专题02 空间基底表示向量·空间向量及其运算的坐标表示题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题02 空间基底表示向量·空间向量及其运算的坐标表示题型突破（六大题型） 考点01 用空间基底表示向量 考点02 空间向量基本定理及其应用 考点03 空间向量模长的坐标表示 考点04 空间向量平行的坐标表示 考点05 空间向量垂直的坐标表示 考点06 空间向量夹角余弦的坐标表示 考点01 用空间基底表示向量 1．如图，在平行六面体中，，，，． (1)设，，，用，，表示； (2)求证：； (3)求的长． 2．如图，在四面体中，，，，，点、分别为、的中点，设，，． (1)将用基底表示，并求其模长； (2)若，，求证：、、、四点共面． 3．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面经过点，与分别交于点，若，则的值为___________． 4．若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，点为棱的中点．设，，那么向量用基底可表示为______________________． 6．在平行六面体 中，，，，则 （    ） A． B． C． D． 7．已知在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． (1)用，，表示； (2)求； (3)证明：平面． 10．在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 空间向量基本定理及其应用 11．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 13．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 15．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 16．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 18．（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 19．（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 20．在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 考点03 空间向量模长的坐标表示 21．（多选）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C．可以为空间的一组基底 D． 22．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 23．已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 24．已知向量，. (1)求向量，并求； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 25．已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 26．已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 27．（多选）已知向量，，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 28．给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 29．已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 30．已知，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值； (3)求向量在向量上的投影向量． 考点04 空间向量平行的坐标表示 31．已知向量，，若，则______． 32．已知 ，，且 ，则 ________________ 33．设，向量，且，则（     ） A． B．10 C．14 D．24 34．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 35．已知，. (1)求的值； (2)已知，若，求的值. 36．（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 37．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 38．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 39．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 40．（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 考点05 空间向量垂直的坐标表示 41．（多选）已知空间四点， 则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（多选）给出下列命题，其中正确的是（     ） A．，，若与垂直，则 B．点关于平面的对称点是，则点的坐标是 C．已知向量，，则在上的投影向量为 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 43．已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数k的值． 44．已知空间向量，，若，则____________． 45．已知向量，． (1)求； (2)若与垂直，求实数t的值. 46．已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 47．已知向量，，若，则______． 48．（多选）已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 49．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 考点06 空间向量夹角余弦的坐标表示 51．已知 ，，则 （    ） A． B． C． D． 52．已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．与夹角的余弦值是 C．在上的投影向量的坐标是 D．两点间距离为 53．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 54．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 55．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 56．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 57．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 58．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 59．设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 60．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间基底表示向量·空间向量及其运算的坐标表示题型突破（六大题型） 考点01 用空间基底表示向量 考点02 空间向量基本定理及其应用 考点03 空间向量模长的坐标表示 考点04 空间向量平行的坐标表示 考点05 空间向量垂直的坐标表示 考点06 空间向量夹角余弦的坐标表示 考点01 用空间基底表示向量 1．如图，在平行六面体中，，，，． (1)设，，，用，，表示； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)由（1）得，又， 又，，， 所以 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）根据空间向量基本定理可表示向量； （2）利用基底法可得向量数量积，即可得证； （3）利用基底法求向量模长. 【详解】（1）由已知可得； （2）略 （3）由（1）得， 又，，，． 则 . 2．如图，在四面体中，，，，，点、分别为、的中点，设，，． (1)将用基底表示，并求其模长； (2)若，，求证：、、、四点共面． 【答案】(1)，. (2)证明：由题意知，， 因为，所以， 所以，， ，     不妨设， 即， 因为、、不共面，由空间向量基本定理可得，解得， 即，     根据共面向量定理，、、共面且有公共点，所以、、、四点共面． 【分析】（1） 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可； （2）利用基底表示出向量，，，再由共面向量定理证明即可. 【详解】（1），     则 ， 所以； （2）略 3．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面经过点，与分别交于点，若，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】设，，利用基底表示，再根据 求出，最后利用空间向量基本定理列方程组求解. 【详解】设， 因为， 所以， ， 因为四点共面，所以 又，所以， 则 根据空间向量基本定理，有，得． 4．若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若向量与共面，则存在实数，，使得， ， 对各选项逐一验证： 对于A：，假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B：假设， 比较系数使 由得，方程组无解， 不存在实数得等式成立，三个向量不共面，可以构成基底，故B正确； 对于C：假设， 比较系数使，方程组有解， ，向量共面，不能构成基底，故C错误； 对于D：假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故D错误. 5．在四面体中，点为棱的中点．设，，那么向量用基底可表示为______________________． 【答案】 【详解】因为点为棱中点，所以， 因为，所以， 因为，，， 所以. 6．在平行六面体 中，，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为 ，，所以 ，选项正确. 7．已知在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积，将已知条件转化为向量关系.设，，，根据已知模长和夹角求出，进而判断的大小. 【详解】设，，，则，，. 又，，如下图： 所以，. 在平行六面体中，. 由，得， 即，得. 所以，即. 在平行四边形中，，因此. 8．如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设及图知. 9．如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． (1)用，，表示； (2)求； (3)证明：平面． 【答案】(1) (2) (3)记,,, ， 所以，即， ， 所以，即， 又，平面，， 所以平面． 【详解】（1）为的重心，即， 所以， 又， 所以. （2）记，，， 则， 所以可得， ，所以，所以. （3）略. 10．在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知. 考点02 空间向量基本定理及其应用 11．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用空间向量基本定理可得出关于、、的两个表达式，结合空间向量基本定理可得出的值. 【详解】因为，则，所以. 因为四边形为平行四边形，所以， 所以. 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 13．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 14．（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 15．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 16．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，结合充分条件，逐一分析判断选项． 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 17．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 18．（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 19．（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 20．在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 考点03 空间向量模长的坐标表示 21．（多选）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C．可以为空间的一组基底 D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C，设，则，方程组无解，所以不共面，即可以为空间的一组基底，故C正确； 对于选项D， ，则，故D正确. 22．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：， 解得，所以或，所以； 解法二：， 所以. 23．已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）当时，求出向量的坐标，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为空间向量，，则， 故. （2）若，则，则， 故， 又因为，故， 即当时，与的夹角为. 24．已知向量，. (1)求向量，并求； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）已知，，则， . （2）已知，，则， ，因为，所以， 所以，解得. （3）已知，，则， ， 因为，所以， 所以，解得. 25．已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【详解】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【分析】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为. 26．已知空间三点，，，设，． (1)设，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1) 或 (2) (3) 或 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及共线向量的定义列式求解. （2）利用空间向量夹角的公式，结合向量的坐标运算求解. （3）利用垂直关系的向量表示，并借助（2）的信息列式求解. 【详解】（1）由点，得， 由，设，由，得，解得， 所以 或 . （2）由（1）得，，， 则，所以与的夹角的余弦值为. （3）由与互相垂直，得，即， 由（2）得，解得或，所以或. 27．（多选）已知向量，，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【详解】 选项A：计算得， 若，则存在实数满足，显然无实解，故A错误； 选项B：由模长公式得，故B正确； 选项C：因，， 则，又因，则，故C错误； 选项D：因，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 28．给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 【答案】D 【分析】根据空间点面对称性质，空间点共线坐标表示，共面向量定理以及向量投影模长公式逐项分析即可. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对于B，设点的坐标为，由点， 则， 又，所以， 即，解得：，所以点的坐标为，故B错误； 对于C，当点共面时，对空间任意一点，若， 由共面向量定理可得：，解得：，故C错误； 对于D，由向量，则， 所以向量在向量上的投影向量的模长为： ，故D正确. 29．已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 30．已知，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值； (3)求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1). (2). (3)向量在向量上的投影向量为. 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示及向量减法运算求解即可. （2）根据垂直关系的向量表示、向量的数量积及运算律求解即可. （3）根据投影向量的定义求解即可. 【详解】（1）已知，，则， 又，可设， 由得，故，所以. （2）由，得， 即. 又，，，所以， 整理得，解得. （3）向量在向量上的投影向量为. 考点04 空间向量平行的坐标表示 31．已知向量，，若，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 32．已知 ，，且 ，则 ________________ 【答案】 【分析】根据空间向量平行、空间向量运算、空间向量的模的坐标表示 【详解】因为 ，则，即 ，所以 ，所以 ，故 . 所以 ， 故． 33．设，向量，且，则（     ） A． B．10 C．14 D．24 【答案】B 【详解】由题意可得， 则，即，解得， 所以. 34．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 35．已知，. (1)求的值； (2)已知，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）， ， 由于，则，解得，符合题意. 故的值为. 36．（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 37．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 38．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 39．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 40．（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 【答案】（1）或（2） 【分析】（1）由向量共线的基本定理及向量模长的坐标运算求向量； （2）由，应用向量数量积的定义及运算律求的长. 【详解】（1）由题可得， 由得：且， 则，解得， 即或； （2）由题意得，， ， ， 又， 所以， 所以． 考点05 空间向量垂直的坐标表示 41．（多选）已知空间四点， 则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意知， ， ， ， . 所以与不共线，所以三点不共线. 所以，， 所以， 所以A正确，B错误. ， 即与夹角的余弦值为， 所以C错误，D正确. 42．（多选）给出下列命题，其中正确的是（     ） A．，，若与垂直，则 B．点关于平面的对称点是，则点的坐标是 C．已知向量，，则在上的投影向量为 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A项，与垂直，则，即，解得，故A正确； 对于B项，空间点关于平面对称：x坐标变号，y，z不变，点关于平面的对称点是，故B错误； 对于C项，，，在上的投影向量为，故C正确； 对于D项，空间四点共面判定：若，且，则、、、四点共面，因为则，所以、、、四点共面，故D正确. 43．已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案； （2）利用空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. （2）因为，所以，； 因为， 所以，解得. 44．已知空间向量，，若，则____________． 【答案】/ 【详解】若两个空间向量互相垂直，则它们的数量积为0. 已知向量，，，可得，解得. 45．已知向量，． (1)求； (2)若与垂直，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空间向量的坐标，用坐标表示出，然后由空间向量的模长公式求得； （2）由空间向量的坐标，用坐标表示出和，由空间向量的数量积建立方程，解得实数t的值. 【详解】（1），所以. （2），， ， 所以. 46．已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 【答案】(1) 或 (2) ， 【分析】（1）利用向量共线及向量模的坐标表示列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示分类求解. 【详解】（1）由，，设， 又，则，解得， 所以或. （2）由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 47．已知向量，，若，则______． 【答案】 【详解】已知向量，，， 则，解得． 48．（多选）已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系判断A，向量数量积相等可得，计算向量的模判断B；分析可知点在及其内部，即可求面积即可判断C；根据数量积判断垂直关系即可判断D. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 因为是正方体的表面及内部的点，所以. 对于选项A，， 若，则， 得，不需要，例如当时，故A错误； 对于选项B，， 因为与，，三个向量的夹角都相等， 所以，即，则. 所以，则. 因为，所以，故B正确； 对于选项C，点，， 若， 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合. 所以点在及其内部，则， 所以，即点的运动区域的面积为，故C正确； 对于选项D，当时，，. 所以， 所以 ， 所以不存在满足，故D错误. 49．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 50．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 考点06 空间向量夹角余弦的坐标表示 51．已知 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】， ，． 所以 ． 52．已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．与夹角的余弦值是 C．在上的投影向量的坐标是 D．两点间距离为 【答案】C 【分析】分别根据单位向量的定义，向量夹角的公式，投影向量的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 对于选项A，由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，在上的投影向量的坐标是，故C错误； 对于选项D，两点间的距离即，故D正确. 53．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 54．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 55．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 56．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 57．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 58．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 59．设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 60．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A，在上的投影向量为，计算即可；对于B，判断，，是否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出的正负，讨论，共线时的特殊情况即可. 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错； 对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误； 对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错； 对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确. 故选：D. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $