精品解析：江西九江市同文中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次学情自测数学试卷

九江市同文中学2026—2027学年上学期阶段I学情自测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一．选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列各式中，属于二次根式的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 5. 文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A. B. C. 3 D. 6. 第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 计算：=_______． 8. 对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 9. 已知，则x的取值范围是_________． 10. 已知，，，，则的立方根是________． 11. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为________． 12. 如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是_______ 三．解答题 13. 计算： （1）； （2） （3） （4） 14. 如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画线段，使，且点在格点上； （2）在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 16. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． （1）实数的值为________； （2）在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 17. 已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 18. 如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 19. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： （1）请仿照上例化简：= ， ． （2）请运用上述方法化简．（写出计算过程） （3）若，且、、均为整数，求的值． 20. 阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． （1）请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为____________； （2）请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数____________； （3）若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 21. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； （3）【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 22. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 23. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2026—2027学年上学期阶段I学情自测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一．选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列各式中，属于二次根式的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A：，不是二次根式，不符合题意； B：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； C：当时，无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D：，是二次根式，符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法、减法、加法、除法法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，该选项计算正确，符合题意； B、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意． 3. 在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，仍含开方开不尽的部分，属于无理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； 所以，无理数共4个． 4. 《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 5. 文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 6. 第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 8. 对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 9. 已知，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质（）及绝对值的性质化简（），即可确定出x的范围． 【详解】解：∵, 即． ∴，即． 故答案为： ． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题的关键． 10. 已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 11. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出相关线段的长，展开立体图形，利用两点之间线段最短以及勾股定理进行求解． 【详解】解：将蚂蚁经过的图形展开如图所示， 根据题意得，， 由勾股定理得 ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 12. 如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是_______ 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得， ， ∵以为折痕，将折叠得到， ∴，， 如图1所示，当时，过点作，垂足为F， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∴， 如图2所示，当时，点C与点E重合， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， 综上，的长为2或5， 故答案为：2或5． 三．解答题 13. 计算： （1）； （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 14. 如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，，然后求解即可. 【详解】解：，，，， ，， . 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画线段，使，且点在格点上； （2）在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 【答案】（1）如图所示： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）选取矩形网格的对角线即可； （2）结合（1）中得到的边，选取矩形网格的对角线、小正方形对角线即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 由①知，同样可得，， ，且三边长均为无理数，等腰即为所求． 16. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． （1）实数的值为________； （2）在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【小问1详解】 解：起始位置为，向右移动3个单位长度 ∴； 【小问2详解】 解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 17. 已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】（1）9 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， 则， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 18. 如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； 【小问2详解】 解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 19. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： （1）请仿照上例化简：= ， ． （2）请运用上述方法化简．（写出计算过程） （3）若，且、、均为整数，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）a的值为8或16． 【解析】 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 20. 阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． （1）请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为____________； （2）请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数____________； （3）若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【小问1详解】 解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； 【小问2详解】 解：取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求； 【小问3详解】 解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 21. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； （3）【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）13 （3）元 【解析】 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 22. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】（1）10 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【小问1详解】 如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． 【小问2详解】 解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 23. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 【小问3详解】 当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $