第二十八章 旋转（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十八章“旋转·基础通关”单元卷，满分120分，覆盖旋转概念、中心对称、坐标变换等核心知识，适配单元复习，通过基础巩固与综合应用提升空间观念和推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转识别（第1题）、中心对称图形（第2题）、对称点坐标（第3题）|结合中国结文化情境（第2题）、选用中考真题（第2题），强化几何直观| |填空题|6/18|中心对称性质（第12题）、旋转角度计算（第13题）|注重基础概念辨析与空间形式转化，培养抽象能力| |解答题|9/72|旋转作图（第19题）、综合证明（第25题）|分层设计，从网格作图到正方形旋转综合应用（第25题），发展推理能力与创新意识，贴合单元复习需求|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章 旋转·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．将图的小正方形放在图中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 9．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点O同时是正方形的一个顶点，正方形的边长大于正方形的边长．若正方形的面积为16，当正方形绕点O转动时，重叠部分的面积为（     ） A．始终等于4 B．始终等于8 C．随转动变化，最小值为4 D．随转动变化，最大值为4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点和点关于原点对称，________． 12．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 15．（25-26九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 16．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是哪一点? ； (2)旋转了多少度? ； (3)线段与线段有什么位置关系?请说明． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 19．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 20．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 21．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）求的度数； （2）求的面积． 22．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 23．（25-26八年级下·北京顺义·期末）如图，在菱形中，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点，连接．    (1)依题意补全图形，求证：； (2)若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)【特例感知】在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当，时，求长． (2)【猜想论证】在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 25．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章旋转·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D ⊙ A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.0 12.5 13.58 14.(7,4) 15.y=-x2-4x-5 120 16. 13或33或12 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分， 共9小题，共72分) 17 【详解】(I)解：根据题意，△ABC顺时针旋转后与△DBE重合， 由图可知，旋转中心是点B;2分 (2)△ABC顺时针旋转后与△DBE重合，且∠ABC=90°， ∠DBE=∠ABC=90°，即旋转了90°；4分 (3) AC⊥DE 说明：延长ED与AC交于O点，如下图， 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可知∠ACB=∠DEB '∠EDB=∠CDO,∠DEB+∠EDB=90°， .∠ACB+∠CDO=90°， .△COD为直角三角形， .AC L DE.6分 18 【详解】(I)证明：由题意，得AB=AE,∠B=∠AEF, ∠B=∠AEB, ∴.∠AEB=∠AEF, .EA平分∠BEF;3分 (2)解：由题意，得∠BAE=∠CAF,∠C=∠F, AB=AE,∠ABC=54°， .∠AEB=54° ∴.∠BAE=180°-54°-54°=72° ∴·∠CAF=∠BAE=72°， ∴.∠FGC=∠F+∠FAG=104° .6分 19.(1)答案不唯一， .3 图1 图1 图1 分 6 B (2)答案不唯一， 6分 图2 图2 图2 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(1)如图，△4BC即为所求， C B 的坐标为 ;3分 A B (3,-1) Q)44Bc 即为所求， B2 B A C C1 B X6分 21. PP 【详解】解：(1)如图所示，连接， :线段PA以点4为旋转中心逆时针旋转60° AP 得到线段 △APP 为等边三角形， 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BA=PR=PA=3,∠PAP=∠PPA=60° … ,△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=60° ∠BAC-∠PAC=∠PAP-∠PAC∠BAP=∠CAP ，即 AB=AC ∠BAP=∠CAP 和 △BAP △CAP 中， PA=PA △BAP≌ACAP(SAS) PB=PC=4,∠APB=∠APC 在△PRC电，PP2+PC2=PC 中， △PPC 是直角三角形， ∠PPC=90° ∠APB=∠APC=∠APP+∠PPC=60°+90°=150° …4分 2)如图所示，过点P作PH1交于 交于点， B △1P9是等边三角形， 小H=m-4识-PA=3,pH=ap-m- 2 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则5m-PH=)×3x359 1 2 24， BAP≌△CAP 由(1)知 :8m+5c=S4e+Se=6+9y5 4: 将线段PB以点B为旋转中心逆时针旋转60°， 同理可求得am+S。e=6+4V5 将线段PC以点C为旋转中心逆时针旋转60°， 同理可求 得5ne+Sm=6+25V5 4, 片Sm-m+Se+5m+5+5+）=9+25 , 则5.c=S4c-(S,m+Sc)=3+4W5 8分 22. 【详解】(1) 证明：连接CF F B ,△DEF和△ABC关于点O对称， 点B与E关于O对称，点C与F关于O对称， .OB=OE,OC=OF,即四边形BCEF的对角线互相平分， 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形BCEF是平行四边形；.4分 (2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, AB-VAC2+BC+3-5 四边形BCEF是菱形， .FC⊥EB -ACRC-ABxOC. :S4c .3×4=5×0C, 12 .∴OC= 5, 在R40c中，10-C-oc-- 5 8分 23.(1)证明：补全图形如下： 在菱形ABCD中，∠ABC=, C P .AB=AD,∠BAD=180°-∠ABC=180°-a 线段AP绕点A逆时针旋转180°-a得到线段AQ, ∴.AP=AQ,∠PAQ=180°-a ∴.∠BAD=∠PAQ ∴.∠BAD-∠PAD=∠PAQ-∠PAD ∴.∠BAP=∠OAD AD=AB ∠QAD=∠PAB A0=AP 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、△AQD≌△APB(SAS) BP=QD.4分 (②)解：线段GB,GC,GP之间的数量关系 2(GP-GB=GC,理由如下： 延长DA交GO于点M, 在菱形ABCD中，∠ABC=45°， .BCI‖AD.∠ABC=∠ADC=45°， .OGCD 故四边形GCDM是平行四边形， ∴.GC=DM, AQD≌△APB(SAS) 根据(1)的证明，知 BP=QD,∠ABP=∠AD0=45°， ∠ADC+∠AD0=90°， .∠0DC=90°， M B C P ,QG‖CD ∠QDC+∠MQD=180, ∠MgD=90°. .∠QMD=45° 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠QMD=∠QDM, ..OM=OD OM2+OD2 DM2 根据勾股定理，得 ..20D2 DM2 .BP=OD=GP-GB GC=DM ..2(GP-GB)=GC2 ；8分 24. 【详解】(1)解：(1)①：△ABC是等边三角形， AB=AC=BC,∠BAC=60° △AB'C是△ABC的“旋补三角形”， .∠B'AB+∠C'AC=180° ∠BAC'=360°-180°-60°=120°，AB=AB,4C=AC, .AB'=AC', .∠AB'D=30, ,AD为边BC上的中线， .AD⊥B'C, .2AD=AB', .BC=AB=AB=2AD:4分 ②：△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”， ∠B'AB+∠CAC=180°，AB=AB,AC=AC', .∠BAC'+∠BAC=180°， .∠BAC=90°， ∠B'AC=∠BAC=90°， 在△AB'C和△ABC中， 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB'=AB ∠B'AC'=∠BAC AC'=AC △AB'C'≌△ABC(SAS) .B'C'=BC, :∠B'AC'=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，AD=5, BC=B'C'=2AD=10;8分 (2)猜想AD=}BC 2 证明：如图，延长AD至点E使得AD=DE,连接B'E,C'E, 图1 AD是△AB'C的中线， .'B'D=C'D. DE AD, .四边形ABEC是平行四边形， B'Ell AC' .B'E=AC'=AC,ZB'AC'+ZEB'A=180 .a+B=180° .∠BAC'+∠BAC=180°， .∠EB'A=∠BAC, 在△EB'A和△CAB中， 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B'A=AB ∠EB'A=∠BAC B'E=AC △EB'A≌ACAB(SAS) .AE=BC, 4A0=4证=8c.…2分 2 2 25. 【详解】(I)DDG=BE,DG⊥BE.理由如下：设BE分别交AG,DG于点H,I, G 图2 :四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形， ∴AB=AD,AG=AE,∠DAB=∠EAG=90° ∴.∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG ∠DAG=∠BAE ,即 ∴.△DAG≌△BAE(SAS) ∴.DG=BE,∠AEB=∠AGD :∠AEB+∠AHE=90°，∠AHE=∠IHG .∴∠IHG+∠AGD=90°. .∠GH=90° .DG⊥BE.4分 ②如图3，过点B作BH⊥AG于H,过点D作DN⊥直线AE于N, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B H 图3 ∴，∠AHB=∠AND=90°=∠BAD=∠GAN .∠DAN=∠BAG 又AB=AD, ∴.△ABH≌△ADN(AAS) :DN=BH, :5ea=5ae+5m+5an+5m-x6x6+x60v+x5x5+x68H-号+68H, ∴.当BH有最大值时，四边形BGED面积有最大值， 即当1B1AC时，BH有最大值为 :四边形BGED面积的最大值为+35，an…8分 9 (2)解：如图4，连接BE,DG, G 点 分别是 ，， 的中点， 图4 .M N P O BG GE ED DB .NANE NPGD NP-GD.P OF MOGD:GD. 由(1)知，DG=BE, ..MN=NP=PO=OM “四边形MNPO为菱形， 由(1)知DG⊥BE, :MN∥BE,Mg∥DG, 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN⊥Mg,即∠QMN=90°， ∴菱形MNPO为正方形； 如图5，当G,A,D三点在同一条直线上时，B,A,E三点也在同一条直线上， 此时正方形MNPO的面积最大， G M D 图5 M0-cD=5+v6 2 六SE方ne=M0=9+3V2 42.12分 12/12 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章 旋转·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 4．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到， ， ， 是的外角， ， ． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 7．将图的小正方形放在图中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知，将图的小正方形放在图中③的位置，组成的图形是中心对称图形． 8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 9．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 10．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点O同时是正方形的一个顶点，正方形的边长大于正方形的边长．若正方形的面积为16，当正方形绕点O转动时，重叠部分的面积为（     ） A．始终等于4 B．始终等于8 C．随转动变化，最小值为4 D．随转动变化，最大值为4 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明，结合正方形的性质，得，等量代换求解即可． 【详解】解：设的交点为F，的交点为E， ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 12．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 【答案】58 【分析】利用旋转角等于对应边夹角，结合已知条件求解即可． 【详解】解：由旋转定义可知旋转角， ，， ， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 15．（25-26九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 16．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 【答案】或或12 【分析】根据勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、线段的垂直平分线的判定与性质、三角形的面积公式，结合分类讨论的思想，即可解答． 【详解】解：①当时，如图所示，连接，记与交点为， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，， ． 又， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，． ， ， ； ②当时，如图所示，连接，延长交于点， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，． ，， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，， ， ， ， ； ③当时，如图所示， ． 综上所述，的长为或或12． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是哪一点? ； (2)旋转了多少度? ； (3)线段与线段有什么位置关系?请说明． 【答案】(1)B (2) (3) 说明：延长与交于O点，如下图， 由旋转的性质可知， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【分析】（1）结合图形即可获得答案； （2）根据题意和旋转的性质可得，即可获得答案； （3）延长与交于O点，由旋转的性质可知，易得，进而证明为直角三角形，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据题意，顺时针旋转后与重合， 由图可知，旋转中心是点； （2）∵顺时针旋转后与重合，且， ∴，即旋转了； （3）略 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 19．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 【答案】(1)答案不唯一， (2)答案不唯一， 【分析】（1）以为对角线，作矩形即可； （2）根据勾股定理可判断直角，根据割补法可判断面积，再根据题意画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 【答案】(1)如图，即为所求， 的坐标为； (2)即为所求， 【分析】（1）根据关于原点对称的图形的性质作图即可，再写出点的坐标 （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 21．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）求的度数； （2）求的面积． 【答案】 【分析】根据三角形的旋转性质得到为等边三角形，再根据手拉手模型证得，最后根据勾股定理逆定理解得是直角三角形，从而得出答案；再多次利用旋转的性质求出的面积，进而求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∴． （2）如图所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ， 由（1）知， ∴； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得， ∴， 则． 22．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【详解】（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 23．（25-26八年级下·北京顺义·期末）如图，在菱形中，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点，连接．    (1)依题意补全图形，求证：； (2)若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：补全图形如下： 在菱形中，，   ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， ∵ ∴， ∴． (2)解：线段，，之间的数量关系为，理由如下： 延长交于点M， 在菱形中，， ，， ， 故四边形是平行四边形， ， 根据（1）的证明，知， ∴，， ∴， ∴，   ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ， ，， ； 【分析】（1）根据题意，首先证明，再证明即可得证； （2）延长交于点M，证明四边形是平行四边形，得到，根据（1）的证明，证明，利用等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)【特例感知】在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当，时，求长． (2)【猜想论证】在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①2；②10； (2)猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”，， ∴； （2）略． 25．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【答案】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ② (2)正方形； 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）①略；②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章 旋转·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 2．（2026·黑龙江大庆·中考真题）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．将图的小正方形放在图中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 9．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点O同时是正方形的一个顶点，正方形的边长大于正方形的边长．若正方形的面积为16，当正方形绕点O转动时，重叠部分的面积为（     ） A．始终等于4 B．始终等于8 C．随转动变化，最小值为4 D．随转动变化，最大值为4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点和点关于原点对称，________． 12．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且点刚好落在的对应边上．若，，则等于______________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 15．（25-26九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 16．如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是哪一点? ； (2)旋转了多少度? ； (3)线段与线段有什么位置关系?请说明． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 19．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 20．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 21．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）求的度数； （2）求的面积． 22．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 23．（25-26八年级下·北京顺义·期末）如图，在菱形中，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点，连接．    (1)依题意补全图形，求证：； (2)若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)【特例感知】在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当，时，求长． (2)【猜想论证】在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 25．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $