专题03 直线、平面的位置关系·夹角问题·距离题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题03 直线、平面的位置关系·夹角问题·距离题型突破（六大题型） 考点01 空间中直线、平面的平行 考点02 空间中直线、平面的垂直 考点03 异面直线夹角的向量求法 考点04 线面角/二面角的向量求法 考点05 用空间向量研究距离问题 考点06 空间向量存在性问题 考点01 空间中直线、平面的平行 1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 2．已知空间向量，，若三点共线，则（    ） A． B．4 C． D． 3．在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（多选）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 5．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 6．在正三棱柱中，已知是的中点，求证：平面． 7．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 9．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 考点02 空间中直线、平面的垂直 11．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： (1)点A，B，C，D，P的坐标； (2)平面的一个法向量． 13．已知为直线l的方向向量，，分别为两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，平面，点在线段上，则（    ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D．的取值范围为 16．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 17．（多选）在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．，， C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 18．已知向量，，. (1)若，求； (2)设若四点共面，求实数的值 19．已知，若，则实数的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 20．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数t的值． 考点03 异面直线夹角的向量求法 21．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. (3)若本例条件不变，为的中点，证明： 22．（多选）已知棱长为的正四面体中，、分别为，中点，为的重心，则下列说法正确的是（     ） A．直线与夹角的余弦值是 B．二面角的余弦值是 C．正四面体的外接球表面积为 D． 23．如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 24．如图所示，四面体的棱长，． (1)证明：； (2)求实数a的取值范围； (3)当时，求异面直线与所成角的大小． 25．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，．，，． (1)用，，，表示和； (2)求直线和夹角的余弦值． 26．已知平行六面体，，，，且分别为线段，的中点，，设，，． (1)用，，表示； (2)求线段的长度； (3)求直线与所成角的余弦值． 27．（多选）在棱长为1的正方体中，点是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点在正方形内（含边界），且，则点的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点，使得异面直线与所成的角为 28．（多选）在直角梯形中，，，，，．点在线段上，满足．现将沿翻折至的位置，在翻折过程中（点不在底面内），下列说法正确的是（    ） A．四棱锥体积最大值为 B．存在某个位置，使得平面 C．四棱锥外接球表面积的最小值为 D．直线与所成角的取值范围是 29．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 30．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 考点04 线面角/二面角的向量求法 31．如图，在直三棱柱中，，，点D、E、F分别为，，的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 32．图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值. 33．如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 34．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 35．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 36．如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 37．在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在三棱锥中，，，O为的中点． (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 39．如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，面，，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 40．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)是棱上一点，若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 考点05 用空间向量研究距离问题 41．如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． (1)求证: 平面； (2)求到平面的距离． 42．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． (1)证明：； (2)点是线段上的点，且点到平面的距离为，求的值． 44．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 45．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 46．如图，在梯形中，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 47．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 48．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. (1)证明：. (2)已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 49．已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 50．如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 考点06 空间向量存在性问题 51．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． (1)若D为中点，求异面直线BD与EF所成角的大小； (2)若求平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值． 52．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 53．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.    (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 54．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点. (1)求证：､､､四点共面； (2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 55．（多选）在正方体中，棱长为2，点在线段上运动，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．当E为BD的中点时，点E到平面的距离为 D．存在某点E，使直线与平面所成角为 56．已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 57．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 58．平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． (1)如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 59．正方体，，，分别为，，的中点． (1)在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 60．如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线、平面的位置关系·夹角问题·距离题型突破（六大题型） 考点01 空间中直线、平面的平行 考点02 空间中直线、平面的垂直 考点03 异面直线夹角的向量求法 考点04 线面角/二面角的向量求法 考点05 用空间向量研究距离问题 考点06 空间向量存在性问题 考点01 空间中直线、平面的平行 1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 2．已知空间向量，，若三点共线，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用三点共线等价于对应向量共线的性质，结合共线向量的数乘关系列方程求解参数. 【详解】因为A、B、C三点共线，所以向量与共线，根据共线向量基本定理，存在实数，使得，即， 得，解得. 3．在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用直线与平面平行时，其方向向量与平面法向量垂直，数量积为0的性质列方程求解. 【详解】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的一个法向量垂直， 则， 所以. 4．（多选）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法及棱锥体积公式逐一判断各选项． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则． 因为分别为的中点， 所以． 选项A：正方体体积． 三棱锥的体积． 因为，， 所以． 正方体体积是三棱锥体积的倍，故A错误； 选项B：． 设平面的法向量为， 则，取，得． 又， 所以，即． 又平面，所以直线平面，故B正确； 选项C：由坐标可得，，． 为等腰三角形，底边上的高． 所以截面面积，故C正确； 选项D：． ， 底面在平面（即平面）上． 在平面中， （此处坐标为）， ． 点到平面的距离为， 所以． 所以体积之比为，故D正确． 5．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 【答案】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得， 连接，因为，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，所以为等边三角形，所以， 又因为，平面 ，所以平面， 在中，，可得， 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 所以， 因为平面，所以平面. 【分析】法一：取棱 上一点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 法二:取棱上一点，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证得平面； 法三：取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再求得，结合，进而证得平面. 【详解】略. 6．在正三棱柱中，已知是的中点，求证：平面． 【答案】证明：（方法一）如图1，连接，记，连接． 在正三棱柱中，四边形是矩形，所以是的中点. 在中，分别为，的中点，则有． 又平面，平面， 由线面平行的判定定理可知，平面． （方法二）如图2，把正三棱柱补成底面为菱形的直四棱柱，则平面平面， 在直四棱柱中，所以四点共面. 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，所以平面． 【分析】方法一，利用三角形的中位线和线面平行的判定定理即可；方法二，构造直四棱柱，利用面面平行的性质定理和线面平行的判定定理即可. 【详解】略 7．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 8．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 9．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 10．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【分析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点，推导出四边形为平行四边形，推导出，可得，即可证得结论成立； （2）推导出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 考点02 空间中直线、平面的垂直 11．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： (1)点A，B，C，D，P的坐标； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在四棱锥中，底面为正方形， 平面， 则直线两两互相垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，则. （2），设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的一个法向量为. 13．已知为直线l的方向向量，，分别为两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量结合最基本的空间图形长方体求解即可. 【详解】因为为平面的法向量当时，则；故选项A错误； 若，，则故选项B错误； 若，时，与可能相交，例如下图，   为直线方向，为方向，为方向，则面可以是面,面可以是面此时，与相交，故选项C错误， 若，，则，故选项D正确. 14．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面OBC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵在空间直角坐标系中，轴垂直平面， 即平面，又，， 即是平面的一个法向量. 15．（多选）现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，平面，点在线段上，则（    ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据线面垂直的性质即可判断A，根据线线平行即可求解B，根据投影向量的定义即可求解C，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A,由于平面，平面，故,进而，A正确， 对于B,取中点，连接,由于,故且，因此四边形为平行四边形，故，由于点在线段上，不在直线上，因此与不平行，因此不存在，使得，B错误， 对于C,由于 故向量在向量上的投影向量为，C正确， 对于D, 如图，建立平面直角坐标系，设，则， 当时，取到最小值12，当或8时，取到最大值，故的取值范围为，D错误. 16．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由可得直线的方向向量与平面的法向量共线即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，且， 所以存在实数，使得 ，所以 解得 ． 17．（多选）在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．，， C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 【答案】ACD 【分析】对于A，若,则，点与点重合，平面与棱交于，即平面与棱交于,通过证明平面,可得；对于B，由已知可得全等，则，取中点，连接延长交CD于点，连接，可证平面，故当点位于时，，而点与点不一定重合，所以选项B未必成立；对于C，若，则点，分别为线段的中点，由于四点共面，通过空间向量线性运算结合空间向量基本定理可判断；对于D，由已知条件可得，设四棱锥体积为，那么，则，则，，又，故，通过空间向量线性运算结合空间向量基本定理可求出即可判断. 【详解】点，分别满足，，，， 故点，分别位于线段上且与点不重合. 对于A，若,则，点与点重合， 平面与棱交于即平面与棱交于, 由，平面，平面,得平面， 由平面平面,平面,平面可得，故A正确； 对于B,，，那么全等， 则，取中点，连接延长交CD于点，连接， 则有,，那么平面， 故当点位于时，，而点与点不一定重合，所以选项B不一定成立； 对于C，若，则点，分别为线段的中点， 由于，那么 即， 又四点共面，所以， 即， ，又， 所以， 由于不共面，根据空间向量基本定理可知， ，故C正确； 对于D，， 由于，，， 所以， 因为，所以， 设四棱锥体积为，那么， 则， 又平面将该四棱锥分成上、下体积相等， 所以，，又，故， 由选项C可知， ， 由于不共面，根据空间向量基本定理可知， ， 解得（另一组解舍去），所以存在，故D正确. 18．已知向量，，. (1)若，求； (2)设若四点共面，求实数的值 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用空间向量垂直关系的坐标表示求出 ，进而求出的坐标，再利用坐标求出模. （2）由四点共面，得向量共面，建立等式求解即可. 【详解】（1）由，得，解得， 则，而， 因此，所以. （2）若四点共面，则向量共面，设， 即， 因此，解得， 所以的值是. 19．已知，若，则实数的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】D 【详解】 ，即：， ， ， ∴， 解得. 20．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算及夹角公式求解； （2）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，， 则，， 所以； （2）， 因为与垂直， 则， 所以. 考点03 异面直线夹角的向量求法 21．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. (3)若本例条件不变，为的中点，证明： 【答案】(1)证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，即，； (2) (3)证明：因为为的中点，所以， 又因为 所以， 所以，即， 又平面，平面， 所以 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，由，即可证明； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. （3）利用向量证明，再结合平面，平面即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）知 ， 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． （3）略 22．（多选）已知棱长为的正四面体中，、分别为，中点，为的重心，则下列说法正确的是（     ） A．直线与夹角的余弦值是 B．二面角的余弦值是 C．正四面体的外接球表面积为 D． 【答案】ABD 【详解】 对于A，取，，为基底； 由正四面体的棱长为1，得，任意两个基底的夹角为， 则； 、分别为，中点，，； ，即； ，即. . 设直线与夹角为，则，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，得和为等边三角形，边长为； 、分别为，中点，，，； 平面平面，为二面角的平面角. 在中，，，得，故B正确； 对于C，由正四面体，为的重心，得平面. ，为的中点，，. . 正四面体外接球球心在高上，设外接球的球心为，连接，则外接球的半径. 在中，，即，解得. 正四面体外接球的表面积，故C错误； 对于D，为的重心，为的中点， ，故D正确. 23．如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】在直三棱柱中，，. 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 所以. 设异面直线和所成角为， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. 24．如图所示，四面体的棱长，． (1)证明：； (2)求实数a的取值范围； (3)当时，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明：取的中点为，连接. 因为，所以， 又平面，，所以平面. 又平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明以平面. （2）根据三角形三边关系列出不等式，然后求解即可. （3）利用空间向量将表示出来，然后求出向量的数量积，最后利用向量夹角的余弦公式即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）在中，，，所以. 同理，，根据三角形三边关系可知. 所以，化简得，又，解得. （3）， 所以. 在中，，所以. 同理，， 所以. . 由（1）知，所以，又. 所以，即， 又，所以异面直线与所成角余弦值为， 所以异面直线与所成角的大小为. 25．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，．，，． (1)用，，，表示和； (2)求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题可知，在平行六面体中， ， ． （2）由题意，， ， ， ， ， 所以， 所以直线和夹角的余弦值为. 26．已知平行六面体，，，，且分别为线段，的中点，，设，，． (1)用，，表示； (2)求线段的长度； (3)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行六面体的性质及空间向量的线性运算求解即可. （2）根据空间向量的线性运算、空间向量的模的运算及空间向量数量积、数量积运算律求解即可. （3）根据空间向量的线性运算、空间向量的模的运算、空间向量数量积、数量积运算律及异面直线所成角的向量求法求解即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. 因为点为线段的中点，所以. 所以. （2）， ，. 因为，所以. 所以. 所以 ， 所以. 故线段的长度为. （3）因为为线段的中点， 则， 所以. 所以. . 设直线与所成角为， 则. 故直线与所成角的余弦值为. 27．（多选）在棱长为1的正方体中，点是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点在正方形内（含边界），且，则点的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点，使得异面直线与所成的角为 【答案】AC 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；确定轨迹并求出长度判断B；利用点到平面距离公式及锥体的体积公式判断C；求出异面直线夹角余弦范围判断D.. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，因此，A正确； 对于B，点M在正方形内（含边界），由平面，而平面， 得，又，因此， 点M在以点为圆心，半径为的圆周上，点M的轨迹长为，B错误； 对于C，，设平面的法向量， 则，取，得，点到平面的距离， 在三棱锥中，，，因此 ，当且仅当，即点P与点重合时取等号，C正确； 对于D，， ，而， 因此不存在点，使得异面直线与所成的角为，D错误． 28．（多选）在直角梯形中，，，，，．点在线段上，满足．现将沿翻折至的位置，在翻折过程中（点不在底面内），下列说法正确的是（    ） A．四棱锥体积最大值为 B．存在某个位置，使得平面 C．四棱锥外接球表面积的最小值为 D．直线与所成角的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用平面时四棱锥的高最大，即可求得最大体积判断A；利用反证法判断B；建立空间直角坐标系，设球心坐标，结合空间两点距离列式，利用三角函数性质及二次函数求得半径的范围即可判断C；利用向量法求得异面直线夹角的余弦值，利用换元法求得余弦值范围即可判断D. 【详解】因为直角梯形中，，， ， ， 所以为矩形，，， ， ， 对于A，底面矩形的面积为， 四棱锥体积取到最大值时，点P到底面的距离最大， 此时平面，所以四棱锥的高最大为， 所以四棱锥体积最大值为，正确； 对于B，若平面，平面，则，又，平面，所以平面，平面， 所以，又，则，矛盾，错误； 对于C，如图建立空间直角坐标系： 则，设，， 根据四棱锥外接球的球心在平面的投影为矩形的中心， 设，记四棱锥外接球的半径为R，则， 所以， 解得，因为，， 所以，所以，所以外接球的表面积，正确； 对于D，， 设直线与所成角为， 则， 令，则， 因为，所以， 因为在上单调递减，上单调递增，所以， 所以，而当时，，错误. 29．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则.    30．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，以为原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可； （2）利用向量的夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）因为是的中点，且，，故， 所以，所以， 因为，，且， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 考点04 线面角/二面角的向量求法 31．如图，在直三棱柱中，，，点D、E、F分别为，，的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中， 因为，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2），，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3），， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 32．图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面的交线为，平面， 所以； (2)证明：连接， 因为底面为正方形，所以； 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理及线面平行的性质定理证明即可； （2）由面面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 33．如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】(1)证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2)． (3)点N为上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，结合及线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2）设（），分别求出平面与平面的法向量，，利用，求出的值，即可得点的位置. 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 34．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，又 ，故. 35．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)连接，交于点， 因为底面是正方形，所以    是的中点， 又因为E是侧棱的中点， 所以在中，是中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定即可； （2）建立空间直角坐标系，结合线面角公式计算即可. 【详解】（1）略 （2） 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ， ， 因为平面在面内， 可设平面法向量为， 所以设直线与平面所成角为， 则. 36．如图，在边长为2的正方形中，点分别是和的中点，将分别沿折起，使三点重合于点． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【详解】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则， 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则， 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为． （2）设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为， 由线面角公式， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 37．在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面平行的性质得到交线.以D为原点，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的一个法向量，利用空间向量的线面角公式求解. 【详解】在正方体中，上底面下底面. 平面，平面同时与平面、平面相交： 平面平面，平面平面. 由面面平行的性质定理，可得. 以为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，， 所以，即为直线的方向向量. 取平面内两个相交向量：，. 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 38．如图，在三棱锥中，，，O为的中点． (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 【答案】(1)连接，如下图，因为，所以是等腰三角形， O为的中点，由等腰三角形三线合一的性质可知. 因为，所以， ， 在中，， 即是直角三角形，， 则有，，平面，且相交， 由线面垂直的判定定理可知平面. (2) 【分析】（1）连接，可证，由，可知，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则，最后由线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，写出三棱锥各点的坐标，分别求出平面和平面的一个法向量，已知二面角为，则可知两个法向量的夹角是或，利用向量的数量积求出点M的坐标，进而求出向量的模，即求出的长. 【详解】（1）略. （2）以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，，，. 则，设，，，，，. 设平面的一个法向量为，，则， 令，则有，， . 由（1）知，平面，则，则有平面，所以是平面的一个法向量， . ，，，由题设可知，则有，两边化简后平方，最后解出或（不符合，舍去）. 则，，即长为. 39．如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，面，，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为平面，底面是边长为6的正方形， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，，，， 连接交于点，∴，， ∴，故，而平面，平面， 所以平面 (2)（ⅰ）6（ⅱ） 【分析】（1）结合题意，建立空间直角坐标系，连接交于点，利用向量法证明，再结合线面平行判定定理即可证明； （2）（i）设，进而根据平面与平面的夹角的余弦值求得，即，再结合求解体积即可； （ii）设，则，进而根据得，设，进而求得平面的法向量，再结合线面角的向量方法求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：因为，，， 设， 则． 设平面的法向量为， 则即，取，解得，， 则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）设，则， 由（ⅰ）可知为平面的一个法向量， 所以，所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量， 则即，取得，， 则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 40．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)是棱上一点，若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明：因为，所以，． 因为四边形ABCD是菱形，所以． 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别表示出平面与平面的法向量，设，再根据两平面所成角的正弦值为建立等量关系，求出的值即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）记，过点作，则平面， 因为平面，所以，， 即，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示． 设，因为底面是菱形，，所以，， ，，，，． 设，则，即． ，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面的一个法向量． 又，，设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则，所以， 又，所以， 解得（舍）或，所以． 考点05 用空间向量研究距离问题 41．如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． (1)求证: 平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)以为原点，为正方向，建立如图所示空间直角坐标系. . 所以 因为 所以为平面CEF的法向量，所以平面. (2) 【分析】（1）利用平面法向量证明平面即可；（2）先写出平面的方程，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以平面方程为， 即， 所以到平面的距离为 42．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球直径的最小值． 【详解】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点. 又球经过点，则. 所以点到平面的距离为. 所以球直径最小值为． 43．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． (1)证明：； (2)点是线段上的点，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1)，，， ，得， ∵平面平面，且平面平面，平面， 平面，而平面， ． (2) 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再由面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面，且． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 取，得． 设点M到平面的距离为d， 则，解得或（舍）． ． 44．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接，， 由题意知，分别是线段，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， ，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面． 所以平面， 又因为，所以平面平面， 所以平面 (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性质即可得到平面； （2）以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； （3）由（2）知：平面的一个法向量； ，， 设平面的法向量， ，令，得，， 平面的一个法向量是 设二面角为，由图知为锐角 故 45．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理判定平面，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 结合，且．可知， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）连接，由于，且，则, 故，而四边形为矩形，故， 于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有，令，则，即 则点E到平面的距离为：， 则直线到平面的距离为． 46．如图，在梯形中，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：取的中点为，连接， ∵在梯形中，， ∴，即且，则四边形是平行四边形， ∴，在中，， 又∵二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴平面平面. (2). 【分析】（1）先取的中点为，利用直角三角形斜边中线的性质可证明出，再由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明即可. （2）先建立如图空间直角坐标系，再利用异面直线所成角的余弦值求出，再根据点到平面距离的向量表示求解即可. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，连接，∵折叠前，折叠后， 则，又平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 由（1）知四边形是平行四边形，又，∴四边形是菱形，故， 则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 由（1）知，即，∴， 即，， 设异面直线与所成角为， 则，解得，即， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 则点到平面的距离. 47．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标，利用方程组求出平面的法向量，再由向量关系确定点坐标得到坐标，用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，所以. 设，平面PBD的法向量为，则所以 令，则，所以是平面的一个法向量. 又，所以，解得， 即，则， 所以点到平面PBD的距离为. 48．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. (1)证明：. (2)已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)因为，是的中点，所以， 因为是正方形，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； (2)①；② 【分析】（1）求证平面即可； （2）①以为原点建系，计算平面的法向量，再利用距离公式计算； ②设，得出，结合得出，再利用公式求出线面角即可. 【详解】（1）略 （2）①以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角为，，，所以， 因为，，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，所以， 因为，所以，则， 则点到平面的距离为； ②设， 则， 因为在平面上的射影为，所以， 则，得，则， 设，其中，则， 则， 则， 若，则； 若，则， 因为，所以，则当时，有最大值， 故的最大值为. 49．已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面， 由于，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，要证明线面平行，可通过证明平面平面，进而证明结论. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，最后利用点到平面的距离公式求出结果即可. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则. 50．如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，连接，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，求出四边形是矩形，建立空间直角坐标系，利用求出的坐标，求出平面的法向量，利用平面得到，从而求出的值； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积和同角关系式求解； （3）求平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】（1）取的中点，连接，连接， 因为是边长为4的等边三角形，所以，且，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为，，所以. 因为，所以，则， 因为，所以四边形是矩形， 以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设，因为，所以， 解得，则. 设平面的法向量为， 则，. 则，即，， 取，解得， 则平面的一个法向量， ， 因为平面，所以，即， 所以，即，解得. （2）当时，，平面的法向量， 平面的法向量取， 设二面角的大小为，， 则，所以. （3）当时，，， 设平面的法向量为， 则，即，即， 解得，取，解得，则， 点，，， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 考点06 空间向量存在性问题 51．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点． (1)若D为中点，求异面直线BD与EF所成角的大小； (2)若求平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）根据直三棱柱且底面为直角三角形，即可取三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，通过线线角，二面角与向量角之间的关系即可借助空间向量计算． 【详解】（1）三棱柱为直三棱柱，底面； 又， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系； ，且侧面为正方形，； E，F分别为AC和的中点，D为中点， ； ，； 设异面直线BD与EF所成角为， 则； 故异面直线BD与EF所成角的大小为； （2），；则； 取为平面法向量； 设平面的法向量， ，；解得； 令，则； ； 平面与平面DFE所成锐二面角的余弦值为． 52．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)取的中点，连接，， 为中点，是的中位线， ，且， 由题意得，，， 且， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理得：平面. (2) 二面角的余弦值为 设，， ，，则， ，平面的法向量，， 点到平面的距离公式： ， 令，即， ，，即，解得， 故线段上存在满足条件的点， ， . 【分析】取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； 建立空间直角坐标系，利用向量法求解；假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）略. （2），，， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， ，以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由已知得各点坐标： ， 是中点，. ， 设平面的法向量为， 令，解得，得， 平面在平面内，取平面的一个法向量， ， 由图可知二面角为钝二面角， 二面角的余弦值为； 略. 53．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.    (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，. 又，， 又平面且，平面， 又平面，. (2)存在， 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直定理和性质即可证明； （2）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，由二面角的向量公式求得，即可求解的值. 【详解】（1）略 （2）由题意知以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 则， 令，, 设平面的法向量为，则， 取，得， 又平面的一个法向量为， ，化简得， 又，故解得， 故线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时. 54．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点. (1)求证：､､､四点共面； (2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵底面是正方形，则，又∵侧棱底面， 则，， ∴平面，则，二面角的平面角为， ∴，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为∵， 则，令，则，即 ∵，设， 则，∴，又∵， 则，∴， 则， ∵，即， ∴点在平面内，即､､､四点共面. (2) (3)存在，为线段上靠近点的四等分点 【分析】(1)先根据线面垂直的判定与性质分析可得二面角的平面角为，进而确定，进而建系，利用空间向量证明四点共面； (2) 结合（1），利用向量法直接求解即可； (3) 设，利用向量法求得点到平面的距离，再结合三棱锥体积公式列方程求解，验证解的范围即可判断是否存在. 【详解】（1）略 （2）结合（1）可得，则， 平面，即平面，其法向量为， ∵， ∴直线与平面所成角的正弦值. （3）假设线段上存在点满足条件，设， ∵，∴ . 设平面的法向量， ∵， ∴，可得，取， ∴平面的一个法向量， 则点到平面的距离. 又，，且， ∴ . ∴ .令，解得， 故存在满足条件的点.此时的坐标为，即为线段上靠近点的四等分点. 55．（多选）在正方体中，棱长为2，点在线段上运动，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．当E为BD的中点时，点E到平面的距离为 D．存在某点E，使直线与平面所成角为 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并把动点用参数表示：A由"底面积固定、动点到该平面的距离为定值"判断；B用数量积是否为判断线线垂直；C先求平面的方程，再把点的坐标代入求距离；D用线面角公式建立关于的方程，检查解是否落在内. 【详解】以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 点在线段上，故可设（）. A中，，，二者长度都是且数量积为， 所以是直角边长均为的直角三角形，面积为，是定值； 又平面与平面平行，到平面的距离恒等于棱长， 所以为定值，A正确. B中，，，则， 故与不垂直，B错误. C中，当为中点时. 平面的一个法向量为，其方程为. 把代入得，即点就在平面上，距离为，C错误. D中，取平面的法向量，设直线与平面所成的角为， 则. 令，即，两边平方整理得， 解得，其中满足. 所以存在点，使直线与平面所成角为，D正确. 56．已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． (2)在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）略. （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 57．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【详解】（1）作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. （2）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， （3）设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 58．平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． (1)如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（i）由，得平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，又因为， 平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． （ii）. (2)存在，且． 如图，分别取线段的中点，，，， 连接． 首先证明：平面． 因为点，，，在球的球面上，所以， 又因为为公共边， 所以与全等， 因此， 而，所以， 因此，又因为平面， 所以平面，同理平面． 再考虑各二面角的平面角． 由，分别为中点知，， 又因为，所以， 又因为平面，所以为在平面内的射影， 结合三垂线定理知，所以二面角的平面角为，记为， 同理，二面角的平面角为，记为， 由平面平面知，分别为平面，平面的法向量， 所以与的夹角或， 而为锐角，因此， 综上可知，， 且， 所以， 若，则，因此， 即，解得或（舍去）． 综上存在，且． 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； （ii）在平面内作，垂足为，利用线面角的定义得到线面角的平面角，再求出其正弦值即可； （2）作出相关辅助线，首先证明平面，平面，再找到二面角的平面角，从而得到关于的方程，解出即可. 【详解】（1）（i）略； （ii）如图在平面内作，垂足为，连接． 由（i）－知平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，因此为在平面内的射影， 故为与平面所成角的平面角，且， 由知，， 由（i）知平面平面，所以，结合，得， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． （2）略. 59．正方体，，，分别为，，的中点． (1)在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)为线段的中点 (2)． 【分析】（1）根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到结果； （2）根据题意，由面面角的定义即可得到为平面与平面夹角，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 取的中点分别为，连接， 连接，而都经过正方体中心，两两相交，所以多边形为平面六边形，且边长相等，故为平面正六边形． 取的中点，记为，取的中点为，连接． ，，四边形为平行四边形，故， 面，面，面，故线段的中点满足题意． （2） 延长相交于，过作，交于，连接， 面，，为平面与平面夹角， 设正方体边长为2，则，，， 故，平面与平面夹角的余弦值为． 60．如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图1，在梯形中，取边的中点，连接. 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且， 所以平面 (2) (3)侧棱上不存在点，使得二面角的余弦值为. 【分析】（1）先在等腰梯形中构造平行四边形，借助直角三角形斜边中线逆定理证得 ；翻折前后边长不变，结合的长度条件，用勾股定理逆定理证得 ；再依据线面垂直判定定理，证得平面； （2）先根据面面垂直的性质定理确定三棱锥的高线，算出高线长度与底面面积，再利用棱锥体积（底面积乘以高除以3）的公式求解体积即可； （3）先根据几何法作垂线构造二面角的平面角，引入参数表示动点对应的线段长度，结合相似三角形表示出平面角两条直角边长；再由已知二面角余弦值算出正切值，列方程求解参数，最后结合侧棱长度约束参数取值范围，判断点是否存在. 【详解】（1）略 （2）如图2，取棱的中点，连接， 由（1）可知平面，且平面，则平面平面， 因为，且为线段的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积. （3）假设存在满足条件的点. 如图2，作，垂足为，作，垂足为. 由（2）可知平面平面，又，且平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，，所以平面. 因为平面，所以， 则为二面角的平面角. 由翻折知，，且， 在中，由余弦定理： ， 又，故， 设，在中： ， 因为，且， 所以，， 所以，则，故， 由题意可得， 所以， 因为平面，且平面，所以， 所以，则，解得，故. 因为侧棱线段总长，， 所以点落在的延长线上，线段上不存在满足条件的点， 所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $