专题09 判断直线与圆的位置关系·最值·参数问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题09 判断直线与圆的位置关系·最值·参数问题题型突破（六大题型） 考点01 由直线与圆的位置关系求参数 考点02 直线与圆的位置关系求距离的最值 考点03 直线与圆中的定点定值问题 考点04 切线问题 考点05 圆的弦长与中点弦 考点06 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 考点01 由直线与圆的位置关系求参数 1．设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 【答案】 【分析】由直线与两圆相切建立关于，的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径， 即，，所以，所以（舍）或者， 则，代入得， ，化简得， 因为直线与圆相切， 所以， 解得（舍去负值），. 2．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线与直线的距离为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据两平行直线间的距离公式即可判断B；求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数可判断C；利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值，可判断D． 【详解】对于A，当斜率为时,倾斜角为，当斜率为时,倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 3．已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，然后对的斜率是否为进行分类讨论，由此列方程求得直线的斜率. 【详解】圆，即， 所以圆是圆心为，半径为的圆. 由于，所以点在圆外. 当直线l斜率为0时，直线的方程为， 圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线l：，则由题意C到l的距离等于，即， 解得，故直线的斜率为. 4．已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先由圆的方程求出的范围，再由直线与圆相交的弦长公式求解即可； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，根据，求解即可. 【详解】（1）因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. （2）当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 5．如果实数满足等式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将其看作过的直线的斜率，利用圆心到直线的距离不大于半径得解. 【详解】由知圆心为，半径为， 由题意可设过点的直线的斜率为， 所以直线方程为，且直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的最小值为. 6．已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意存在点，使得是等边三角形，过作圆的切线，切点为，连接，则，又，即可得到，设，根据距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为原点，半径. 在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接， 则，又， 所以，即，则， 即，解得，故， 所以，点的纵坐标的取值范围为. 7．设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. 8．（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由圆的标准方程即可求解；对于B，设，代入圆的方程中，得关于的一元二次方程，根据方程有实数解，判别式大于等于0，可列出关于的不等式，即可求解；对于C，利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解；对于D，根据几何意义，将所求式子转化为向量与向量的夹角的余弦值的两倍，求出圆的过原点的两条切线方程，得到与向量的夹角的范围，进而求得式子的取值范围. 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 9．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 10．已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆的方程 (2)过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； (3)已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）利用点到直线的距离计算半径即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，根据弦长公式即可求出； （3）令，根据直线与圆的位置关系求出. 【详解】（1）圆心到直线的距离为，即半径为， 故圆的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，， 直线与圆的交点为，此时，符合题意； 若直线斜率存在，设，则圆心到直线的距离为， 因为，所以圆心到直线的距离为，则，得， 此时， 故直线的方程为或； （3）令，则， 因为直线与圆有交点， 所以，得， 故的取值范围为 考点02 直线与圆的位置关系求距离的最值 11．已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点，再计算圆心到定点的距离，分析直线绕定点转动，圆上点到直线距离的最大值、最小值即可. 【详解】直线：可化为 ， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方可得. 故圆心为，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 12．（多选）已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．d，则的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，运用余弦定理即可求解；对于选项B，利用垂径定理即可求解；对于选项C，将转化为，到直线的距离之和的倍即可求解；对于选项D，利用数量积公式即可求解. 【详解】依题意，如图所示： 对于选项A，若，在中，， 所以， 所以，故A错误； 对于选项B，若点到直线的距离为， 由垂径定理易得，即， 解得，故B正确； 对于选项C，， 其几何意义为，到直线的距离之和的倍， 设中点为，则有（梯形中位线）， 因为，所以， 所以在直角三角形中，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即， 所以的圆心到直线的距离为， 所以， 所以，故C错误； 对于选项D，因为， 所以当的夹角为时取得最小值，故D错误. 13．（多选）设、分别为曲线和直线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称曲线到直线的距离为.已知，下面正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A选项利用平行线间距离公式；B选项先求圆心到直线距离，再减去半径；C选项用参数方程求最大值，再代入点到直线距离公式；D选项换元后利用基本不等式求的最小值，最后代入距离公式. 【详解】直线，点到的距离为 曲线到直线的距离，就是上所有点到距离的最小值， A选项：，即，所以，A选项正确； B选项：，令， 则， 所以，因此，不是，B选项错误； C选项：，即上半圆， 令，，则， 当时，即点，取得最大值， 所以，距离，C选项正确； D项：，令，则， 于是， 所以， 由基本不等式，当即时取等号， 所以最小值为，距离，D选项正确. 14．（多选）已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】BC 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则. 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，越小，越大，越大. ， ，，，故B正确. 对于C选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为4,C对； 对于 D 选项，设， 因为，则， 因为，则，且E为的中点， 所以，，()，D 错. 15．已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【分析】首先设与直线平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为， 所以面积的最大值为 16．已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 17．已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点，再计算圆心到定点的距离，分析直线绕定点转动，圆上点到直线距离的最大值、最小值即可. 【详解】直线：可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方. 圆心，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 18．圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 19．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 20．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 考点03 直线与圆中的定点定值问题 21．已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得x轴平分. 【分析】（1）利用相关点法求曲线方程； （2）根据条件转化为直线上存在一点P，使，转化为点为圆心，为半径的圆与直线有交点，即可列式求解； （3）首先设垂直于轴时，满足条件，当不与轴垂直时，设直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求定点的坐标. 【详解】（1）设，，则 因为，所以，， 所以，整理为， 所以曲线的方程为； （2）由条件可知，若存在点，使， 所以四边形是正方形，则， 则以点为圆心，为半径的圆与直线有交点， 所以，解得：， 所以的取值范围是； （3）当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点，使得轴平分； 当直线不与轴垂直时，设，直线为，与曲线联立， 得， ， 设，， ，， 由题可知，，代入，， 化简得，即， 代入韦达定理， 整理为，得， 综上可知，轴上存在点，使得x轴平分. 22．已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； (3)点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）设线段的中点为，得出，代入方程中即可； （2）设，，得出，再令，解一元三次方程即可； （3）设，，，根据条件列关系式，再根据任意性即可列方程组求出. 【详解】（1）设线段的中点为，则， 代入中得，即， 故曲线的方程为； （2）设，， 则，则，， 则， 令，则，即， 得，则， 设，则，得或， 则或； （3）存在，或， 设，，， 因为，所以 ， 则， 因为点是曲线上任意一点，所以， 得或，即或 23．在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． (1)求的方程； (2)已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或 （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 【分析】（1）设动点，根据数量积的坐标表示求点的轨迹方程； （2）（ⅰ）分析可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；（ⅱ）联立方程可得韦达定理，利用消元法可得，代入韦达定理运算求解即可. 【详解】（1）设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． （2）（ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）略 24．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ，所以为定值. (3)证明：设直线的方程为，，，已知，联立 得，，即.所以，.所以.所以.所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由 建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【详解】（1）由已知得圆的半径 . 所以圆的标准方程为. （2）略 （3）略 25．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    26．（多选）已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，即可整理得到曲线的方程，判断A选项；设点H坐标为，由此写出切线方程，然后求得直线的定点，判断B选项；令，由直线与曲线相切时有最值，由圆心到直线的距离建立方程解得最值，判断C选项；构造向量，，当直线与圆相切时，最小，由向量的数量积求得的最大值， 判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以，整理得，故A正确； 对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为， 则直线MN的方程为，整理得， 令，解得，所以直线MN过定点，故B正确；    对于C，令，对于直线，与C相切时有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误；      对于D，，表示点到点的距离，取，，， 则， 当直线与圆相切时，与的夹角最小， 此时在中，，，， 所以，， 所以，故D正确.    故选：ABD. 27．已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1) (2)证明： 曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过 的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）略. 28．已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【答案】4 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由题意可得圆心到直线的距离为定值，进而求出直线方程，最后根据弦长公式即可求出定值. 【详解】圆心坐标为，半径. 令，，消去参数可得，， 所以圆心在直线上运动. 因为直线被圆截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值. 因此直线应与圆心轨迹直线平行. 又直线经过点，所以直线方程为：，即. 所以圆心到直线的距离等于两平行线的距离. 所以定直线被圆截得的弦长始终为定值. 故答案为：4. 29．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点． (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)若A是线段BP的中点，求直线l的方程； (3)证明：为定值． 【答案】(1) (2)或 (3)设，已知， 则， 则， 由（2）可知， 则， 所以为定值． 【分析】（1）根据点斜式方程的概念，设出直线方程，联立方程组，根据有两个交点的条件，列出不等式，求出结果； （2）根据线段中点坐标的性质，列出方程，再联立方程组，以及韦达定理，求出直线斜率，写出直线方程； （3）根据两点之间的距离公式，以及韦达定理，联立方程组，列出方程，证明结果即可. 【详解】（1） 设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时， 得有两组不同的解，消去得， 化简得， 可知，化简得，解得， 所以直线l的斜率的取值范围是. （2）设，已知，当A是线段BP的中点时，可得， 化简得， 由（1）可知为方程的两个解， 则， 当时，， 化简得，解得， 所以直线l的方程或. （3）略 30．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)①； ②证明：直线的方程为，直线的方程为， 消去得：， 由韦达定理可知，将此式代入上式得，， 即，解得， 即直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）设圆心，使其到直线的距离等于半径，即可得解； （2）设出直线，与圆联立，可得， ①由图可知，，再结合韦达定理，利用换元法与函数单调性，即可求得面积的最大值； ②写出直线与的方程，联立消去得，再结合非对称韦达定理的应用，即可求出定直线. 【详解】（1）设圆心为，，则圆的方程为， 圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，，设的方程为，，， 联立，消去并整理得， 则，， ①四边形的面积， 令，则，所以， 易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故. ②略 考点04 切线问题 31．过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时，直线与圆心距距离，为圆的切线； 当斜率存在时，设切线方程，即. ，整理得. 切线方程得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 32．已知圆C经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据圆心及过原点可得半径，据此得出圆的方程； （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分切线斜率不存在、存在两类情况求解. 【详解】（1）因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为． （2）当斜率不存在时，过点的直线方程为，圆心到的距离为1等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 33．已知点，圆. (1)若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. (2)若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式列式求解. （2）按直线的斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为， 由弦的长为，得，所以. （2）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到此直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 34．已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把直线方程化为一般式得，根据垂径定理可知圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式求的值； （2）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，从而得到所求切线方程. 【详解】（1）设圆心到直线即的距离为，那么 弦长，解得，， 根据点到直线的距离公式可知，解得，. （2）当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离，与圆相切； 当直线斜率存在时，设方程为即，那么 圆心到直线距离，解得，, 此时切线方程为; 综上，过点的圆的切线方程为或. 35．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， ∵、是圆的切线，∴，，即， ∴、、、四点共圆，的外接圆即为四边形的外接圆，该外接圆的直径为线段， ∵，圆心为，∴的中点坐标为，即，半径， ∴外接圆方程为. 36．已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， (1)若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 (2)求满足条件的点的轨迹方程． 【答案】(1)（i）或. （ii）2 (2) 【详解】（1）将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且， 由圆的性质可得，， 所以. （2）设，则，， 由圆的性质可得，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 37．已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 【答案】，，． 【分析】设直线方程为，，利用圆心到直线的距离为半径可得的值，从而得到切线方程. 【详解】设圆的切线方程为或， 由圆心到直线距离，， 得或，， 所以切线方程为，，． 38．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 39．（多选）已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 40．（多选）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 考点05 圆的弦长与中点弦 41．（多选）已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（     ） A．的最大值是6 B．面积的最大值为 C． D．的最大值是-5 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式的概念，求出直线经过的定点，然后根据直线与圆的位置关系，判断弦长最大时的情况，判断选项A的正误；根据三角形面积公式，和圆的弦长公式，利用弦心距表示出三角形面积，判断弦心距的范围，进而求出三角形面积的范围，判断选项B的正误；根据向量加法和向量数量积的运算律，以及勾股定理，对进行化简变形，进而判断选项C的正误；根据向量数量积的定义，以及余弦定理，利用弦心距的范围，求出的范围，进而求出的范围，判断选项D的正误. 【详解】由题意得，即定点， 弦的最大值是直线经过圆心时的直径长，即的最大值是6，所以A正确； 设圆心到直线的距离为，可知，所以， 可知圆半径，所以， 则， 由，得，所以的最大值为，所以B错误； 作的中点，可得， 所以 ，所以C正确； 可知， 当经过原点时，，此时，即， 当不过原点时，由，取得最小值，即，得， 可知， 所以，所以， 综上可得，所以D正确； 42．已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点满足的几何关系，求出点的轨迹方程，再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度. 【详解】将圆的方程化为标准形式：， 得圆心，半径， 设弦中点， 由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即， ，，于是， ， ， 因为点是圆内的弦中点， 所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， 两式相减：， 代入，得， 即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设， ， ，， 由弧长公式， . 43．已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）已知圆经过，，三点，设圆的一般方程为，其中， 将各点代入方程，可得，解得， 所以圆的一般方程为. （2）由（1）可知，圆的一般方程为，即，圆心，半径， 如图所示，圆心到直线的距离， 根据弦长公式，弦长. 44．已知圆的圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知点，过点的直线与圆交于两点（在之间），若，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 根据圆的一般式写出圆心的坐标为，代入直线方程求出，即可得到圆C方程； （2） 与同高，面积之比转化为底边长之比，得到； 取弦中点，由垂径定理得，设，找到关系并列出方程求出，进而求得弦长． 【详解】（1）由圆可知圆心的坐标为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得，则圆心的坐标为， 所以圆的方程为； （2）因为与同高，所以三角形面积之比可转化为底边长之比， 又，所以， 取中点，则， 令，则，， 由垂径定理可知， 在中， 在中， 所以，得，解得， 所以线段． 45．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用垂径定理结合条件求出，即得点的轨迹为圆，写出其轨迹方程即可. 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 46．已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________. 【答案】 【分析】先利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以， 所以. 47．设直线：与圆：交于，两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线：的距离， 所以. 48．平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求的值； (3)若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）已知圆心，根据圆经过点求半径，即可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据圆心到直线的距离等于圆的半径可求的值. （3）根据直线与圆相交，所得弦长的最大值为直径，可直接得出答案. 【详解】（1）因为圆心为，可设圆的标准方程为. 因为圆经过原点，所以. 所以圆的标准方程为：. （2）因为与圆相切， 所以， 所以或. （3）直线表示过定点，且斜率为的直线， 因为，所以点在圆的外边. 若直线与圆相交于,两点，则； 又直线过圆心，即时，为圆的直径，取得最大值，为. 综上，. 49．（多选）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【答案】ACD 【分析】利用圆的切点弦（极线）方程表示直线，再结合切线长和点到直线距离，分别判断各选项． 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为． 设，由在直线上，得． 由圆的切点弦方程，直线满足， 即． 当时，由得， 所以的方程为，选项A正确； 对于B，此时． 在直角三角形中，，且． 又平分等腰三角形的顶角， 所以，不等于，选项B错误； 对于C，由于，，且， 四边形的面积为． 又，所以四边形面积最小时，取最小值， 即为圆心到直线的垂足． ， 故，选项C正确； 对于D，圆心到直线的垂足为． 代入切点弦方程，得， 即，选项D正确． 50．（多选）已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定；对B，连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定；对C，由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定；对D，设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定. 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为， 所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误； 对于B，因为是弦中点，连接，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，设，且，，可得，， 所以， 因为动点的轨迹方程为，设，可得， 因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确. 考点06 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 51．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A． B．16 C． D．15 【答案】A 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解． 【详解】已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为．    52．已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，由得到三点共线，设弦的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形是直角梯形，且R是的中点，则是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】， ，解得，则， ,三点共线， 设弦的中点为，连接，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则到的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形是直角梯形，且R是的中点， 则是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为． 53．已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 54．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 55．（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 56．在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 57．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点､间的距离为，动点与､距离之比为，当､､不共线时，面积的最大值是___________. 【答案】 【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则、，设， ∵，∴， 两边平方并整理得：， 可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 要使的面积最大，只需点到（轴）的距离最大， 所以当点坐标为或时，面积的最大值是. 58．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是________. 【答案】 【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则、，设， ∵，∴， 两边平方并整理得：， 可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 要使的面积最大，只需点到（轴）的距离最大， 所以当点坐标为或时，面积的最大值是. 59．（多选）已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是（    ） A． B．点Q的轨迹方程为 C．点Q到直线距离的最小值为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】选项A：利用向量的减法和相等向量的定义求解.选项B：设，，求出，，，由得到，，由在圆：上， 得到的方程，从而得解.选项C：利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为，则点到直线的最小距离为，计算得解.选项D：利用向量的数量积公式求出，由点的轨迹方程为得到圆心和半径，从而得到的取值范围，继而求出的取值范围，从而得解. 【详解】选项A：因为，可得，即， 所以，则A正确. 选项B：设，，则，，， 因为，所以，，即，， 因为在圆：上， 所以， 因为，，所以， 即，则B正确. 选项C：点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最小距离为，则C错误. 选项D：，由选项B知， 点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 则的取值范围是，则的取值范围是，则D正确. 60．已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 判断直线与圆的位置关系·最值·参数问题题型突破（六大题型） 考点01 由直线与圆的位置关系求参数 考点02 直线与圆的位置关系求距离的最值 考点03 直线与圆中的定点定值问题 考点04 切线问题 考点05 圆的弦长与中点弦 考点06 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 考点01 由直线与圆的位置关系求参数 1．设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 2．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线与直线的距离为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 3．已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 4．已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 5．如果实数满足等式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 8．（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 9．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆的方程 (2)过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； (3)已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 考点02 直线与圆的位置关系求距离的最值 11．已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 12．（多选）已知是圆上的两点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．d，则的最大值为 D．的最小值为 13．（多选）设、分别为曲线和直线上的动点，若线段的长度存在最小值，则称曲线到直线的距离为.已知，下面正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（多选）已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 15．已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 16．已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 17．已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 18．圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 19．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 20．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 考点03 直线与圆中的定点定值问题 21．已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 22．已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； (3)点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 23．在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． (1)求的方程； (2)已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 24．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 25．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 26．（多选）已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 27．已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 28．已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 29．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点． (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)若A是线段BP的中点，求直线l的方程； (3)证明：为定值． 30．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 考点04 切线问题 31．过点作圆的切线，则的方程为________. 32．已知圆C经过坐标原点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 33．已知点，圆. (1)若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. (2)若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 34．已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 35．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 36．已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， (1)若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 (2)求满足条件的点的轨迹方程． 37．已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 38．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 39．（多选）已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 40．（多选）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 考点05 圆的弦长与中点弦 41．（多选）已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（     ） A．的最大值是6 B．面积的最大值为 C． D．的最大值是-5 42．已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 43．已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长． 44．已知圆的圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知点，过点的直线与圆交于两点（在之间），若，求线段的长度. 45．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 46．已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________. 47．设直线：与圆：交于，两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 48．平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求的值； (3)若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 49．（多选）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 50．（多选）已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 考点06 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 51．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A． B．16 C． D．15 52．已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 53．已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 54．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 55．（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 56．在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 57．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点､间的距离为，动点与､距离之比为，当､､不共线时，面积的最大值是___________. 58．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是________. 59．（多选）已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是（    ） A． B．点Q的轨迹方程为 C．点Q到直线距离的最小值为 D．的取值范围是 60．已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $