专题01 空间向量共线·空间向量共面·数量积问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题01 空间向量共线·空间向量共面·数量积问题题型突破（六大题型） 考点01 空间向量加减运算的几何表示 考点02 由空间向量共线求参数或值 考点03 空间共面向量定理的推论及应用 考点04 空间向量共面求参数 考点05 求空间向量的数量积 考点06 空间向量数量积的应用 考点01 空间向量加减运算的几何表示 1．（多选）在平行六面体中，下列选项化简后不等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 2．四边形和四边形均为正方形，，，动点、分别在和上，，则的最小值为________． 3．（多选）已知平面，是平面外的一点，若平面，则下列关系可能成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 5．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 9．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 考点02 由空间向量共线求参数或值 11．已知，若，则m的值为______． 12．已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 13．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 14．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 15．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 18．若，，三点共线，则（   ） A．169 B．144 C． D． 19．已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________． 20．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 考点03 空间共面向量定理的推论及应用 21．已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 22．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 23．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 24．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，． 25．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 26．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 27．（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 28．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 29．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 30．已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 考点04 空间向量共面求参数 31．已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 32．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 33．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 34．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 35．（多选）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 36．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 37．已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 38．已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 39．在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 40．已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 考点05 求空间向量的数量积 41．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 42．如图，在三棱锥中，，则_______． 43．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则__________． 44．在如图直三棱柱中，，则______． 45．已知正四面体的棱长为分别为棱的中点，则的值为（   ） A． B．2 C．-2 D． 46．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 47．在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 48．（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 49．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 50．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 考点06 空间向量数量积的应用 51．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 52．已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4 B． C．8 D． 53．已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 54．（多选）现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，，平面，，，，点为线段的中点，则（   ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D． 55．在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 56．已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 57．（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 58．（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 59．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 60．已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量共线·空间向量共面·数量积问题题型突破（六大题型） 考点01 空间向量加减运算的几何表示 考点02 由空间向量共线求参数或值 考点03 空间共面向量定理的推论及应用 考点04 空间向量共面求参数 考点05 求空间向量的数量积 考点06 空间向量数量积的应用 考点01 空间向量加减运算的几何表示 1．（多选）在平行六面体中，下列选项化简后不等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用平行六面体向量运算法则，结合向量加减法、相等与相反向量对每个表达式拆分合并，判断结果是否为零向量. 【详解】选项A：由平行四边形法则得，平行六面体中，故，不符合要求； 选项B：由向量减法法则得，再由三角形法则得，符合要求； 选项C：由三角形法则得，平行六面体中，故，不符合要求； 选项D：，，代入得原式，符合要求.    2．四边形和四边形均为正方形，，，动点、分别在和上，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】四边形和四边形均为正方形，，得，；求出的表达式，根据模长公式计算即可. 【详解】四边形和四边形均为正方形，. ，设，则. . ， . . ，，当时，取得最小值，即. 3．（多选）已知平面，是平面外的一点，若平面，则下列关系可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A项，因为在平面外，不共面，系数之和不为1，故，A错误； 项，，而可能成立,B正确； C项，由平面向量基本定理知C正确； D项，因为在平面外，不共面，系数之和不为1，故，D错误． 4．已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法法则即可计算． 【详解】如图： 则. 5．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由且，得． 因为为的中点，所以． 因此． 6．（多选）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由平行六面体的性质，，． ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 7．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 8．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 9．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 10．已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算计算可得到结果. 【详解】因为点为线段的中点，所以 因此 故选：B. 考点02 由空间向量共线求参数或值 11．已知，若，则m的值为______． 【答案】 【详解】已知， 因为，则， 可得，解得． 12．已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点P的坐标为， ，则， ，解得. 13．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 14．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 15．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 16．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 17．已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 18．若，，三点共线，则（   ） A．169 B．144 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示求出即得. 【详解】依题意，，，由，，三点共线， 得，则，解得，，所以. 故选：A 19．已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三点共线，转化为（），再结合与不重合，确定的范围，对赋值，求解即可. 【详解】因为 所以，， 当三点共线时，（） 所以，即， 因为与不重合，所以且， 假设，则， 所以使三点共线一个点的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 20．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 考点03 空间共面向量定理的推论及应用 21．已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 【答案】10 【分析】设，由题意结合向量共线定理可得，进而可得，于是，进而可求四面体与的体积之比. 【详解】如图，设，且表示到的距离，表示到的距离， 由的面积之比，所以， 设表示到的距离，表示到的距离， 同理，即，    则，即， 所以， 因为B，，F三点共线，则，解得， 由，可得，则，且， 于是，即， 若分别表示到平面的距离， 所以. 22．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 23．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1) 证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. (2) 由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证； 方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证. （2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面 【详解】（1）略 （2）略 24．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又， 所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以， 所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 25．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    26．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案. 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A 27．（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当时，由平面向量线性运算法则可知点在线段上，利用等体积法求出体积可判断A；当时，由共线定理可得点在线段上，根据对称性将的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线与所成角为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当时，取的中点为，由共线定理可知三点共线，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 【详解】对于A，取相交于点的中点为，如下图所示： 当时，即， 由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，又, ；即A不正确； 对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上； 由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以； 取平面进行平面距离分析，如下图所示： 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时点为线段的中点，即的最小值为，故B正确； 对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内， 若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为； 则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图所示： 所以动点的轨迹长为，故C正确； 对于D，当时，取的中点为，即； 由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示： 易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为； 作于点，设，易知， 因为，则，得，则， 设外接球半径为，则，解得； 所以， 由二次函数的性质可知，当时，半径最小为；当时，半径最大为； 又，所以半径的取值范围是，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据向量线性运算法则和共线定理的应用，确定点的位置，再根据几何体特征利用对称性即可求得距离之和的最小值，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围. 28．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 29．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 30．已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 【答案】(1)证明： 因为， 由共面向量的基本定理，可得是共面向量 又因为有公共点，所以四点共面. (2)证明： 因为， 则 ， 所以. (3)证明： 由（1）及， 可得， 所以，即. 【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解； （2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）略； （2）略； （3）略. 考点04 空间向量共面求参数 31．已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 【答案】 【分析】根据共面定理得到，再化为，即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以，使得， 即， 又， 故，所以. 32．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 33．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 34．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 35．（多选）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 36．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 37．已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 38．已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【分析】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 39．在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 40．已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【答案】/4.5 【分析】由题意分析出向量共面，即存在唯一的有序实数对，使得，据此列出方程组，即可求出实数. 【详解】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 考点05 求空间向量的数量积 41．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，根据向量模的定义可知，故A正确； 对于B，，等号左边运算结果是数字，等号右边在向量的运算中无定义，所以不成立，故B错误； 对于C，等号左边， 等号右边，二者只有在时相等，其余情况不相等，故C错误； 对于D，根据数量积运算律，，故D正确. 42．如图，在三棱锥中，，则_______． 【答案】/ 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为 43．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则__________． 【答案】 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 因为底面是边长为的正三角形，则为边上的高， 所以，. 因此 44．在如图直三棱柱中，，则______． 【答案】0 【详解】由题可知，， 所以 . 45．已知正四面体的棱长为分别为棱的中点，则的值为（   ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理将用和表示，再将展开，利用正四面体棱长及夹角求出各点积，最后代入计算。 【详解】 因为为中点，为中点， 所以 于是 在正四面体中,棱长为，各面均为等边三角形， 所以 所以 46．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 【答案】 【分析】先构造一个正方体，再用正方体截成一个正四面体，从而可得正四面体棱长，再通过等体积法计算内切球的半径及外接球的半径，再由向量的运算得，从而可得所求值. 【详解】由题意，球是正四面体的内切球，设正四面体棱长为，所以截四面体的正方体的棱长为， 正四面体的体积由正方体的体积减去个体积相等的三棱锥的体积得到， 所以正四面体的体积，因此，解得. 设正四面体的内切球半径为，正四面体表面积​​， 由等体积法：，即​​，解得. 因为球面上两点的最大距离为球的直径， 因此当最大时，是球的一条直径，此时. 因为中点即球心，有，，且， 因此： ， 因为点在正四面体表面上，正四面体的内切球心到正四面体顶点的距离（即外接球半径）， 也是正方体的外接球半径​​， 即正四面体表面上的点到的最大距离为，所以， 所以. 因此的最大值为. 47．在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合正四棱台的结构特征建立直角坐标系求出棱台的高，再利用棱台的体积公式计算得解. 【详解】设正四棱台的高为，由于四边形都是正方形，设其中心分别为，连接， 如图，以为原点，过点且与垂直的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 作于， 因为，由勾股定理得，所以， 由题意得，所以四边形是平行四边形， 所以， 故点，，，， 则，， 所以， 由于，即，解得， 所以正四棱台的体积，故A正确. 48．（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 49．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 50．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 考点06 空间向量数量积的应用 51．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故在上的投影向量. 52．已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】因为，的夹角为，所以， 所以， 所以. 53．已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 【答案】①②④ 【分析】设四面体中，，，，根据已知条件得到：，对于①：求出，从而得到；对于②：分别求出，，，从而得到；对于③：举出反例即可；对于④：分两类讨论：型和型，最后求和. 【详解】设四面体中，，，， 又因为：，即，即； ，即，即， 令. 对于①：，， ， 因此，①正确； 对于②：，， ， ，， ， ，， ， 所以.②正确； 对于③：正四面体，满足，， 但正四面体的四个面均为等边三角形.③错误； 对于④：存在7个不同的平面使四个顶点到平面的距离相等， 分两类： 型：1个点在平面一侧，3个点在平面另一侧，共个； 型：2个点在平面一侧，2个点在平面另一侧，共个. 总计个平面，④正确. 54．（多选）现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，，平面，，，，点为线段的中点，则（   ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质可判断A；通过判断与是否共线，即可判断B；由题意可得，，即可判断C；求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面ADFE， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为为等腰梯形，为线段的中点， 所以， 而与不共线， 所以不存在实数，使得，故B错误； 对于C，因为为等腰梯形，且，，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，由题意可得，所以， 同理可得, 在中，， 由余弦定理可得, 所以，故D正确. 55．在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】取中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终计算夹角余弦值. 【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，， 又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD， 所以平面ABD，所以，所以． ， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则． 设AC与BD夹角为，则． 56．已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系建立长度关于在直线上的射影的长度的函数，然后得到当，即重合时，取得最小值7，. 【详解】设在直线上的射影分别为， 因为， 所以 . 当，即重合时，取得最小值7，所以. 57．（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 58．（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.    对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 59．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 60．已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $