河南郑州市巩义市第四初级中学2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试卷

2026年郑州第四中学九年级上学期月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4，3，8，6 B．1，2，3，5 C．3，4，5，6 D．2，3，6，8 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 3．如图所示的几何体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 4．在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（　　） A．8 B．6 C．12 D．4 5．如图，直线，直线，相交于点，且分别与直线，，的相交于点，，和点，，，已知，，，，求的长度是（　　） A．3 B．2 C． D． 6．根据下表： 4 5 6 13 5 5 13 确定方程的解的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．18 C．21 D．30 8．如图，菱形菱形，菱形的顶点在菱形的边上运动，与相交于点，，若，，则菱形的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 9．如图，小明家的客厅有一张高0.8米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为、，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．已知，则的值是______________． 12．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是______________． 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数为______________． 14．如图，△中两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作△的位似图形△，且△与△的位似比为．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是______________． 15．如图，菱形的边长为12，，是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为______________． 三．解答题（共8题，共75分） 16．如图，公路旁有两个高度相同的路灯，，小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑处，他自己的影子恰好落在路灯的底部处．晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑处． （1）①在图中画出光线，标出太阳光、灯光； ②画出小明的位置（用线段表示）． （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑的距离恰好为5米，求路灯的高度． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在的值使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与△位似； （2）在图②中△的边上画一个点，使． 19．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当___________时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为___________． 20．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为_____________； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 21．飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见表． 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量 方案 及示 意图 测量 步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米． 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 22．某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利_____________元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 23．（1）【问题发现】如图1，△和△都是等边三角形，射线，射线相交于点，则与的数量关系是____________，的度数是____________． （2）【变式探究】如图2，把等边△和等边△都换成等腰直角三角形，其中，其它条件不变，那么和数量关系是____________，的度数是____________，请说明理由． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，，，将正方形绕点旋转，当，，三点共线时，的长为____________． （4）【拓展延伸】如图4，矩形矩形，，，将矩形绕点旋转，连接、，当与矩形的一边垂直时，的长为____________． 2026年郑州第四中学九年级月考数学试卷 参考答案与试题解析 一．试题（共23小题） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【解答】解：由题知， 因为， 所以选项不符合题意； 因为， 所以选项不符合题意； 因为， 所以选项不符合题意； 因为， 所以选项符合题意． 故选：． 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：． 3．如图所示的几何体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据主视图的概念，从正面看看到的是一个长方形，中间有两条竖着的虚线， 即 故选：． 4．在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（　　） A．8 B．6 C．12 D．4 【解答】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：（个， 故选：． 5．如图，直线，直线，相交于点，且分别与直线，，的相交于点，，和点，，，已知，，，，求的长度． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ． 6．根据下表： 4 5 6 13 5 5 13 确定方程的解的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【解答】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：． 7．边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．18 C．21 D．30 【解答】解：如图， ， △△， ， ，，， ， ， ， ， △△， ， ，，， ， ， ， 阴影梯形的面积 ． 故选：． 8．如图，菱形菱形，菱形的顶点在菱形的边上运动，与相交于点，，若，，则菱形的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 【解答】解：连接． 菱形菱形， ，， △是等边三角形，设，则，， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， 或1（舍弃）， ， 故选：． 9．如图，小明家的客厅有一张高0.8米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为、，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点作轴，垂足为，由题意得，米，米， ， △△， ， 即：， 解得 ， 点的坐标是，． 故选：． 10．如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， ，故①正确； ，， 在△中，根据勾股定理得：， ， △△， ， ，， ， ，故③正确； 在△中，， ，， △△， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ， ，， △△， ， ， ，， ， △△， ， ， ，故④错误， 结论正确的有①②③，共3个， 故选：． 11．求值：已知，求的值． 【解答】解：， ， 设，则，， ． 12．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， 故选：． 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 14．如图，△中两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作△的位似图形△，且△与△的位似比为．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设点的横坐标为， 则、间的横坐标的长度为，、间的横坐标的长度为， △放大到原来的2倍得到△， ， 解得， 故选：． 15．如图，菱形的边长为4，，是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，取的中点，连接、、，连接， 四边形是菱形，， ， △是等边三角形， ， 点是中点，点是的中点， ，， 三角形是等边三角形， ， ，， ， ，，， △△， ， ， ，， △△， ，则， 在△中，， 如图所示，过点作的延长线于， 在△中，，由菱形可知， ，则，且， ， 则，， 在△中，， ， 则的最小值为， 故选：． 16．如图，公路旁有两个高度相同的路灯，，小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑处，他自己的影子恰好落在路灯的底部处．晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑处． （1）太阳光下，小明的影子是 　平行　 投影；路灯的灯光下，小明的影子是 投影； （2）在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （3）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑的距离恰好为5米，求路灯的高度． 【解答】解：（1）太阳光下，小明的影子是平行投影；路灯的灯光下，小明的影子是中心投影； 故答案为：平行，中心； （2）出太阳光线，过点作的平行线，与的交点即为小颖的头顶所在，如图， （3）上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小颖身高为1.5米． 小颖的影长为3米， ，， ， △△， ， ， 解得． 答：路灯高为2.4米． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在的值使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根和， △， 解得； （2）不存在的值，使得成立．理由如下： 、是一元二次方程的两个实数根， ，． 若成立，则， 解上述方程得，． （1）中，（2）中， 矛盾， 不存在的值，使得成立． 18．如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与△位似； （2）在图②中△的边上画一个点，使． 【解答】解：（1）如图①，△即为所求． （2）如图②，点即为所求． 19．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当　45　时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 　　． 【解答】（1）证明：垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： 若四边形是正方形，则， ， ， ， ， 由（1）知四边形是菱形， 四边形是正方形； 故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形是正方形，， 四边形的面积为， 故答案为：12． 20．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　　； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【解答】解：（1）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， 从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种， 抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为． 21．飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见表． 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米． 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【解答】解：，， ， △△， 同理：△， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， ， 米， 飞虹塔的大致高度是45米． 22．某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利　14000　 元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【解答】解：（1）根据题意得： （元， 当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利14000元． 故答案为：14000； （2）设每盒应降价元，则每盒的销售利润为元，平均每天可售出盒， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，， 要更多的让利消费者， 每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元； （3）在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15000元，理由如下： 假设在本次销售活动中该商场每天利润能达到15000元，设每盒应降价元，则每盒的销售利润为元，平均每天可售出盒， 根据题意得：， 化简得：， △， 原方程没有实数根， 假设不成立，即在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15000元． 23．（1）【问题发现】如图1，△和△都是等边三角形，射线，射线相交于点，则与的数量关系是 　　，的度数是 　　． （2）【变式探究】如图2，把等边△和等边△都换成等腰直角三角形，其中，其它条件不变，那么和数量关系是 　　，的度数是 　　，请说明理由． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，，，将正方形绕点旋转，当，，三点共线时，的长为 　　． （4）【拓展延伸】如图4，矩形矩形，，，将矩形绕点旋转，连接、，当与矩形的一边垂直时，的长为 　　． 【解答】解：（1）△和△都是等边三角形， ，，，， ， 在△和△中， ， △△， ，， 在△中，； 故答案为：，； （2）， 证明：△和△都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， △△， ，， ，； （3）如图，连接， ， ， 由（2）知△△，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ，， ，，三点共线． ， ， ． 如图，同理可得． 故答案为：或； （4）如图，当时，，，三点在一条直线上， 由旋转可知，， 连接，过点作于点， ，， △△， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 当时，连接，，此时于点， 同理， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/9 12:22:18；用户：吴文焕；邮箱：15936152307；学号：30178080 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $