精品解析：河南郑州中学2026-2027学年上学期学科素养测评（一）九年级数学学科试卷

2026-2027学年上学期学科素养测评（一） 九年级数学学科试卷 考试时间：100分钟；满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程）逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、原方程整理得，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意． 2. 下列说法错误的是(　　) A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案； 【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例． 3. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ） x 0.03 0.09 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴（，a、b、c为常数）一个解的范围是． 4. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法可得，进而求得m、n值，然后代入中求解即可． 【详解】解：由得 ∴，则， ∴，， ∴． 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 6. 如图，在四边形中，对角线于点，，，，分别为四边的中点，连接，，，，若，，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形是矩形，由三角形中位线定理得到，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵，，，分别为四边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵对角线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据正方形的性质以及勾股定理可得，记交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理计算，即可解题． 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中，记交于点， ，于点，，，且为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法即可求解． 【详解】解： 移项，得 . 提取公因式，得 . ∴ 或 . 解得 ，． 12. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出和 ，并利用 α 满足方程进行化简． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，方程的解，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ α, β 是方程 的两根， ∴． ∴ ，即 ． ∴ ． 故答案为：0． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为∶ 且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14. 如图，在中，，．点是的中点，，过点作交于点，则的长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，则，代入相关线段的长度即可得到答案． 【详解】解：在中，，．点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 即的长度为． 15. 如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为____________________．   【答案】1或9 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 此题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等.根据直角三角形的性质分情况讨论求解的长度是解题的关键． 【详解】解：①当点在线段上时， 如图所示：∵， ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）（运用适当的方法）； （2）（公式法）； （3）（分解因式法）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得 【小问2详解】 解： ∵， ∴ 解得 【小问3详解】 解： 或 解得 17. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图所示即为所求作： （2） 证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，连接，即可求解． （2）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） 证明：， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 19. 如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 20. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：不存在的值，使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 整理得， ， 方程没有实数根， 不存在的值，使得五边形的面积等于． 【解析】 【分析】（1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； 【小问2详解】 略 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 22. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； 【小问3详解】 解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 23. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【解析】 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期学科素养测评（一） 九年级数学学科试卷 考试时间：100分钟；满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是(　　) A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 3. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ） x 0.03 0.09 A. B. C. D. 4. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线于点，，，，分别为四边的中点，连接，，，，若，，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_______． 12. 已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 14. 如图，在中，，．点是的中点，，过点作交于点，则的长度为____________． 15. 如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为____________________．   三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）（运用适当的方法）； （2）（公式法）； （3）（分解因式法）； 17. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明： （1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 19. 如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 20. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 23. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $