专题10 圆与圆的位置关系·切线·公共弦问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题10 圆与圆的位置关系·切线·公共弦问题题型突破（六大题型） 考点01 判断圆与圆的位置关系 考点02 由圆的位置关系确定参数或范围 考点03 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 考点04 相交圆的公共弦方程 考点05 圆的公切线条数 考点06 圆的公切线长 考点01 判断圆与圆的位置关系 1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 3．（多选）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 4．（多选）已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．垂直平分 C．直线的方程为 D．线段的长为 5．圆与圆交点为，，则的面积为________. 6．圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 7．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（ ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．当取得最大值时， 8．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 10．在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . (1)求点的轨迹方程； (2)若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 考点02 由圆的位置关系确定参数或范围 11．若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 12．已知圆与圆外切，则a的值为______． 13．在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆上的动点，求的取值范围； (3)点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 14．已知圆：和圆：有条公切线，则______. 15．已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，，，，，则的最小值为______． 17．若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 20．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 21．已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 22．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 24．过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 25．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 26．已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 27．（多选）已知直线，圆，则正确的结论有（   ） A．直线l的纵截距为 B．与圆C关于直线对称的圆的方程为 C．直线l与圆C相交 D．与直线l平行且与圆C相切的直线方程为 28．已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为____________ 29．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 30．已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点的圆N与圆M外切于点，求圆N的方程. 考点04 相交圆的公共弦方程 31．（多选）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 32．已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 33．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 34．（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 35．已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 36．（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 37．已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 39．（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 40．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 考点05 圆的公切线条数 41．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与间的距离是 C．若两条不同直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的必要不充分条件 D．与点和点距离是1的直线有且只有两条 42．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 44．已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 45．圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 46．已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 48．（多选）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 49．（多选）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 50．已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 考点06 圆的公切线长 51．已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 52．（多选）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 53．已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 54．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 55．已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 56．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 57．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 58．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 59．已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 60．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆与圆的位置关系·切线·公共弦问题题型突破（六大题型） 考点01 判断圆与圆的位置关系 考点02 由圆的位置关系确定参数或范围 考点03 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 考点04 相交圆的公共弦方程 考点05 圆的公切线条数 考点06 圆的公切线长 考点01 判断圆与圆的位置关系 1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 2．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 3．（多选）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】ACD 【分析】通过求对称圆的圆心得出对称圆方程判断A；圆心距判断两圆位置关系判断B；根据公切线条数可得两圆的位置关系求解公切线判断C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系判断D. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 选项A： 因为关于点的对称点是，所以圆关于点对称的圆的方程为：，即，故A正确； 选项B： 因为圆心距无解， 所以不存在，使得圆与圆内含，B错误. 选项C： 圆与圆恰有三条公切线，对应两圆外切，此时， 所以公切线的长为，C正确； 选项D： 圆的方程展开为，圆的方程展开为， 两式相减得公共弦所在直线方程为， 公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2），此时直线过圆心， 代入得，解得. 验证圆心距，满足，两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，D正确. 4．（多选）已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．垂直平分 C．直线的方程为 D．线段的长为 【答案】BCD 【分析】由两圆的位置关系判断A；由圆的对称性判断B；联立两圆方程，消去二次项，即可得直线AB的方程，即可判断C；求出两圆的交点坐标，由两点间的距离公式求出的长，即可判断D. 【详解】对于A，因为两圆相交， 所以两圆只有两条公切线，故A错误； 对于B，由图形对称性可知，垂直平分，故B正确； 对于C，联立， 两式相减，得到， 即为直线AB的方程，故C正确； 对于D选项，联立， 可得或， 则，故D正确． 5．圆与圆交点为，，则的面积为________. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，且， 因此是正三角形，其面积为. 6．圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为，即， 所以圆与圆的位置关系是相交. 7．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（ ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．当取得最大值时， 【答案】ACD 【分析】根据直接法求轨迹方程，可判定A正确；根据直线过定点，结合圆的性质，可判B错误；求得以为直径的圆与曲线是否相交，得到是否存在点，使得，可判定C正确；找到与曲线相切时，分别求得和，结合两角和的正切公式，可判定D正确. 【详解】对于A，设，由，可得， 所以，整理得， 所以曲线的方程为，所以A正确； 对于B，直线恒过定点，且曲线的圆心为， 当时，取得最小值，所以B错误； 对于C，由点，， 以为直径的圆的方程为，可得圆心为，半径为， 则， 因为，所以圆与圆相交， 当点为两圆的交点时，，所以C正确； 对于D，如图所示，当与曲线相切，且切点在第二象限时，取得最大值， 此时，则，所以， 因为，所以，所以D正确. 8．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 9．圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 则，，得， 所以两个圆的位置关系是外离. 10．在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . (1)求点的轨迹方程； (2)若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在． 【分析】（1）由数量积公式求解即可； （2）假设存在点满足，得，再联立两个圆的方程判断是否相交即可． 【详解】（1）， 由，得，得， 故点的轨迹方程为：． （2）假设存在点满足， 则， 得， 联立两方程，两式相减，得， 将代入，得， 判别式， 则不存在满足条件的点． 考点02 由圆的位置关系确定参数或范围 11．若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【详解】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 12．已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 13．在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆上的动点，求的取值范围； (3)点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由圆上两点坐标，以及圆心在弦的中垂线上，可确定圆心所在直线方程，再通过联立方程组即可求出圆心，然后通过两点间的距离公式求出半径，即可求解； （2）设，可理解为直线，由于点为圆上的动点，即可转化为该直线与圆的位置关系进行处理； （3）设点，点，通过表示出点坐标，再根据，为圆上不同的两点，构造出方程组，由方程的几何意义出发，转化为圆与圆的位置关系，从而再转化不等式恒成立问题，即可求解． 【详解】（1）已知圆经过点，，则圆心在线段的中垂线上． 又有圆心在直线上，将代入，可得， 则圆心，半径， 故圆的方程为． （2）设，则，即这是斜率为，截距为的直线． 已知点为圆上的动点，则该直线与圆有公共点． 圆心到直线的距离， 化简得，即，则， 故的取值范围为． （3）已知点，点，则，直线的方程为． 设点，则． 设点，且，则． 又有，都在半径为的圆上， 所以，即． 因为关于，的方程组有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以． 又因为，所以对成立． 而在上的值域为， 所以且，即． 当时，线段与圆切于点，不满足题意，所以， 故圆的半径的取值范围为． 14．已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【详解】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 15．已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弦长公式和两点间距离公式列出方程式求解参数，从而求解半径. 【详解】设圆心，圆的半径为，圆心到轴距离， 根据弦长公式可知：， 圆：，圆心，半径，两圆内切可知， 同时，则， 代入得，令， 则， 解得，则 16．已知，，，，，，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】将所求问题转换成与的距离问题，再结合两圆位置关系即可求解. 【详解】    设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， 设点，由可知： 点在以为圆心、半径的圆上， ， 它表示点与点的距离的平方， 因为，两点关于原点对称， 所以的轨迹是以为圆心、半径仍为的圆， ， 又，说明小圆完全内含于大圆， 内含两圆上点的最小距离为， 因此的最小值为. 17．若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由得到，从而两圆有公共点，利用圆心距和两圆半径的关系可得不等式，求出答案 【详解】设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 18．已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 19．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且，所以， 又，解得. 当时，两圆外切，，满足条件； 当时，两圆内切，，满足条件. 所以. 20．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 考点03 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 21．已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 22．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 23．已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 24．过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 25．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】由题意得到，根据两点间距离公式列方程组求出圆半径，代入圆的标准方程求解即可. 【详解】半径相同的圆，交于，两点，若， 则圆的半径. 设圆的圆心坐标为， 则，解得（舍去，此时与圆重合）或. 所以圆的圆心坐标为. 故圆的标准方程为. 26．已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1) 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. (2) (3) 【分析】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 27．（多选）已知直线，圆，则正确的结论有（   ） A．直线l的纵截距为 B．与圆C关于直线对称的圆的方程为 C．直线l与圆C相交 D．与直线l平行且与圆C相切的直线方程为 【答案】ABC 【分析】由已知可得圆心，半径，将直线化为斜截式即可求得纵截距判断A；先求圆心关于直线的对称点，可得对称后圆的方程即可判断B；根据圆心在直线上即可判断C；设平行于l且与圆C相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，即可判断D. 【详解】因为圆，所以圆心，半径， 对于A，直线，即，所以直线l的纵截距为，故A正确； 对于B，因为圆心关于直线对称点为， 所以与圆C关于直线对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，因为圆心在直线上，所以直线l与圆C相交，故C正确； 对于D，平行于l且与圆C相切的直线方程为， 所以，解得或， 所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为和，故D错误. 故选：ABC. 28．已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为____________ 【答案】 【分析】由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程. 【详解】由，则动圆心的轨迹方程为. 为圆上的动点，又， ∴， ∵，，， ∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大. 当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为， ∴外接圆方程为，即. 故答案为：. 29．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 30．已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点的圆N与圆M外切于点，求圆N的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设过点A直线为：，利用过的直线截所得的弦长为，可得直线到圆心距离为1，据此可得答案； （2）由题设所求方程为：，代入可得答案. 【详解】（1）由题，圆M的半径为，圆心为. 设过点A直线为：，因为过的直线截所得的弦长为， 则直线到圆心距离为：，则到距离为1， 即或， 则直线方程为：或，即或； （2）因为所求圆与圆M外切，且切点为， 则设所求方程为：， 代入，得， 则所求方程为： 即. 考点04 相交圆的公共弦方程 31．（多选）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【分析】A选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；B选项，由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程，从而得到中垂线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，根据垂径定理可得的长；D选项，到直线的距离加上半径即为所求. 【详解】A选项，与相减， 化简得，故公共弦所在直线方程为，A错误； B选项，的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程， 即，化简得，B正确； C选项，圆心到直线的距离为， 故公共弦的长为，C错误； D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为到直线的距离加上半径， 即，D正确. 32．已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 33．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 34．（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 【答案】ABD 【分析】A.求解含参数直线的定点，可通过赋值消去参数，令参数对应变量为0，代入直线方程即可求出恒过定点；B.判断两圆位置关系，需先配方得出圆心与半径，通过计算圆心距和半径和、差的大小关系，确定公切线条数；C.求两圆公共弦直线方程，直接将两圆一般方程作差消去二次项，化简后即可得到对应直线解析式；D.求圆外点切线长最小值，依据切线长公式，转化为求圆心到定直线的最短距离，再结合勾股定理计算. 【详解】A 选项，直线：，令，得，即无论取何值，直线恒过定点， A 正确； B 选项，圆，即，故圆心，半径， 圆，即，故圆心，半径， 圆心距，，圆心距等于半径和，两圆外切，外切恰有 3 条公切线，B 正确； C 选项，两圆：① ，② , 两式相减，得公共弦所在的直线方程为，C 错误； D 选项，圆，圆心，半径，是切线，由勾股定理，要最小，只需最小， 是原点到直线的距离，， D 正确. 35．已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 36．（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解. 【详解】由题知圆O的圆心为，半径． 不妨取点，则，故，从而， 所以可以是等边三角形，故A正确； 设点，则，以为直径的圆的方程为， 又圆，两式作差可得直线的方程为， 又，代入可得 ，令解得故直线过定点，故B正确； 四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为圆心到直线的距离，且， 因此四边形面积的最小值为，故C错误； ， 在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，故D正确． 37．已知动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆 (2)存在， 【分析】（1）根据两点间的距离公式及圆的标准方程求解. （2）根据四点共圆及作差法求出公共弦的方程及恒过的点，结合三角形面积公式、点到直线的距离及圆的性质求解即可. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为2的圆． （2）存在，，理由如下： 由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上，即以为圆心、半径为的圆（除去点）上，且轴， 则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 38．（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 39．（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 40．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组求出公共直线的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出的大小. 【详解】 联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点， ， 在中，， 所以， 所以. 考点05 圆的公切线条数 41．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与间的距离是 C．若两条不同直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的必要不充分条件 D．与点和点距离是1的直线有且只有两条 【答案】BC 【详解】对于A，直线方程整理为，则斜率． 直线倾斜角的范围是，且需满足． 例如，则，此时倾斜角，与不相等， 故直线的倾斜角不一定为，故A错误； 对于B，两条直线的方程为和， 先将系数化为一致，即变为． 故两条直线的距离为，故B正确； 对于C，若，则倾斜角，且倾斜角范围． 当时，和无意义，则不成立，故充分性不成立； 若，且，则，故，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，设点和点，则． 与、距离均为1的直线，需满足到两点的距离均为1， 即直线为两圆（为圆心、1为半径；为圆心、1为半径）的公切线． 两圆半径均为1，圆心距， 故两圆外离，外离的两圆有4条公切线，故符合条件的直线有4条，不是2条，D错误． 42．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 43．设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 44．已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 45．圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 46．已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 47．若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 48．（多选）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD 【分析】将代入直线计算可得A；结合两直线位置关系及所过定点计算可得B；利用圆的性质及点到直线距离公式计算可得C；求出两圆圆心距离及半径之和可得两圆位置关系，即可得D. 【详解】对A：将代入，可得， 故直线必过点，故A正确； 对B：对，令，则，故过点， 又，故与垂直， 结合直线过点，可得点在以为直径的圆上， 圆心为，半径， 故点在圆上，故B正确； 对C：由B知，点在圆上， 由斜率存在，故的轨迹不过点， 故点的轨迹方程为，且不过点， 的轨迹所在圆的圆心为，半径， 到直线距离， 则点到直线距离最小值为， 由图可得，此时点不为，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径， 则，， 故圆与圆相外切， 即有三条公切线，故D正确. 49．（多选）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 50．已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 【答案】 【详解】由圆，得圆心，半径， 又由圆，得，半径， 圆心距，当两圆外离时公切线最多，共有4条， 所以满足， 即存在这样的，故第一空答案为； 由3个公切线交点在轴上，注意到到的距离为1，恰好是的切线， 若也是的公切线，则到的距离为，得，符合外离条件， 此时是一条公切线，它和另外三条公切线的交点都在轴上，满足题意，    设斜率存在的公切线为，由公切线条件可得： ，作商可得：， 可得或， 整理得：或， 当时，代入， 当时，代入， 所以当时，， 当时，， 从而可得三条公切线方程分别为： 由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 则，点到直线的距离为， 所以另外三个交点围成的三角形面积为：. 考点06 圆的公切线长 51．已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 52．（多选）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 53．已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 54．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 55．已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 56．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 57．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 58．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 59．已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 60．已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由为： 由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $