精品解析：河南省郑州市省实验中学2025-2026学年九年级上期第二次月考数学试卷

2025--2026上期综合练习九年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．注意看到的棱用实线表示；看不到的棱用虚线表示． 【详解】解：主视图如下： ， 故选：D． 2. 在 中，，若 ，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，若， ∴ , 故选：D． 3. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答． 【详解】解：轴于点M，轴于直N，， 四边形是矩形， 四边形的面积为2， ， 反比例函数在第一、三象限， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键． 4. 采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ． 又， ． 又， ， 则， ． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-1 B. k＞-1且k≠0 C. k＞1 D. k＜-1 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】由已知得：k≠0且Δ=(-2)2-4k×(-1)=4+4k＜0， 解得：k＜-1， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键． 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点为边上靠近的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随的增大而增大 C. 点B的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由所在象限可判断D． 【详解】解：A、由图可知：抛物线开口向下，，故选项A错误，不符合题意； B、抛物线对称轴是直线，开口向下，因此当时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意； C、由，抛物线对称轴是直线可知，B坐标为，故选项C错误，不符合题意； D、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，故，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐个进行判断即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故②错误； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，是矩形． 故③错误； ∴正确的只有①； 故选B． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 10. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于轴对称，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，则图中右面抛物线的表达式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据题意可得左、右两条抛物线的开口方向和大小不变，顶点坐标关于轴对称，即可求解． 【详解】解：左面的一条抛物线可以用表示， 左面的一条抛物线的顶点坐标为， 左、右两条抛物线关于轴对称， 右面抛物线的表达式是， 故答案为： 12. 矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解． 【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似， ∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽， ∴， 解方程得，，(舍弃) 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键． 13. 已知方程的一个根是2，则它的另一个根为_______________． 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件转化求解即可． 【详解】解：关于x的方程的一个根为2，设方程的令一个根为t， 可得2t=，解得t=． 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义与根与系数的关系．此题难度适中，解此题的关键是注意掌握若是一元二次方程的两根时，． 14. 如图，在中，，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点D，在中利用锐角三角函数和勾股定理求出，然后在中，利用锐角三角函数和勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 在中，． ∴， ， 在中，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程或计算． （1）； （2）计算：． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 ． 17. 如图，已知是矩形的对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，线段的垂直平分线即为所求： （2） 解：四边形为菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的判定，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键． （1）以为圆心，以大于的一半为半径画弧，两弧相交于两个交点，过两交点作直线，即可得到的垂直平分线； （2）利用矩形的性质和菱形的判定即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 打造书香校园，培养阅读习惯.河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己的爱好选择一类书籍（历史类，文学类，科技类，艺术类，其他类），兴趣小组根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图． （1）此次调查采用的调查方式是______， 样本容量为______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）本次调查中，选择其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）抽样调查；100； 补全条形统计图如图所示： （2）144 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去、、、的人数，可求出的人数，再补全统计图即可； （2）乘以所占总人数的比值，即可求出“科技类”所对应的圆心角度数； （3）画树状图，共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵对学校部分学生进行了问卷调查， ∴调查方式是抽样调查； 被调查的学生总人数为：（人）； ∴艺术类人数为：（人）， 故答案为：抽样调查；100． 【小问2详解】 解：“科技类”所对应的圆心角度数为：， 故答案为：144． 【小问3详解】 解：设用、表示两名男生，用、、表示三名女生， 画树状图如下： 共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求与的函数关系式； （3）随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 【答案】（1） （2） （3）S逐渐增大， 理由如下： ∵，， ∴随着m增大，减小，则S逐渐增大． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与几何图形的综合，矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）点在反比例函数图象上，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，由代入计算即可求解； （3）根据，结合反比例函数图象的性质判定即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， 代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，轴，轴，轴，轴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形， ∵，则， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 20. 如图，一楼房后有一假山，其坡度为：，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 （1）求休息亭的铅直高度； （2）求楼房AB的高．(结果保留根号) 【答案】（1）9米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作的延长线于，于点，根据，得出，进而即可求解； （2）在中，，则米，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作的延长线于，于点， 在中，， ， 米． 答：休息亭的铅直高度为米； 【小问2详解】 解：∵米，， ∴， ∴米， 米， 在中， ， 米， 米． 答：楼房的高为米． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 22. 某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． （1）求与之间的函数表达式； （2）若斜坡的坡比为，即图中，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）解：不能，理由如下： 如图，过点作于， 由题意得点的横坐标5，即，斜坡的坡比为， ， ， ， ， 当时，， ， 处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可； （2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 由题可知，其图象顶点坐标为， 抛物线解析式为． 又抛物线过点， ． ． 抛物线解析式为． 【小问2详解】 略 23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． （2）探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 【答案】（1），． （2） ①，理由如下： 连接， 由对称性可得，， ∴， ② （3）或 【解析】 【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离； （2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论； ②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解； （3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解． 【小问1详解】 （1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称， ∴与关于点中心对称， 则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ∵， ∴， ∵,关于直线对称， ∴， 即， 可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，． 【小问2详解】 ①略 ②连接分别交于两点，过点作，交于点， 由对称性可知：且， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴, ∴ 【小问3详解】 解：设，则， 依题意，， 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴ 在中，，则，， 在中，， ， ∴ 由（2）②可得， ∵ ∴ ∴， 解得：； 如图所示，若，则， ∵，则， 则， ∵，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026上期综合练习九年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在 中，，若 ，则 （    ） A. B. C. D. 3. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则（　　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-1 B. k＞-1且k≠0 C. k＞1 D. k＜-1 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随的增大而增大 C. 点B的坐标为 D. 9. 如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于轴对称，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，则图中右面抛物线的表达式是_____． 12. 矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为_______． 13. 已知方程的一个根是2，则它的另一个根为_______________． 14. 如图，在中，，则的长为______．（结果保留根号） 15. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程或计算． （1）； （2）计算：． 17. 如图，已知是矩形的对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 打造书香校园，培养阅读习惯.河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己的爱好选择一类书籍（历史类，文学类，科技类，艺术类，其他类），兴趣小组根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图． （1）此次调查采用的调查方式是______， 样本容量为______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）本次调查中，选择其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求与的函数关系式； （3）随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 20. 如图，一楼房后有一假山，其坡度为：，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 （1）求休息亭的铅直高度； （2）求楼房AB的高．(结果保留根号) 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． （1）求与之间的函数表达式； （2）若斜坡的坡比为，即图中，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． （2）探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $