第十八章 分式（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(重庆专用) 第十八章 分式 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．水是生命之源，珍惜水请从点滴做起，事实上，1滴水很轻，大约为千克，用科学记数法表示0.00005为（    ） A． B． C． D． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知的三边的长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．底边长为的等腰三角形 D．非等腰三角形 6．下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知是分式方程的解，则实数m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 9．若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若分式的值为0，则x的值为___________． 12．计算：_________． 13．若，则______． 14．已知，则代数式的值为____． 15．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 16．如果一个四位正整数与另一个四位正整数相加得到四位正整数，且的四个数位上的数字相同，我们就称与互为“如影随形数”．一个四位正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，将的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得到一个新的四位正整数，当与互为“如影随形数”时，记，．若为整数，是5的倍数，则_________；满足条件的的最大值与最小值的和为_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）解分式方程： (1)； (2)． 19．（10分）先化简，再求值：，请你从，0，1，3中选一个你喜欢的数作为的值代入求值． 20．（10分）已知关于的方程：． (1)若方程无解，求的值； (2)若方程的解为整数，求整数的值． 21．（10分）香绸扇是发源于重庆市开州区临江镇的传统手工艺品，属“开县三绝”之一，是重庆市非物质文化遗产，始创于清道光年间．已知每套A款香绸扇礼盒的进价比每套B款香绸扇礼盒的进价少5元．某文创店在采购时发现，购进3套A款香绸扇礼盒的费用比购进2套B款香绸扇礼盒的费用多5元． (1)求购进1套A款香绸扇礼盒和1套B款香绸扇礼盒各需要多少元？ (2)随着市场的变化，A款香绸扇礼盒进价上涨金额是B款香绸扇礼盒进价上涨金额的3倍．上涨后该店用1680元购买A款香绸扇礼盒的数量是用880元购买B款香绸扇礼盒数量的2倍．求A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是多少元？ 22．（10分）计算下列各式： (1)___________； (2)___________； (3)___________． (4)试根据所学知识找到计算上面算式的简便方法，并利用你找到的简便方法求下面的等式中值： 23．（10分）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，． (1)【概念理解】分式是___________分式，是________分式（填“真”或“假”）； (2)【方法应用】将假分式化为带分式； (3)【迁移拓展】若为整数，分式值也为整数，求所有符合条件的的值． 24．（10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 25．（10分）为激励同学们参与数学阅读，罗老师准备购买两种不同的笔记本奖励给部分同学．已知A种笔记本的单价比B种笔记本单价多元，他花元购买A种笔记本数量与花元购买B种笔记本数量相同． (1)A，B两种笔记本的单价各是多少元？ (2)罗老师在购买的时候，决定对全班名同学进行奖励，每人奖一个笔记本，A种笔记本作为一等奖奖品，B种笔记本作为二等奖奖品，一等奖人数不少于二等奖人数的一半，罗老师所带现金共元，在使用仅有现金的情况下，他购买A，B两种笔记本共有多少种可能的方案？请写出所有可能的购买方案． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十八章 分式（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A B B B D B B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．1 12． 13．3 14． 15．0或1 16． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(8分)（1）解： ................4分 （2） ................8分 18．(8分)（1）解：， 去分母，得， 解得；................3分 检验，当时，， 故是原方程的解；................4分 （2）解：， 去分母，得， 解得；................7分 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解.................8分 19．(10分)解： ，................6分 ∵， ∴， ∴， 此时，原式．................10分 20．(10分)（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或；................5分 （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或．................10分 21．(10分)（1）解：设购进1套A款香绸扇礼盒需要元，1套B款香绸扇礼盒需要元， 根据题意得：， 解得， 答：购进1套A款香绸扇礼盒需要15元，购进1套B款香绸扇礼盒需要20元；................5分 （2）解：设B款香绸扇礼盒进价上涨金额为元，则A款香绸扇礼盒进价上涨金额为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是6元.................10分 22．(10分)（1）解：原式= = =；................2分 （2）解：原式= = = =；................5分 （3）解：原式= = = =；................7分 （4）解：原式左边 ， ∴， ∴， 解得． 经检验，是原方程的解．................10分 23．(10分)（1）解：分式：分子次数为0，分母次数为1，，是真分式； 分式：分子次数为2，分母次数为1，，是假分式．................2分 （2）解：， 带分式形式：．................6分 （3）解：， 是整数，是整数，原式整体为整数， 必须是整数，即是5的整数约数． 5的整数约数：， 分四类讨论： ，； ，； ，； ，， 同时分母，上述取值均满足分母不为0． 符合条件的整数：．...............10分 24．(10分)（1）解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是................5分 （2）解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4．................10分 25．(10分)（1）解：设A种笔记本的单价是元，B种笔记本的单价是元，则 ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A种笔记本的单价是元，B种笔记本的单价是元；................5分 （2）解：设购买A种笔记本本，B种笔记本本，则 ， 解得， 为正整数， 可取或， 则共有种可能的购买方案： ①当购买A种笔记本本，则购买B种笔记本本； ②当购买A种笔记本本，则购买B种笔记本本．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十八章分式 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 3 L,若分式x-2有意义，则x的取值范围是() A.x≠2 B.x≠-2 C.x>-2 D.x>2 2.水是生命之源，珍惜水请从点滴做起，事实上，1滴水很轻，大约为0.00005千克，用科学记数法表示 0.00005为() A.0.5×10-5 B.5×106 C.5×105 D.5×106 3.下列等式成立的是() x-x+1 x_x-1 x3x x ax A.yy+1 B.y y-l C.y 3y D.y ay a2-4a+3 4.日+6a+9a+2的结果是（） a-2 1 A.a+3 B.a+3 c用 D.a-3 a-2 a:ab+c 5.已知AABC的三边的长分别为a、kc:且b+eb+c-a,则△ABC一定是(） A.等边三角形 B.腰长为a的等腰三角形 C.底边长为a的等腰三角形 D.非等腰三角形 21 6.下面是某同学计算x一+-x的解题过程。 2,12 x+1 解：x2-+1-x(x+10(x-D(x-1x+D0 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-x+1 (x+1)(x-1)② =2-x-1③ =1-x④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是() A.① B.② C.③ D.④ 7.为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树.由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍， 结果提前10天完成任务.设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是() A. 1200_1200=10 B 12001200=10 2x x 2x 1200_1200-10 C. D 1200-10=1200 xx+2 x+2 8.已知x=1是分式方程3-4x2x-3的解，则实数m的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4 x+y 9.若4xr2-5y-6y2=0,其中y≠0，则x-y的值为() 1 1 A.3或7 B.3或，7 C.3 D.1 10。给定一列数，我们把这列数中第一个数记为“，第二个数记为”，第三个数记为”，以此类雅，第” 个数记为a.已知a=x,并规定： =七8，=444…a.S=4+4+a++a,下列说法 an1-an 04-41 ②+g+g++7=0 Sa-Sa=Ta+T-3 ③对于任意正整数k,都有TT1 立 2/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其中正确结论的个数有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 (x-10x-2) 11.若分式x-2的值为0，则x的值为 12.计算： ((( x-3 A B 13.若x2-x+1x-,则4+B= a+a1s- 14.已知a2+2a=2,则代数式a-3广a2-9的值为 15.若关于x的分式方程2+22=2a无解，则a的值为 16.如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C,且C的四个数位上的数字相同， 我们就称A与B互为“如影随形数”.一个四位正整数M的千位数字为a,百位数字为b，十位数字为C, 个位数字为，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得到一个新的四位正整数N, 当M与v互为“如影随形数”时，记P(M)=a+b+e+d,Q(M)=50-+c5d.若P( 20-5.若14为整数， (M)是5的倍数，则b+c 满足条件的M的最大值与最小值的和为 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)计算： 2ab b (1)d-a+b x2-2x+1.x2-x (2)x2-1·x+1 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分)解分式方程： 3=2 (10x-22-x x+1,4 2-i1-=1 1910分)先化简，再求值：m之你 m2+m,请你从-1,0,1,3中选一个你喜欢的数作为m的值 代入求值. 3,6mx 20.(10分)已知关于x的方程：x+1'x-1(x+(x-). (I)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解为整数，求整数m的值 21.(10分)香绸扇是发源于重庆市开州区临江镇的传统手工艺品，属“开县三绝”之一，是重庆市非物 质文化遗产，始创于清道光年间.已知每套A款香绸扇礼盒的进价比每套B款香绸扇礼盒的进价少5元， 某文创店在采购时发现，购进3套A款香绸扇礼盒的费用比购进2套B款香绸扇礼盒的费用多5元： (I)求购进1套A款香绸扇礼盒和1套B款香绸扇礼盒各需要多少元？ (2)随着市场的变化，A款香绸扇礼盒进价上涨金额是B款香绸扇礼盒进价上涨金额的3倍.上涨后该店用 1680元购买A款香绸扇礼盒的数量是用880元购买B款香绸扇礼盒数量的2倍.求A款香绸扇礼盒进价的 上涨金额是多少元？ 22.(10分)计算下列各式： e-必 e-必-) (4)试根据所学知识找到计算上面算式的简便方法，并利用你找到的简便方法求下面的等式中值： 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )-)-片 2027 4052 23.(10分)【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都 8-6+2=2+2=22 可化为带分数.如：33 +3=23·我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的 次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为 -1a2+2a-2 32a “真分式”.如 +1,a+1这样的分式就是假分式，a十？。+这样的分式就是真分式.类似地， a-l-a+1-2=1-2 假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：a+1a+1 a+1· a2+3a2-1+4_(a+1)(a-1)+4_ a+1 a+1 a+1 a-1+4 a+1 a2+1 ()【概念理解】分式3a是 —分式，3a是—分式（填“真”或“假”）： a2-3 (2)【方法应用】将假分式a+2化为带分式： a+4a-1 (3)【迁移拓展】若a为整数，分式a+2值也为整数，求所有符合条件的a的值. 24.(10分)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分式B是分式A的“差积 11:A-B=1-1 1 和谐分式”.例如：x+1与x+2, x+1x+2（x+1)(x+2)」 AB=11 1 11 =x+1x+2(x+1(x+2),x+2是x+1的“差积和谐分式”· 1 1 (1)①分式x+2一 一分式x+3的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②x-4的“差积和谐分式”是一： 5/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x+3 (2)已知分式4x+3是分式4的“差积和谐分式”， ①求分式A: ②求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值 25.(10分)为激励同学们参与数学阅读，罗老师准备购买两种不同的笔记本奖励给部分同学.已知A种 笔记本的单价比B种笔记本单价多2元，他花50元购买A种笔记本数量与花40元购买B种笔记本数量相 同. (1)A,B两种笔记本的单价各是多少元？ (2)罗老师在购买的时候，决定对全班50名同学进行奖励，每人奖一个笔记本，A种笔记本作为一等奖奖品， B种笔记本作为二等奖奖品，一等奖人数不少于二等奖人数的一半，罗老师所带现金共436元，在使用仅 有现金的情况下，他购买A,B两种笔记本共有多少种可能的方案？请写出所有可能的购买方案， 6/6 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(重庆专用) 第十八章 分式 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 2．水是生命之源，珍惜水请从点滴做起，事实上，1滴水很轻，大约为千克，用科学记数法表示0.00005为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质判断各选项等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、分式的分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； 选项B、分式的分子分母同时减同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； 选项C、，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式的值不变，即成立，C正确； 选项D、当时，等式右边分母，无意义，等式不成立，D错误． 4．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 5．已知的三边的长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．底边长为的等腰三角形 D．非等腰三角形 【答案】B 【详解】解：已知等式变形得：，即， ∵， ∴，即， 分解因式得：，即， 可得或， 则一定为腰长为a的等腰三角形， 故选：B． 6．下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②． 故选：B． 7．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 8．已知是分式方程的解，则实数m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．已知是分式方程的解，将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是分式方程的解. ∴把代入原方程，得. 化简得. 解得. 9．若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式左边因式分解，得到与的数量关系，代入分式计算，即可解答． 【详解】解：左边因式分解，得； ∵， ∴，， ∴或， 解得：或； 当时，， ∴； 当时，， ∴． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】， ，， ，， 由此，，……，这列数每4个循环一次，即． ①，，故①正确； ②，，， ，， 又，……，这列数每4个循环一次，即， ，……，这列数也是每4个循环一次，即． 又， ， ，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 综上，正确结论为①③，共2个， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若分式的值为0，则x的值为___________． 【答案】1 【分析】根据分式的值为零的条件是：分子为零而分母不为零，然后进行计算即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，属于基础知识的考查，比较简单． 12．计算：_________． 【答案】 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若，则______． 【答案】3 【分析】将等式右侧通分，再比较等式的两边，得出分子相等，利用多项式对应系数相等列方程组，解方程组即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． ∴． 14．已知，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 15．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 16．如果一个四位正整数与另一个四位正整数相加得到四位正整数，且的四个数位上的数字相同，我们就称与互为“如影随形数”．一个四位正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，将的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得到一个新的四位正整数，当与互为“如影随形数”时，记，．若为整数，是5的倍数，则_________；满足条件的的最大值与最小值的和为_________． 【答案】 【详解】解：∵一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数， ∴ ∵一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．且M与互为“如影随形数”， ∴， ∵仍是一个四位正整数， ∴， ∵ ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵为正整数，且， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵要取M的最大值，即要求千位数最大，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则，解得（不符合题意，舍去）， 当时， ， 若要满足是5的倍数，则，解得（不符合题意，舍去）， 当时， ， 若要满足是5的倍数，则，解得， ∴，， ∴M的最大值为， ∵要取M的最小值，即要求千位数最小，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则，解得， ∴，， 则M的最小值为， ∴， 即满足条件的的最大值与最小值的和为. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 18．（8分）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可. 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解； （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解. 19．（10分）先化简，再求值：，请你从，0，1，3中选一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先算括号内的分式减法，再算分式除法，化成最简，然后把有意义的值代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 此时，原式． 20．（10分）已知关于的方程：． (1)若方程无解，求的值； (2)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)6或9或12 (2)8或10 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 21．（10分）香绸扇是发源于重庆市开州区临江镇的传统手工艺品，属“开县三绝”之一，是重庆市非物质文化遗产，始创于清道光年间．已知每套A款香绸扇礼盒的进价比每套B款香绸扇礼盒的进价少5元．某文创店在采购时发现，购进3套A款香绸扇礼盒的费用比购进2套B款香绸扇礼盒的费用多5元． (1)求购进1套A款香绸扇礼盒和1套B款香绸扇礼盒各需要多少元？ (2)随着市场的变化，A款香绸扇礼盒进价上涨金额是B款香绸扇礼盒进价上涨金额的3倍．上涨后该店用1680元购买A款香绸扇礼盒的数量是用880元购买B款香绸扇礼盒数量的2倍．求A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是多少元？ 【答案】(1) 购进1套A款香绸扇礼盒需要15元，购进1套B款香绸扇礼盒需要20元 (2) A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是6元 【详解】（1）解：设购进1套A款香绸扇礼盒需要元，1套B款香绸扇礼盒需要元， 根据题意得：， 解得， 答：购进1套A款香绸扇礼盒需要15元，购进1套B款香绸扇礼盒需要20元； （2）解：设B款香绸扇礼盒进价上涨金额为元，则A款香绸扇礼盒进价上涨金额为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是6元. 22．（10分）计算下列各式： (1)___________； (2)___________； (3)___________． (4)试根据所学知识找到计算上面算式的简便方法，并利用你找到的简便方法求下面的等式中值： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式= = =； （2）解：原式= = = =； （3）解：原式= = = =； （4）解：原式左边 ， ∴， ∴， 解得． 经检验，是原方程的解． 23．（10分）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，． (1)【概念理解】分式是___________分式，是________分式（填“真”或“假”）； (2)【方法应用】将假分式化为带分式； (3)【迁移拓展】若为整数，分式值也为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真；假 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）凑出分母的因式，拆分分子，分离整式与真分式； （3）先把假分式化为带分式，分式整体为整数，则剩余真分式部分的分子必须能被分母整除，据此列出所有整数解． 【详解】（1）解：分式：分子次数为0，分母次数为1，，是真分式； 分式：分子次数为2，分母次数为1，，是假分式． （2）解：， 带分式形式：． （3）解：， 是整数，是整数，原式整体为整数， 必须是整数，即是5的整数约数． 5的整数约数：， 分四类讨论： ，； ，； ，； ，， 同时分母，上述取值均满足分母不为0． 符合条件的整数：． 24．（10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)①不是；② (2)①；②当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4 【详解】（1）解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是 （2）解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4． 25．（10分）为激励同学们参与数学阅读，罗老师准备购买两种不同的笔记本奖励给部分同学．已知A种笔记本的单价比B种笔记本单价多元，他花元购买A种笔记本数量与花元购买B种笔记本数量相同． (1)A，B两种笔记本的单价各是多少元？ (2)罗老师在购买的时候，决定对全班名同学进行奖励，每人奖一个笔记本，A种笔记本作为一等奖奖品，B种笔记本作为二等奖奖品，一等奖人数不少于二等奖人数的一半，罗老师所带现金共元，在使用仅有现金的情况下，他购买A，B两种笔记本共有多少种可能的方案？请写出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A种笔记本的单价是元，B种笔记本的单价是元 (2)共有种可能的购买方案：①购买A种笔记本本，B种笔记本本； ②购买A种笔记本本，B种笔记本本 【详解】（1）解：设A种笔记本的单价是元，B种笔记本的单价是元，则 ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A种笔记本的单价是元，B种笔记本的单价是元； （2）解：设购买A种笔记本本，B种笔记本本，则 ， 解得， 为正整数， 可取或， 则共有种可能的购买方案： ①当购买A种笔记本本，则购买B种笔记本本； ②当购买A种笔记本本，则购买B种笔记本本． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $