第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 全等三角形单元提升卷，覆盖性质、判定及实际应用，通过基础题与综合探究题梯度设计，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|全等形识别、性质应用、判定依据（如SSS证尺规作图）|结合图形辨析，基础概念与推理初步结合| |填空题|6/12|HL条件补充、中线构造（倍长中线）、角度计算|聚焦易错点，渗透转化思想（如第16题中线取值范围）| |解答题|8/72|全等证明、实践探究（中线问题）、实际测量（池塘距离）、综合应用（农田灌溉）|突出综合性，如25题实践探究培养逻辑推理，26题结合生活情境体现应用意识|

第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四组图形中是全等形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点C与点D是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，连接，，且，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4． 如图，在与中，点A，C，D，B在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 5．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 6．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，和交于F，则图中的全等三角形的对数是（     ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 9．如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于点F．若，，，则的长度为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 10． 如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则（     ）． A． B． C． D． 11．如图，在中，点O是，的平分线的交点，，过O作于点D，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 12．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，，点A，E，B，D在同一条直线上，若，，则的长是________． 14．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充的条件是___________．（填写一个即可） 15．如图，在中，点D在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 16．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 17．如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，，测得，梯子沿墙下滑到位置，测得，，点M、B、D在一条直线上，则梯子下滑的高度（即的长）为__________m． 18．如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为__________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，已知，A，B，C三点共线，如果，，求的长． 20．（8分）如图，B，E，G，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵， ∴________，（________） ∵， ∴（等量代换） 在和中 ， ∴（________） ．（________） ∴．（________） 21．（8分） 如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 22．（8分）已知：如图所示． （1）请用尺规作图法，画出的平分线，交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作于点E，于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：． 23．（10分）如图，，， ．求证：． 24．（10分）如图，在中，平分，交于点D，于点E，于点F，是的高，交于点G．已知：，，． （1）求的长； （2）求的长． 25．（10分）实践探究 （1）【问题情境】  课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：  如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．  小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：  Ⅰ由已知和作图能得到，依据是______．  A． B． C． D． Ⅱ由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_______________．  解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．  （2）【初步运用】  如图，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 26．（10分）【基础回顾】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．试说明：； 【拓展应用】 （2）如图，某农户家有一块三角形灌溉农田，农户在田块外侧修建两处等腰直角三角形蓄水池（即与），满足，，，是经过点A且垂直于的总输水主管道；点G在上，从两个蓄水池顶端D、E分别铺设垂直主管道的分流支管、（即于点M，于点N），连通两蓄水池的总管道与输水主管道交于阀门H．设阀门两侧蓄水池配套净水区、的面积分别为、，请猜想与的大小关系，并说明理由．（管道的宽度忽略不计） 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 3 4 5 6 > 8 9 10 11 12 C D B A A A B B B A A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 3 13. 2 14.BC=FE或BE=FC 15.147 16.1<AD<7 17.2 18.54 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】7 【解析】解：AB=5,BC=2, .AC=AB+BC=5+2=7, :△ACE≌ACDB. .AC=CD=7. 20.【答案】F,两直线平行，同位角相等，A,GCD,对顶角相等，AAS,全等三角形的对应角相等， 内错角相等，两直线平行 【解析】证明：，AC∥EF, 118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠ACD=∠F,(两直线平行，同位角相等) ∠A=∠F, :.∠A=∠ACD,(等量代换) 在△ABG和△CDG中 ∠A=∠GCD ∠AGB=∠CGD(对顶角相等) AB=CD :△MBG≌aCDG(AAS) ∠B=∠D.(全等三角形的对应角相等) .AB∥DC.(内错角相等，两直线平行) 21.【答案】条件是EC=FB,证明见解析 【解析】解：条件是EC=FB,证明如下： .EA⊥AC,FD⊥BD, ∴.∠EAC=∠FDB=90°， △AEC和△DFB是直角三角形， 在Rt△AEC和RtADFB中， EC=FB AE=DF, RtAAEC≌Rt△DFB(HL) 22.【答案】(1)作图见解析：(2)证明见解析 【解析】(I)如图，画出∠BAC的平分线AD,交BC于点D. 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：由题意，画图如下： :AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴.DE=DF, 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD DE=DF, RtAADES≌Rt△ADF(HL) .AE=AF」 23.【答案】证明见解析 【解析】证明：延长AB,DE交于点F, D :AB∥CD, .∠F=∠2. .∠1=∠2， .∠1=∠F, 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=AF, AD=AB+CD.AF=AB+BF, .DC=FB, 又：∠DEC=∠FEB, :△DCE≌△FBE(AAS) .BE=CE 21 24.【答案】(1)3：(2)4 【解析】(1)解：：BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=3, .DF=DE=3 :Sm-21B-DE=)x6x3=9 1 (2)解： .C:DF2 2 :S4c=Sm+S.cD=9+12=21 又，AG是△ABC的高， .S.uwe-iBC.AG-21 2 1 ×8·AG=21 即2 G21 解得 4. 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.【答案】(1)1B:Ⅱ2<AD<11:(2)7 【解析】(1)I解：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠BDE CD=BD △ADC≌AEDB(SAS) 故选：B: II解：，△ADC≌△EDB, .BE=AC=9, .AD =ED, .AE=2AD」 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .13-9<AE<13+9, .4<2AD<22, .2<AD<11: (2)解：如下图所示，延长AD到M,使AD=DM,连接BM, B D 图② M :AD是△ABC中线， :BD=DC, ,在△ADC和△MDB中， 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC=BD ∠ADC=∠BDM AD=DM ÷△4DC≌aMDB(SAS) .BM=AC,∠CAD=∠M, :∠AFE=∠AEF, .AE=EF=4. ·.AC=AE+CE=7, .BM=AC=7. ∴.∠CAD=∠AFE, :∠AFE=∠BFD. .∠BFD=∠CAD=∠M, .BF =BM=AC. 即AC=BF=7. 26.【答案】(1)证明见解析：(2)S=S2,理由见解析 【解析】(1)证明：：BD⊥直线I,CE⊥直线1， ∴.∠BDA=∠AEC=90°， ∴∠DAB+∠DBA=90°. :∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90° 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBA=∠EAC, 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC △ABD≌ACAE(AAS) (2)解：S,S大小关系是：S= ,理由如下： 如图， B 图2 :AG⊥BC,DM⊥GM, .∠AGB=∠M=90° :.∠ABG+∠BAG=90° .∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠DAM=90° .∠ABG=∠DAM. 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM, AB=AD 718 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 :△4BG≌ADAM(AAS) .AG=DM .EN⊥GM,∠CAE=90°，AC=AE, △AGC≌AENA(AAS) 同理可证明： ∴.AG=EN. .DM=EN S=方h,DMS=4m-EN 2 2 :9=5 818函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列四组图形中是全等形的是() 。★★ 【答案】C 【解析】解：观察发现，A、B、D选项中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形， C选项的两个图形可以完全重合，是全等形 2.如图，已知△AOC≌△BOD,点C与点D是对应点，下列结论中错误的是() D A.AC=BD B.∠AOC=∠BOD C.A0=DO D.∠A=∠B 【答案】C 【解析】解：：△AOC≌△BOD,点C与点D是对应点， 点A与点B是对应点，点O与点O是对应点， .AC=BD,∠AOC=∠BOD,∠A=∠B,AO=BO,CO=DO, ∴选项A、B、D结论正确，选项C结论错误。 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上，连接DE,DF,且 BD=CFBE=CD.老∠EDF=65°，则∠B的度数为(） 1/32 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 F D C A.50° B.55 C.60° D.65° 【答案】D 【解析】解：在△BDE和△CFD中 BE=CD ∠B=∠C BD=CF ÷△BDE≌aCFD(SAS) ,∠FDC=∠BED, ∴.∠FDC+∠BDE=∠BED+∠BDE, :∠FDC+∠BDE+∠EDF=180°， :∠EDF=180°-(2FDC+∠BDE) 在△BDE中，∠BED+∠BDE+∠B=180°， :∠B=180°-（∠BED+∠BDE) ∠B=∠EDF=65°. 4.如图，在△ADE与△BCF中，点A,C,D,B在同一条直线上，∠EDA=∠FCB=90°，AE∥BF, ME=BP.若4C=2,CD=3,则MB的K度是（) 2/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E zB A.5 B.7 C.8 D.10 【答案】B 【解析】解：：AC=2,CD=3, AD=5, :AE∥BF, ∴∠A=∠B, ∠EDA=∠FCB=90°，AE=BF, :△EDA≌△FCB(AAS) .BC=AD=5. :.AB=BC+AC=5+2=7. 5.下面是作角等于己知角的尺规作图过程，要说明∠A'O'B'=∠AOB,需要证明△D'O'C'≌△DOC,则 这两个三角形全等的依据是() B C A A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 【答案】A 【解析】解：由作法易得，OD'=OD,OC'=OC,C'D=CD, :aD'OC'≌aD0C(SSS) 3/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴两个三角形全等的依据是边边边 6.为了测量无法直接测量的池塘两端A,B的距离，小王同学设计了一个测量A,B距离的方案.如图， 先确定直线AB,过点B作直线BE⊥AB,在直线BE上找可以直接到达点A的一点D,连接DA,作 DC=DA AB △DBA≌ADBC BC AB=BC ，交直线 于点C,可以说明 ，最后测量的长即得 .那么判断 △DBA≌△DBC 的原理是() B D E A.HL B.ASA C.SAS D,SSS 【答案】A 【解析】解：由题意，可知：∠ABE=∠CBE=90°，DC=DA, 又DB=DB, :△DB42ADBC(HL) .AB=BC 4/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段BD, CE BD=6cm DE=15cm CE ，若 ,则的长为() D B A.9cm B.12cm C.13cm D.11cm 【答案】A 【解析】解：，BD⊥DE,CE⊥DE, .∠BDA=∠AEC=90°， .∠ABD+∠BAD=90°， .∠BAC=90°， .∠CAE+∠BAD=90°， ·∠ABD=∠CAE, 又AB=AC, :△1DB2△CEA(AAS) .AE BD =6cm,CE=AD, DE =15cm, .AD=DE-AE=15-6=9cm. .CE=AD=9cm 5/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，己知AB=AC,AD=AE,BE和CD交于P,则图中的全等三角形的对数是() A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 【答案】B 【解析】解：：AB=AC,AD=AE,∠DAC=∠EAB, ÷△DAC≌△EAB(SAS) .∠B=∠C, AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE, .BD=CE, :∠DFB=∠EFC, :△DFB≌AEFC(AAS) FB=FC,FD=FE, :FB=FC,∠B=∠C,AB=AC, :△BF4≌aCFA(SAS) .AD=AE,AF=AF,FD=FE, :△ADF≌△AEF(SSS) 6/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.共有4对全等三角形 9.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F.若EF=AF,BE=9, CF=6 EF ,则的长度为() D A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】解：如图，延长AD,使DG=AD,连接BG, A E B D :AD是△ABC的中线， ,BD=CD,且DG=AD,∠ADC=∠BDG, :△ADC≌aGDB(SAS) .AC=BG=CF+AF=6+AF,∠DAC=∠G, EF=AF, ∴.∠DAC=∠AEF, 7/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠G=∠AEF=∠BEG, .BE=BG=9. .6+AF=BG=9, .EF=AF=3 10.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°，则 ∠CAP= (). C D A.60° B.50° C.40° D.55 【答案】B 【解析】解：过P点作PF⊥BA于F,PN⊥BD于N,PM⊥AC于M, C ND 设∠PCD=x°， :CP平分∠ACD, .∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN, :BP平分∠ABC, 8/32 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠ABP=∠PBC,PF=PN, ∴.PF=PM, 又：PF⊥BA于F,PM⊥AC于M, .∠FAP=∠PAC :∠BPC=40°， :∠ABP=∠PBC=(x-40)°， :∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40)）-(x°-40°)=80° :.∠CAF=180°-80°=100°， .∠FAP=∠PAC=50° 11.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12,过O作 OD⊥BC 于点D,且 OD=2,则△1BC 的面积是() B A.12 B.16 C.24 D.30 【答案】A 【解析】解：如图所示，作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC于点F,连接AO, D 9/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D,且OD=2, ..OD=OE=2,OD=OF=2, AB+BC+AC=12,S.408+5.m0c+S.oc= AB×OE,BC×OD,AC×OF 22 2 :Sm+8x+5-2,2C+2C=AB+BC+AC=12 222 S.AC=5.408+S.moc+.0c .Sowc =12 10132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,延长BC至F, △BAP BP 沿着 折叠与4BF 重合，PF充AC 交于点H,则下列结论：① APB=135°，@PFL4D ③△APH≌△FPD;④AH+BD=AB,其中正确的有() D A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【解析】解：：RtAABC中，∠ACB=90°， :.∠CAB+∠CBA=90°， :△ABC的角平分线AD、BE相交于点P, :∠PiB=∠P4C-CB.Pm4=∠Pac-C4 ∠BPD=∠PAB+∠PBA=-(∠CAB+∠CBA)=45° .∠APB=180°-∠BPD=135°， 故①正确： :延长BC至F,△BAP沿着BP折叠与△BFP重合，PF交AC于点H, .∠FPB=∠APB=135°，AP=FP, .∠APF=360°-∠FPB-∠APB=90°， .PF⊥AD, 11/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故②正确： :.∠APH=∠FPD=90°， .∠PAH+∠ADC=90°，∠F+∠ADC=90°， .∠PAH=∠F, 在△APH和△FPD中， [∠APH=∠FPD AP=FP ∠PAH=∠F :△APH≌△FPD(ASA) 故③正确： 延长HP交AB于点Q,则 APH=∠APQ=∠DPQ=90° ∠BPQ=∠DPQ-∠BPD=45° ∠BPD=∠BPQ 在△MPH和△MP 中， ∠PAH=∠PAQ AP=AP ∠APH=∠APQ :△APH≌APO(ASA) AH=AO 在△BPD和△BP 中， ∠PBD=∠PBQ BP=BP ∠BPD=∠BPQ 12132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△BPD≌ABPO(ASA) BD=BO AH+BD=A0+BO=AB 故④正确。 13132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 13.如图，△ABC≌aDEF,点A,E,B,D在同一条直线上，若AD=8,BE=5,则AE的长是 3 【答案】2 【解析】解：，△ABC≌△DEF, ∴.AB=ED .AB-EB=ED-EB. .AE BD, AD=AE+EB+BD,AD=8,BE=5, .8=AE+5+AE, 解得： AE-2. 14.如图，在△ABC和△DFE中，AC=DE,∠A=∠D=90°，若要用“斜边、直角边(HL)”直 接证明RtAABC≌Rt△DFE,则还需补充的条件是 (填写一个即可) D B E 【答案】BC=FE或BE=FC 14132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】解：AC=DE,∠A=∠D=90°， 方法一、 若添加BC=FE, 在△ABC和△DFE中， BC=FE AC=DE, :Rt△ABC≌RtDFE(HL) 方法二， 若添加BE=CF, 可得：BE+EC=CF+EC, .BC=EF, 在△ABC和△DFE中， BC=FE AC=DE, :Rt△ABC≌RtDFE(H), ∴需补充的条件是BC=FE或BE=FC. 15.如图，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD,△ACD≌△BCD,BE是△BCD的角平分线， EF△BCE ∠ACB=48°∠DEF+∠ABE 是 的高线.若 ,则 的度数为」 15132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】147 【解析】解：，△ACD≌△BCD, ∴.∠ACD=∠BCD,∠ADC=∠BDC, :∠ADC+∠BDC=180°. ∴.∠ADC=∠BDC=90°，即CD⊥AB, .∠ACB=48° ,∠BCD=∠ACB=24 在Rt△BCD中，∠DBC=90°-∠BCD=66°， :BE是△BCD的角平分线，点D边AB上， ,∠ABE=-∠DBC=33° :EF是△BCE的高线， .EF⊥BC,即∠EFC=90°， 在Rt△EFC中，∠CEF=90°-∠BCD=90°-24°=66°， :点E在CD上， .∠DEF=180°-∠CEF=180°-66°=114°， 16132 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠DEF+∠ABE=114°+33°=147° 16.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上的 中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使 DE=AD CE AD ,连接·依据小明的方法，可求得的取值范围是 B E 【答案】1<AD<7 【解析】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE, :点D是BC的中点， .BD=DC. 又：∠ADB=∠EDC, :△ABD≌aECD(SAS) .AB=CE=8, .CE-AC<AE<AC+CE. 即2<AE<14, 1<AD<7. 17.如图，把一个长为l0m的梯子AB斜靠在墙MN上，NM⊥MB,测得BM=6m,梯子沿墙下滑 17132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到CD位置，测得∠ABM=∠DCM,DM=8m,点M、B、D在一条直线上，则梯子下滑的高度（即 AC 的长)为 m. D 【答案】2 【解析】解：在△AMB和△DMC中， [∠AMB=∠DMC ∠ABM=∠DCM AB=CD :△MMB≌aDMC(AAS) .'AM DM=8m,CM BM=6m, .AC=AM-CM=2m 18.如图，在四边形ABCD中，AD=AB,∠BAD=2a,∠C=180°-2a,点E、F分别在边BC、 CD上，连接 安ME、F、EF,∠EMF=a,过点A作AH L BC于点H,若 BE+DF=9 AH=6 则五边形ABEFD的面积为. HE 【答案】54 18132 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】解：如图，延长CB至点P,使得BP=DF, HE .'EP=BE+BP=BE+DF=9. .∠BAD=2a,∠C=180°-2a, .∠ABC+∠D=360°-∠BAD-∠C=180°. .∠ABP+∠ABC=180°， ∴∠ABP=∠D, 在△ABP和△ADF中， AB=AD ∠ABP=∠D BP=DF :△ABP≌△ADF(SAS) :AP=AF,∠BAP=∠DAF,SADF=SABP .∠EAF=a, .∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=a, ∴.∠BAP+∠BAE=C,即∠EAP=a, ∴.∠EAP=∠EAF, 在△EAP和△EAF中， AP=AF ∠EAP=∠EAF AE=AE 19132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△EAP≌AEAF(SAS) SE=SEp= EP×AH=×9x6=27 :S五边形ED=S0F+S网边形HBEr=S.E+S.EAp=27+27=54 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） l9.(8分)如图，己知△ACE≌aCDB,A,B,C三点共线，如果AB=5,BC=2,求CD的长. D 【答案】7 【解析】解：，AB=5,BC=2, :AC=AB+BC=5+2=7,, :△ACE≌△CDB, .AC=CD=7. 20.(8分)如图，B,E,G,D在同一条直线上，AC∥EF,∠A=∠F,AB=DC.求证： AB∥DC 20132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：：AC∥EF, .∠ACD=∠ ∠A=∠F, .∠A=∠ACD(等量代换) 在△ABG和△CDG中 =∠ ∠AGB=∠CGD( AB=CD :.△ABG≌△CDG() ∠B=∠D.() .AB∥DC.() 【答案】F,两直线平行，同位角相等，A,GCD,对顶角相等，AAS,全等三角形的对应角相等，内 错角相等，两直线平行 【解析】证明：：AC∥EF, ,∠ACD=∠F,(两直线平行，同位角相等) :∠A=∠F, :.∠A=∠ACD,(等量代换) 在△ABG和△CDG中 I∠A=∠GCD ∠AGB=∠CGD(对顶角相等) AB=CD :△4BG≌ACDG(AAS) 21132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠D.(全等三角形的对应角相等) :.AB∥DC.(内错角相等，两直线平行) 21.(8分)如图，在△AEC和△DFB中，点A、B、C、D在一条直线上，已知EA⊥AC,FD⊥BD, AE=DF ,若用HL,证明Ra1EC≌R1aDFB ,需添加什么条件？写出来并证明. A 【答案】条件是EC=FB,证明见解析 【解析】解：条件是EC=FB,证明如下： EA⊥AC,FD⊥BD, .∠EAC=∠FDB=90°， :.△AEC和△DFB是直角三角形， 在Rt△AEC和Rt△DFB中， EC=FB AE=DF, RtAAEC≌RtADFB(HL) 22.(8分)已知：△ABC如图所示. 22132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD,交BC于点D.(要求：不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F(要求：不写 作法，标注直角标记).求证：AE=AF 【答案】(1)作图见解析：(2)证明见解析 【解析】(1)如图，画出∠BAC的平分线AD,交BC于点D. (2)证明：由题意，画图如下： :AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, :DE DF, 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD DE=DF, :R△ADE≌RIADE(HL) .AE=AF, 23132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分)如图，AB∥CD,∠I=∠2，AD=AB+CD.求证：BE=CE. 【答案】证明见解析 【解析】证明：延长AB,DE交于点F, D -万 .AB∥CD ∠F=∠2， .∠1=∠2， .∠1=∠F, .AD=AF, AD=AB+CD.AF=AB+BF, .DC=FB, 又，∠DEC=∠FEB, :△DCE≌△FBE(AAS) .BE=CE 24.(10分)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点 24132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F,AG是△ABC的高，交BC于点G.己知：DE=3,AB=6,BC=8. B G (1)求DF的长： (2)求AG的长. 21 【答案】(1)3：(2)4 【解析】(I)解：：BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=3, ..DF=DE=3 B.DE=x6×3=9 1 (2)解： S48m-21 2 5.c-C:DF-x8x3-12 Γ2 :S4c=Sm+S.cD=9+12=21 又，AG是△ABC的高， .SMBc=BC·AG=21 1 ×8·AG=21 即2 解得1G=2 . 25132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26132 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 25.(10分)实践探究 B B E 图① 图② (1)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=13,AC=9,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小 明的方法思考： I·由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL Ⅱ·由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中. (2)【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且∠FAE=∠AFE.若AE=4, EC=3 BF ，求线段 的长 【答案】(1)IB;Ⅱ2<AD<11;(2)7 【解析】(I)I解：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠BDE CD=BD 27132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ADC≌AEDB(SAS) 故选：B II解：，△ADC≌△EDB, .BE=AC=9. :AD=ED, ∴.AE=2AD, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .13-9<AE<13+9, ∴.4<2AD<22, .2<AD<11: (2)解：如下图所示，延长AD到M,使AD=DM,连接BM, D 图② M :AD是△ABC中线， .BD DC, ,在△ADC和△MDB中， DC=BD ∠ADC=∠BDM AD=DM :△ADC≌aMDB(SAS) :.BM=AC,∠CAD=∠M, 28132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AFE=∠AEF, .AE=EF=4, .AC=AE+CE=7, .BM=AC=7. ∴∠CAD=∠AFE, :∠AFE=∠BFD, ∴.∠BFD=∠CAD=∠M, .BF=BM=AC, 即AC=BF=7. 29132 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(10分)【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线1作垂线， 垂足分别为D,E.试说明：△ABD≌△CAE； B D A 图1 【拓展应用】 (2)如图2，某农户家有一块三角形灌溉农田ABC,农户在田块外侧修建两处等腰直角三角形蓄水池 (即△BAD与△CAE),满足∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,MG是经过点A且垂直 于BG的总输水主管道：点G在BC上，从两个蓄水池顶端D、E分别铺设垂直主管道GM的分流支管 DM EN DM⊥GM EN⊥GM DE (即 于点M, 于点N),连通两蓄水池的总管道 与输水主管道 MG交于阁门丑设阀门两侧蓄水池配套净水区△ADH、△AEH的面积分别为S、S,请筘短S与S: 的大小关系，并说明理由，（管道的宽度忽略不计） G 图2 【答案】(1)证明见解析：(2)S=S,理由见解析 【解析】(1)证明：BD⊥直线，CE⊥直线l, 30132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BDA=∠AEC=90°， .∠DAB+∠DBA=90° :∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90° .∠DBA=∠EAC, 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC △ABD≌ACAE(AAS) (②解：8，S大小关系是：S=9,理由如下 如图， B 图2 :AG⊥BC,DM⊥GM, ∴.∠AGB=∠M=90° .∠ABG+∠BAG=90° ∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAM=90°. 31132 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠ABG=∠DAM. 在△ABG和△DAM中， [∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM AB=AD :△ABG≌△DAM(AAS) .AG=DM :EN⊥GM,∠CAE=90°，AC=AE, 同理可证明： △AGC≌△ENA(AAS) ..AG=EN, .DM=EN S-专h-0w,乐N :S=8 32132