河南省实验中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

2026-2027学年上期阶段性测评 九年级 数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） 0 1 2 5 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．如图，点为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（ ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线长度的和变小 D．两条对角线的夹角的度数变大 5．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 8．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例，记载的方法是：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，为边上的高．动点从点出发，沿方向以的速度向点运动．设的面积为，长方形的面积为，运动时间为秒（），则（ ）秒时，． A．5 B．6 C．7 D．8 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程； ②若为3倍方程，则； ③若，满足，则关于的方程为2倍方程； ④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则__________． 12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出__________个小分支． 13．已知在黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得四边形是黄金矩形．按照此方法继续作图，可得四边形，四边形也是黄金矩形．分别以点，，为圆心作弧，弧，弧，则曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 14．若一个菱形的两条对角线长是关于的一元二次方程的两个实数根，且该菱形的面积为12，则这个菱形的边长为__________． 15．如图，在中，，，点是边的中点．点为边上一点，连接，交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．解方程（每小题5分，共10分）： （1）； （2）． 17．（9分）【阅读材料】： 老师的问题： 如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，； 则四边形即为所求作的菱形． 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 18．（8分）如图，的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为__________． 19．（9分）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 20．（9分）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 21．（9分）网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． （1）设每箱降价元，则每天可以售出__________箱？（用含的代数式表示） （2）若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 22．（10分）形如的代数式叫做完全平方式，我们通常对代数式进行配方，构造出完全平方式，再利用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等问题中都有广泛的应用． 例如：用配方法求的最小值． 解：． ∵无论取何值，总是非负数．即． ，即当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）多项式的最小值为__________； （2）已知，，试比较、的大小（写出比较过程）； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值（写出求解过程）． 23．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是__________； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $