精品解析：山西太原师范学院附属中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次学情阶段检测数学试题

2026~2027学年第一学期高二年级第一次学情阶段检测 数学试题 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 3. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 4. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 5. 已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A. 共线 B. 共线 C. 共面 D. 不共面 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 6. 已知，在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 7. 已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 8. 已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径； 由得：，恒过定点； 由得：，恒过定点； 由直线方程可知：，，即， 设，则，， ，整理得：， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在， 点轨迹不包含； 若点为弦的中点，则，位置关系如图： 连接，由知：， 则， （当在处取等号）， 即的最小值为. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 10. 已知实数满足方程，则下列错误的有（ ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，将点代入直线检验，即可判断正误；对B，根据题设定义求出两平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解；对C，根据条件，求出平面的法向量及内一个点的坐标，再由点面距的向量法，即可求解；对D，根据条件，求出直线的方向向量及平面的法向量，再由线面角的向量法，即可求解. 【详解】对于A，因为直线的方程为，则， 所以点不在直线上，故A错误； 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为， 又平面的方程为，所以平面的法向量为， 所以， 则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确， 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内，所以， 设点到平面的距离为，则，所以C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量； 又平面的方程为，所以平面的法向量； 设直线的方向向量为，则有， 取，则，又因为平面的方程为， 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则， 所以，故D错误， 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【解析】 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 13. 已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【详解】弦长，半径，则圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.两边平方得，展开得. 解得.   当时，直线的方程为，即.   故答案为：或. 14. 若圆：上存在两点，，直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合几何知识将角度条件转化为圆心到直线的距离需要满足的条件，即圆心到直线的距离满足，进而利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线与圆相交时，若点固定在如图所示的位置， ，与直线和圆的两交点分别重合，则；若，两点重合，则，故直线与圆相交时一定存在，及，使得. 当直线与圆相切时，类似直线与圆相交的分析可知，一定存在，及，使得. 当直线与圆相离时，对直线上的任一点，若，相距越来越近，直至，两点重合，则仍有，若与圆相切于，与圆相切于，则取最大值，如图所示. 设圆的半径为，连接，，，则，， 当最短，即长度等于圆心到直线的距离时，最大，即最大，也即最大， 所以若圆上存在两点，，直线上存在点，使得，则必有，又，故. 又直线与圆相交或相切时，，满足题意， 综上，. 又因为圆的半径，圆心到直线的距离， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； （2）直线的方程为 或 。 【解析】 【小问1详解】 由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）用、、表示向量，并求； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【小问1详解】 ， 由已知可得，， 因此，. 【小问2详解】 由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）在平面内作交于点，连接， 由，，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，，则，即， 在中，由，，，所以，故， 又，且，、平面， 故平面，因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， 得到，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取， 解得，得， 因为，设点到平面的距离为, 由点到平面的距离公式得. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）连接，因平面，、平面， 则且，即为直角三角形， 又，，则由勾股定理得， 在中，，且， 所以，为等腰直角三角形，也就是， 又因为，所以得平面. （2）①；②存在点，且.​ 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直）即可； （2）合理建立空间直角坐标系，①求两个平面的法向量，计算法向量夹角；②设在上的参数坐标，利用线面角公式列方程求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系（以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，为与轴的交点）， 所以得，，，，. 由条件①：，，，可得， 由条件②：平面，得，又因为，所以，也可得. 向量，，设平面PCD的法向量为， 有：，代入向量坐标：，取. 向量，，设平面PBC的法向量为， 同理列方程：，代入向量坐标：，取. 法向量夹角. 二面角的平面平面角为钝角， 故二面角的大小为（即）. 设的坐标，则， 所以， 化简得，解得有效. 因此， 故存在点，且 19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，且定点为 【解析】 【分析】（1）设点，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，求出圆的半径长，即可得出圆的标准方程； （2）（i）设点、，根据平面向量的坐标运算得出，代入等式化简可得曲线的方程； （ii）假设存在满足题设条件的点，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设点， 由题意得，即，解得， 所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设点、，由可得， 所以，解得， 因为点在上，所以（*）， 将代入等式（*）得，即， 故曲线的方程为； ②假设存在满足题设条件的点，设点、， 若直线的斜率为零，则直线与轴重合，不合乎题意， 设直线的方程为，联立, 可得， ， 由韦达定理可得，， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 所以 ， 即对任意的恒成立，故，解得， 故在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期高二年级第一次学情阶段检测 数学试题 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A. 共线 B. 共线 C. 共面 D. 不共面 6. 已知，在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 10. 已知实数满足方程，则下列错误的有（ ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若直线的方程为，则点在直线上 B. 已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C. 已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D. 已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 13. 已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为___________． 14. 若圆：上存在两点，，直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）用、、表示向量，并求； （2）求直线和夹角的余弦值. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $