第一章 有理数（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

2026-2027学年七年级上册数学单元自测(重庆专用) 第一章 有理数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ 负分数有，，，共3个. 2．下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】C 【分析】根据相反意义的量的定义，判断每组量是否具备相反的含义，找出不具有相反意义的选项． 【详解】解：∵胜与负是相反意义， ∴A项具有相反意义，不符合题意． ∵盈利与亏损是相反意义， ∴B项具有相反意义，不符合题意． ∵升高是变化量，气温是温度数值，二者不是相反意义， ∴项不具有相反意义，符合题意． ∵逆时针转与顺时针转是相反意义， ∴D项具有相反意义，不符合题意． 3．下列数轴表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素，解答即可． 【详解】解：根据数轴的三要素，得 A. 原点的左边表示的是负数，原点的右边表示的是正数， 故本选项错误； B. 原点的左边表示的是负数，且从靠近原点的一侧开始，依次标记为， 故本选项错误； C. 数轴上没有标记原点， 故本选项错误；     D. 符合数轴的要求， 故本选项正确． 4．下列判断大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，∵，，， ∴，该选项错误． B选项，∵，，， ∴，该选项正确． C选项，∵，，， ∴，即，该选项错误． D选项，∵，，， ∴，该选项错误． 5．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数轴上数的位置关系，通过在数轴上找出对应的点来比较、a、、b的大小，涉及数轴和数形结合思想． 【详解】解：在数轴上表示出它们的位置如图所示： ∴从小到大排列为：． 6．下列说法：①互为相反数的两数和为0；②若，则和一定是互为相反数；③有理数包含整数和分数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类、绝对值、相反数等知识点，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①互为相反数的两数和为0，正确．②若，则或与互为相反数，并非一定互为相反数，错误．③有理数包含整数和分数，正确．④绝对值等于它本身的数是非负数，包含0，并非一定是正数，错误． 综上，正确的说法有2个． 7．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与顶点的对应关系，归纳出循环规律. 【详解】解：由题意得，正六边形边长为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 由此可知，数轴上的数每个为一个循环周期， ∵， ∴数对应的点与数对应的点相同，即为点. 8．如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 9．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，绝对值的几何意义，整式的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 根据“F运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“F运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：①由题意得， ，解得 或3，故①错误； ②由题意得，即， ∴当，等式成立；故②正确； ③对进行“运算”得， 当 ，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， ∴进行“运算”化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故③错误； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是___________． 【答案】 【详解】解：到数轴原点的距离是7的点表示的数，即绝对值是7的数，应是． 12．比较大小：______． 【答案】> 【分析】两个负数比较大小时，绝对值大的反而小，由此求解． 【详解】解：， ， ． 13．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是___________． 【答案】 【详解】解：由题意和表格可知，“”所表示的数是. 14．如果m是负数，且，那么______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能值，再结合为负数的条件确定最终结果． 【详解】解：， ， 是负数， ． 15．如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查相反数及一元一次方程的应用，设这个数是，根据“一个数与的差的相反数是”列出方程求解即可．正解理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：这个数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个数是． 故答案为：． 16．若x为有理数，则的最小值为 _____． 【答案】9 【分析】由题意分 分类讨论后即可求得答案． 【详解】解：当 时， 原式 ； 当 时， 原式 ； 当 时， 原式 ； 综上， 的最小值为 9 ， 故答案为：9 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．求值： (1)如果，且a，b异号，求a，b的值． (2)若，且，求m，n的值． 【答案】(1)，或 (2)，或 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵a，b异号， ∴，或； （2）解：∵ ∴ ∵ ∴，或． 18．体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 【答案】(1) (2)以平均成绩为标准，他们的成绩应分别记为，，，，，，， 【详解】（1）解：这个小组8名男生的平均成绩是． 答：这个小组8名男生的平均成绩是． （2）略 19．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 20．老师布置这样一道题：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接起来． ，，，， 小新的部分过程如下，请你接着帮小新完成： 解：化简：___________；___________． 【答案】，，，大小关系为 【详解】解：化简：，， 用“＜”连接起来如下： 21．已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足， (1)求的值； (2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值． 【答案】(1)或1 (2)的值为8或12或14或18 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘方、数轴上两点之间的距离等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据绝对值、有理数乘方、负数的性质即可解答； （2）由（1）可得或1，然后分和两种情况，分别根据点向左移动个单位长度后与点的距离为2，列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：， 是最大的负整数， ， ， 或， 或． 或1． （2）解：点向左移动个单位长度后与点的距离为2， ，即， 当时，，即， 或， 或； 当时，，即， 或， 或． 综上，的值为8或12或14或18． 22．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)，； (2)或； (3)；． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为，， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解：图略， ，， ∴． 23．如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 24．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)3 (2)①13；②或；③或10 (3)汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为 【详解】（1）解：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是的长，即为3． （2）解：①式子的几何意义是表示x的点到表示的点与表示5的点的距离之和，由（1）同理可得，当表示x的点在表示的点与表示5的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示5的点之间距离，该距离为，因此的最小值为13； ②代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示6的点的距离之和，当表示x的点在表示的点与表示6的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示6的点之间距离，该距离为， ∵的最小值是4， ∴， ∴或． ③代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示7的点的距离之和， 若表示x的点在表示的点与表示7的点之间，则距离之和为表示的点与表示7的点之间的距离，为，不满足， ∴表示x的点在表示的点左侧，或在表示7的点的右侧，即或， 当时，可化为，解得； 当时，可化为，解得； 综上所述，x的值为或10． （3）解：如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 它表示x所对应的点到表示、、、、、、、、这九个点的距离之和， 由（1）同理可得，当表示x的点在正中间的点时，s有最小值，即时，， ∴汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测(重庆专用) 第一章 有理数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 3．下列数轴表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列判断大小正确的是（     ） A． B． C． D． 5．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 6．下列说法：①互为相反数的两数和为0；②若，则和一定是互为相反数；③有理数包含整数和分数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 8．如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 9．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是___________． 12．比较大小：______． 13．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是___________． 14．如果m是负数，且，那么______． 15．如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是________． 16．若x为有理数，则的最小值为 _____． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．求值： (1)如果，且a，b异号，求a，b的值． (2)若，且，求m，n的值． 18．体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 19．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 20．老师布置这样一道题：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接起来． ，，，， 小新的部分过程如下，请你接着帮小新完成： 解：化简：___________；___________． 21．已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足， (1)求的值； (2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值． 22．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 23．如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 24．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测(重庆专用) 第一章 有理数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列各对量中，不具有相反意义的是（     ） A．胜3局与负4局 B．盈利3万元与亏损2万元 C．气温升高与气温为 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 3．下列数轴表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列判断大小正确的是（     ） A． B． C． D． 5．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 6．下列说法：①互为相反数的两数和为0；②若，则和一定是互为相反数；③有理数包含整数和分数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 8．如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 9．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是___________． 12．比较大小：______． 13．算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是___________． 14．如果m是负数，且，那么______． 15．如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是________． 16．若x为有理数，则的最小值为 _____． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．求值： (1)如果，且a，b异号，求a，b的值． (2)若，且，求m，n的值． 18．体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 19．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 20．老师布置这样一道题：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接起来． ，，，， 小新的部分过程如下，请你接着帮小新完成： 解：化简：___________；___________． 21．已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足， (1)求的值； (2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值． 22．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 23．如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 24．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试卷 第5页（共8页） 试卷 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测（重庆专用） 第一章 有理数（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D B C C C B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． 12．> 13． 14． 15． 16．9 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）（1）解：∵ ∴ ∵a，b异号， ∴，或；................4分 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴，或．................8分 18．（8分）（1）解：这个小组8名男生的平均成绩是． 答：这个小组8名男生的平均成绩是．................4分 (2) 以平均成绩为标准，他们的成绩应分别记为，，，，，，， ................8分 19．（10分）（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴．................5分 （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． ................10分 20．（10分） 【详解】解：化简：，， ................5分 用“＜”连接起来如下：................10分 21．（10分）（1）解：， 是最大的负整数， ， ， 或， 或． 或1．................5分 （2）解：点向左移动个单位长度后与点的距离为2， ，即， 当时，，即， 或， 或； 当时，，即， 或， 或． 综上，的值为8或12或14或18．................10分 22．（10分）（1）解：点、点所表示的数分别为，，................2分 （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或，................6分 （3） 解：， ，， ∴．................10分 23．（10分）（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，；................2分 （2）解：， ∴，两点相距个单位长度；................4分 （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或；................8分 （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为．................10分 24．（10分）（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5．................4分 （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度．................6分 （3）解；乙赢了n次，则乙输了次................8分 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5．................10分 25．（10分）（1）解：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是的长，即为3．................3分 （2）解：①式子的几何意义是表示x的点到表示的点与表示5的点的距离之和，由（1）同理可得，当表示x的点在表示的点与表示5的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示5的点之间距离，该距离为，因此的最小值为13； ②代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示6的点的距离之和，当表示x的点在表示的点与表示6的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示6的点之间距离，该距离为， ∵的最小值是4， ∴， ∴或． ③代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示7的点的距离之和， 若表示x的点在表示的点与表示7的点之间，则距离之和为表示的点与表示7的点之间的距离，为，不满足， ∴表示x的点在表示的点左侧，或在表示7的点的右侧，即或， 当时，可化为，解得； 当时，可化为，解得； 综上所述，x的值为或10．................6分 （3）解：如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 它表示x所对应的点到表示、、、、、、、、这九个点的距离之和， 由（1）同理可得，当表示x的点在正中间的点时，s有最小值，即时，， ∴汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为．.....10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $