专题08 圆的标准方程·一般方程·参数问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题08 圆的标准方程·一般方程·参数问题题型突破（六大题型） 考点01 求过已知三点的圆的标准方程 考点02 圆的一般方程与标准方程之间的互化 考点03 圆过定点问题 考点04 轨迹问题-圆 考点05 点与圆的位置关系求参数 考点06 定点到圆上点的最值(范围) 考点01 求过已知三点的圆的标准方程 1．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 2．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． (1)直接写出直线，的斜率，； (2)设与交于点，与交于点，与交于点． （ⅰ）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）求过，，三点的圆的方程． 8．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 9．已知平面直角坐标系中，，，圆是的外接圆. (1)求圆的方程： (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程 10．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 考点02 圆的一般方程与标准方程之间的互化 11．已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 12．已知方程表示圆，则的面积为（    ） A． B． C． D． 13．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 14．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．点和圆上的点的距离的最小值是________． 16．（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 17．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 19．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 20．由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 考点03 圆过定点问题 21．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 22．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 23．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 24．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 26．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 27．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 28．（多选）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 29．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 30．已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点04 轨迹问题-圆 31．已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 32．已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 33．在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 34．对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 35．（多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 36．阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 37．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 38．在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为________. 39．已知实数满足，，，则的最大值为________ 40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 考点05 点与圆的位置关系求参数 41．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 42．若圆（）经过坐标原点，则（     ） A． B． C． D． 43．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 44．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 45．（多选）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 46．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．（多选）下列说法正确的是（   ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充要条件． B．直线的倾斜角的取值范围是． C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是． D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是． 48．（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 49．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值可能是（    ） A． B． C． D． 考点06 定点到圆上点的最值(范围) 51．（多选）下列命题中，正确的是（     ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．若直线与平行，则与的距离为 C．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 D．点为圆上任意一点，则的最大值为 52．已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 53．（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 54．在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 55．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 56．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 58．设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 59．已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 60．（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的标准方程·一般方程·参数问题题型突破（六大题型） 考点01 求过已知三点的圆的标准方程 考点02 圆的一般方程与标准方程之间的互化 考点03 圆过定点问题 考点04 轨迹问题-圆 考点05 点与圆的位置关系求参数 考点06 定点到圆上点的最值(范围) 考点01 求过已知三点的圆的标准方程 1．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 2．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 3．已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆的半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解. 【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图，    （为边的中点），由外接圆的性质得， 因为为锐角且，所以， 设外接圆的半径，则， 因为，所以，， 所以，，，设， 则外接圆的方程为：， 因为， 所以. 则，解得， 则， 代入外接圆方程得： ，整理得：， 由基本不等式得：，当且仅当取等号. 化简得：，解得或， 由图知：，所以，故的最大值为. 4．已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 5．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 6．已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． (1)直接写出直线，的斜率，； (2)设与交于点，与交于点，与交于点． （ⅰ）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）求过，，三点的圆的方程． 【答案】(1)， (2)（ⅰ），，，线段的垂直平分线的方程为； （ⅱ） 【分析】（1）根据直线方程写出斜率即可； （2）（ⅰ）联立方程可求交点坐标，结合垂直关系和中点可求线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）根据圆的特征可求圆心和半径，写出方程即可. 【详解】（1）:的斜率为，：的斜率为. （2）（ⅰ）联立，可得; 联立，可得; 联立，可得; 线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （ⅱ）由图可知,过，，三点的圆即是以线段为直径的圆，   ，圆心为，所以过，，三点的圆的方程为. 8．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 9．已知平面直角坐标系中，，，圆是的外接圆. (1)求圆的方程： (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过代入三点坐标到圆的一般方程，求解出圆的方程. （2）利用弦长、半径和弦心距的关系求出距离，再结合点到直线的距离公式分类讨论斜率存在和不存在两种情况，进一步得出直线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为，因为圆是的外接圆， 所以，，在圆上，将三点代入圆的方程可得： ，解得， 所以圆的方程为， 即. （2）因为过点的直线被圆所截得的弦长为，圆的半径为， 弦长一半为，则弦心距为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为2，满足条件， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 由圆心到直线的距离公式可得：， 对以上式子两边平方，则，进一步化简可得： ， 解得，即直线方程为. 综合可得直线方程为或. 10．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 考点02 圆的一般方程与标准方程之间的互化 11．已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆方程，对应，， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 12．已知方程表示圆，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程整理可得， 由题意可得：，解得， 且，则，可得圆的半径， 所以的面积为. 13．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 【答案】 【详解】若方程表示圆，则，得，故的取值范围为. 14．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 15．点和圆上的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【详解】因为圆的方程化为标准式为， 可知圆心，半径， 则，当且仅当时，等号成立，可知点在圆外， 所以点和圆上点的最小距离． 16．（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 17．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 18．若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 【答案】C 【分析】利用换元法转化为圆的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解. 【详解】令，，所以，则. 因为，所以， 则（，）， 则点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分， 则表示点到坐标原点的距离， 由图可知，该距离的最大值为， 此时，，即，，所以的最大值为. 19．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 则圆的半径为2. 故选：B. 20．由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程说明曲线的对称性，再计算曲线在第一象限的部分，即弓形的面积，由对称性即得答案. 【详解】由于把方程中的分别用代换，方程没有发生变化， 所以方程表示的曲线关于轴和原点对称， 当时，方程， 所以该方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，如图： 因该方程表示的曲线在第一象限部分是一个弓形，其面积为， 由曲线的对称性可知曲线在各象限的部分均全等，故面积都相等， 所以曲线围成的图形的面积为：， 故选：D 考点03 圆过定点问题 21．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 22．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 23．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 24．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________. 【答案】 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 26．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 27．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 28．（多选）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 【答案】AD 【分析】由圆心在中垂线上可知A正确；根据可求得范围，知B错误； 求得坐标后，代入圆的方程可表示出，结合范围可求得，知C错误； 将圆的方程整理为，由此可求得定点，知D正确. 【详解】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确； 对于B，与轴交于两点，，解得：， 即且，B错误； 对于C，设在左侧，由得：，则， 设圆：，又， ，解得：， 且，，C错误； 对于D，由C可知，圆：， 即，， 令，解得：或，圆恒过定点或，D正确. 故选：AD. 29．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心到直线的距离，对于圆心到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上． 【详解】解：抛物线的标准方程为：， 抛物线的准线方程为，焦点为． 设动圆圆心为，则到的距离：． 动圆与直线相切， 到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点． 此圆恒过定点． 故选：B． 30．已知抛物线与轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，令求得，可得圆过两个定点可得答案. 【详解】设过三点的圆的方程为， 由题意可得时，与等价，可得， 圆的方程即为，由圆过可得， 可得，即圆的方程为， 整理得，因为为任意实数方程都成立，所以 解得或，所以圆过定点和， 此时过两点的弦长为定值， 过两点的直线方程的斜率为， 所以过两点的直线方程的为，即为. 故选：A. 考点04 轨迹问题-圆 31．已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】由分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点， 可得：点的轨迹为圆， 设存在点对于圆上任意一点都满足，， 则点到点的距离为点到点的距离的两倍， 点到点的距离为点到点的距离的两倍，， 对圆上的点任意一点， 都有相似三角形关系（两边成比例，共角）， 因此 则圆上的点满足: ， 所以， 因为， 所以. 32．已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 【答案】 【分析】求出定点、坐标后，结合与的位置关系可得点轨迹，即可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】对，当时，，故， 对，当时，，故， 由，故， 故点在以为直径的圆上（不包括，两点）， 则，故, 则， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 33．在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先以为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，进而发现点轨迹为一个圆，而为中点，则可求出点到直线距离的最大值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，以为原点，为轴正方向，则， 设，则，化简得， 的轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到直线距离最大值为，而为中点， 故点到直线距离最大值为， 所以面积最大值为． 34．对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 35．（多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项可通过分离参数求直线过的定点判断；B先求两直线定点及垂直关系，再用勾股定理求平方和即可判断；C利用参数方程表示和，结合辅助角公式求最大值；D由确定的轨迹为圆，再用圆心到原点的距离减去半径求最小值. 【详解】对于A：由得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于B：由得，故直线恒过定点, 由和, 满足，所以， 所以，则,所以B正确； 对于C：因为, 且，设为锐角, 则, ， 所以, 其中， 所以当时, 取最大值, 故选项C错误； 对于D：由,取中点，所以,所以在以为直径的圆上，圆心为中点，半径， 原点到圆心的距离，故 ，所以D正确. 36．阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 37．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 38．在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定线段中点的轨迹，再借助圆外的点与圆上点距离最值求法求解. 【详解】取线段的中点，由，得为等边三角形，， 因此点在以为圆心，以3为半径的圆上运动，则，而，于是， 所以， 所以的取值范围为. 39．已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算即可求解； （2）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算，并代入检验即可. 【详解】（1）设点.由， 可得，整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 可得，解得 (舍去)或，所以. 设点，因为， ， 所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 考点05 点与圆的位置关系求参数 41．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 42．若圆（）经过坐标原点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若圆经过坐标原点， 则，又，所以. 43．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 【答案】8 【分析】将条件转化为单位圆上互相垂直的两点，通过三角换元设点坐标，去掉绝对值后把目标式化简为正弦型函数，进而求出最大值． 【详解】已知，，则是单位圆上两点， ，则， 设点，则， ， ， 令， 则 ， ，故， 故的最大值为8． 44．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 45．（多选）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】根据已知的三点坐标确定圆的标准方程，利用圆心和半径的性质判断直径关系，从而验证选项A和B，选项C，通过向量垂直的条件转化为圆的交点问题，结合几何特征分析存在性；选项D，利用点与圆的位置关系转化为距离不等式求解参数范围. 【详解】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误. 故选：AB 46．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 47．（多选）下列说法正确的是（   ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充要条件． B．直线的倾斜角的取值范围是． C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是． D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是． 【答案】BC 【分析】根据两直线垂直，列出方程，求得的值，可判定A错误；求得直线的斜率，得到直线的倾斜角，可判定B正确；根据圆的性质，列出不等式组，求得的范围，可判定C正确；当直线过原点时，求得直线方程为，可判定D错误． 【详解】对于A，由直线与直线互相垂直，可得， 即，解得或，所以A错误； 对于B，由直线，可得直线的斜率为， 则直线的倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由圆，可得圆心为，则， 若圆上恰有两点到点的距离为1，则满足，解得， 所以的取值范围是，所以C正确； 对于D，当所求直线过原点时，此时直线方程为； 当所求直线不过原点时，设直线方程为， 将点代入，可得，解得，即， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或，所以D错误． 故选：BC. 48．（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 49．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 50．已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程表示圆，则，解得， 又过点作C的切线有两条，所以点P在圆外，则， 即恒成立，即， 所以实数的取值范围为，结合选项，可得选项AD符合题意. 故选：AD. 考点06 定点到圆上点的最值(范围) 51．（多选）下列命题中，正确的是（     ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．若直线与平行，则与的距离为 C．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 D．点为圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的性质判断A，利用平行线间的距离公式判断B，利用方向向量与直线斜率关系可判断C，利用圆的几何意义判断D． 【详解】对于A，当时，直线等价于， 由于且，所以直线的斜率，轴上的截距为， 即该直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，故A正确； 对于B，由直线与平行，则， 此时可化简直线与， 再由平行线间距离公式得直线与间的距离为，故B正确； 对于C，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，故C正确； 对于D，由于可以看成动点到原点距离的平方， 即可求圆心到原点的距离为，而圆的半径为， 所以圆上的动点到原点的最大距离是， 即的最大值是，故D错误. 52．已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长. 【详解】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 53．（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项；通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项；点与圆的位置关系可判断C选项；利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项. 【详解】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 54．在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 55．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 设为的中点，连接、. 因为，所以 由在圆上，在圆上， 两边平方得 整理得 代入，，，得 即 设，，则 所以 整理得 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 点到圆心的距离为，则 因为，所以， 所以的范围为 56．已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 57．已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 58．设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 59．已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 60．（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $