC 是等边三角形.∴.∠GEF=60°.OF⊥AC,∴.∠EGF= 30EF=号BG=1.又：AE=ED=4,OFLAC. .CF=AF=AE +EF =5...AC=2AF=10,EC= EF十CF=6.∴.BC=EC=6.:△BEC是等边三角形， ·∠ACB=60·∠MBC=30.aM=2BC=3 .BM=√BC2-CM=3√3.∴.AM=AC-CM=7. ∴.AB=√AM+BM=2√I9. 9.D连接BD交EF于点M.:四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,AB=BC=CD=AD.∴.∠A+∠ABC= 180°.：∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形，∠ABC= 180°-60°=120°.E是AB的中点，.DE⊥AB,即 ∠BED=90°.BE=BF,∠ABC=120°，∴.∠BEF= ∠BFE=180°，120°=30.∠DEF=90°-30°=60.由 2 对称性可得∠DFE=60°，∴.△DEF是等边三角形.∴.易 得BD垂直平分EF.在Rt△BEM中，∠BEM=30°，BE= AB-2,.BM-BE-1.EM-BE-BVF- √3.∴.EF=2EM=25,DM=BD-BM=4-1=3. ∴.S色=S△Dr十S△BEP一S写表m=S△DFr十S△r一 (Sm-Sam)=2×25×3+号×23X1- 1 (22×25x)=35+5-(分-) 360 5-元 10.D如图，作半径OE⊥AB,连接DE,过点B作BF⊥ ED,交ED的延长线于点F,连接BE.OB=OE,且 OB⊥OE,∴.△BOE为等腰直角三角形.，∠DOC=90°， ∠AOE=90°，∴.∠DOE=∠AO.∴.DE=AC=2.易 知∠0DE=2(180-∠D0E),∠0DB=号(180- ∠BOD),∠BDE=∠ODE+∠ODB=2(360°- ∠D0E-∠0D)=180°-3×90=135：∠BDF= 45.∴.易得BF=DF.在Rt△BDF中，：BD=2W2, ∴.易得DF=BF=2..EF=DE十DF=4.在Rt△BEF 中，BE=√BF2+EF=25.,△BOE为等腰直角三角 形，∴.易得OB=√10.∴.⊙O的半径为√10. D (第10题) 11.45连接D0.C0=3,OF=1,∴.CF=4.:四边 形CDEF是正方形，∴.∠DCO=90°，CD=CF=4.∴.OD= √CD2+C0=√42+3=5.∴.OB=OD=5..CB= C0+OB=8.∴.BD=√CD+CB=√+8=45. 12.100°如图，连接OA,OB,OD,BD.:四边形APBD 是⊙O的内接四边形，∴.∠APB+∠ADB=180°. :∠APB=130°，.∠ADB=50°..∠AOB=2∠ADB 100°.：AB=AD,∴.∠AOD=∠AOB=100°.∴.∠BOD= 360°-∠AOD-∠AOB=160.·.∠BAD=2∠BOD= 1 80°.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠BAD十 ∠BCD=180°..∴.∠BCD=180°-∠BAD=100°. D D C (第12题)》 13.2:四边形ABCD是平行四边形，∠A=110°， ∴.∠BCD=∠A=110°.：∠BDC=50°，∴.∠CBD= 180°-∠BCD-∠BDC=180°-110°-50°=20°.由圆的性 质可知，MB=MN=MC=2BC-18cm,∠BNM= ∠CBD=20°..∠NMC=∠BNM+∠CBD=20°+20°= 40°.·.扇形MCV的弧长为40mX18 180 4x(cm..圆锥的 底面圆半径为4π：2π=2(cm). 14.:将△MC绕点C按顺时针方向旋转60得到 △A'B'C,.△A'B'C≌△ABC,∠ACA'=∠BCB'=60°. .S△A'℃=S△AC..S涂色=S前CAA一S无cBB= 0X心_0_警-6m-:线段AB扫过的 360 360 3 图无面积为 15.2W7+4如图，连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC 于点E,OF⊥AD于点F,则BE=CE=号BC四边形 OEDF是矩形，∴.DF=OE,OF=DE.∠BAC=45, ∴.∠BOC=2∠BAC=90°.∴.△OBC是等腰直角三角形 易得0E=E,OA=0B-号C.5E=DF .BD=2,DC=6,..BC=8..BE=CE=DF=4, OA=OB=42.∴.OF=DE=BE-BD=2.∴.由勾股定 理，得AF=√OA2-OF=√(42)2-22=2√7..AD= AF+DF=2√7+4. B DE C (第15题) 16.5+√13解法一：如图①，取OC的中点M,连接 DM,BD,BM,OB.点B的坐标是(8,6)，.MC= 0C=号×8=4：点A的坐标是(12,0).AC 1 OA-OC=12-8=4.∴.C是AM的中点.：E是AD的 中点.CE是△ADM的中位线.CE=2DM.·DM≤ BD+BM,CE≤2(BD+BM).:C⊥OA, ∴.∠BCM=90°..MB=√MC+BC=√4+6= 2√13，OB=√BC2+0C=√82+62=10.∴.BD= 0B=10.CE≤2×(10+2B)=5+.线段 CE长的最大值为5十√13.解法二：如图②，连接AB, BD,取AB的中点J,连接EJ,CJ.同解法一可求得⊙B 的半径为10，即BD=10.BC=6,AC=4,.AB= BCFAC=2 13..CJ=AB=/13.AJ= JB.AE-ED.EJ-BD-5 CE<CJ+J-5+ √13.∴.线段CE长的最大值为5+√13. ⑨ (第16题) 17.(1):'AB⊥CD,CF⊥BD,∴.∠AEC=∠CFD= 90°∴.∠CHE+∠DCH=90°，∠D+∠DCF=90°. ∴.∠CHE=∠D.∠D=∠A,.∠A=∠CHE. ∴.CA=CH.(2)连接OC.设OE=x,则EH=1十x AB⊥CD,CA=CH,∴.AE=EH=1+x.∴.OC= OA=AE+OE=2x+1.在Rt△COE中，.CE2+OE2= 0C(√2)2+x2=(2x+1)2,解得，=2，=-19 3 (不合题意，舍去).∴.0C=2x+1=5,即⊙0的半径为5. 18.(1)如图，连接CF.:OD⊥AC,.AF=CF ∴.∠FAC=∠ACF.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. 四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴.∠ABC+ ∠AFC=180°.，∠AFC+∠GFC=180°，∴.∠GFC= ∠ABC.∴.∠GF℃=∠ACB.:∠G=180°-∠GFC ∠GCF,∠ACF=180°-∠ACB-∠GCF,.∠ACF= ∠G...∠CAF=∠G.'.AC=CG.(2)如图，连接 2W2,BE2=BD2+ED2=2BD2,∴.BD=2.:AB=25, AE,过点A作AH⊥BC于点H.AB=AC,∴.BH= ∴.OB=OD=√5.设OF=t,则DF=√5-t.在Rt△BOF CH,AB=AC..易得AH过点O.BE=CG,.EH= 和Rt△BDF中，OB2-OF2=BD2-DF2=BF2,即 GH..AE=AG.由(1)，知AC=CG,∴.AB=BE= AC=CG..∴.∠AEB=∠BAE=∠G=∠CAG..·EF⊥AC 5y-=2-65-,架得1=85.0F- 5 AD=CD,.AE=EC..∠AED=∠CED.设∠AED= ∴.BF= ∠CED=a,则∠ACB=∠ABC=∠AEB+∠BAE=4a. /--5-2r- 5 ∠CDE=90°，.a+4a=90°..a=18°..∠ABC= 20.(1):四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠ACB=72°.∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=36°. ∴.∠ADC+∠ABC=180°.又.∠CBE+∠ABC=180°， ∴.∠CBE=∠ADC.:AD是直径，∴.∠ACD=90° ∴.∠CAD+∠ADC=90°..∠CBE+∠CAD=90° CE⊥AB,.∠E=90°..∠CBE+∠BCE=90° B ∴.∠CAD=∠BCE.(2)过点O作OH⊥AC于点H. (第18题) OC∥AB,.∠COD=∠EAD=60.OC=OD, 19.(1)由圆周角定理，可得∠CAD=∠CBD..AE平分 ∠BAC,BE平分∠ABC,∴.∠BAE=∠CAD=∠CBD, :.∠0cD=∠00=2180'-∠oD)=60'=∠C0D, ∠ABE=∠CBE.'∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE= OD-CD-AD-2.AC-AD-CD-2/5. ∠CBD+∠CBE,.∠BED=∠DBE.∴.DB=DE. (2)连接OC,OD,OD交BC于点F.由圆周角定理，得 :0M-0c,∠CD=∠A0-3∠c0D-30. ∠BAD=∠BCD.由(1)，可知∠BAD=∠CAD=∠CBD, ∴.∠CBD=∠BCD..BD=DC.OB=OC,.OD垂 ∴.OH= 2OA=1.小S色=Sa十S前蒂n 直平分BC.:AB为⊙O的直径，∴.∠ADB=90°.又 OH+60xX2 360 -×25×1+-5+ ·BD=ED,,∴.△BDE是等腰直角三角形.·BE= 3 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 ∴.BC=2,CD=6.∴.当⊙A向上平移2个单位长度时， ⊙A在x轴下方，且与x轴相切；当⊙A向上平移6个单 第1课时直线与圆相离、相切、相交 位长度时，⊙A在x轴上方，且与x轴相切.平移后该圆 1.D.P是直线l上的一点，OP=5cm,∴.无法得到圆 与x轴没有交点，∴.该圆与x轴相离.∴.m的取值范围是 心到直线1的距离d大小.∴.无法判断d与半径的大小关 0<m<2或m>6. 系.∴.直线l和⊙O相交、相切、相离都有可能 y 易错警示 0 判断直线和圆的位置关系时的常见错误 错把圆心到直线上某，点的距离与半径作比较来确 定直线与圆的位置关系. (第3题) 2.D:点M的坐标是(4,3)，∴.点M到x轴的距离是 4.8≤AB≤10当AB是大圆直径时，AB的长最大，最大 3,到y轴的距离是4.以点M为圆心，r为半径的圆与 值为10.当AB与小圆相切时，AB的长最小.：小圆的半 x轴相交，与y轴相离，∴.r的取值范围是3<r<4 径为3，大圆半径为5，∴.AB=2×√52-32=8.大圆的 3.0<m<2或m>6如图，设⊙A的半径为2，点A的 弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴.8≤AB≤10. 坐标为(3，一4)，过点A作AC⊥x轴于点C,交⊙A于点 5.(1)如图①，圆心O移动1cm,即⊙0向左移动1cm,到 B,延长BA,交⊙A于点D.易知AB=AD=2,AC=4,达⊙O处，则OO'=1cm.OP=3cm,∴.O'P=OP一 64