专题07 点到直线的距离公式·两条平行直线间的距离题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题07 点到直线的距离公式·两条平行直线间的距离题型突破（六大题型） 考点01 求点到直线的距离 考点02 已知点到直线距离求参数 考点03 求点关于直线的对称点 考点04 由距离求已知直线的平行线 考点05 直线关于直线对称问题 考点06 将军饮马问题求最值 考点01 求点到直线的距离 1．（多选）已知点，，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与线段PQ有交点，则 C．若直线l垂直于直线PQ，则 D．点P到直线l的距离的最大值为3 【答案】AC 【分析】先整理直线方程找定点，再结合斜率范围、垂直斜率关系、定点到点距离逐一判断四个选项. 【详解】对于A，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A正确． 对于B，如下图，因为直线过定点，且，所以，故B错误． 对于C，， 直线斜率为，若直线，则，得，故C正确． 对于D，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故D错误． 故选：AC 2．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 3．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：，． 4．已知点，，， (1)求边所在的直线方程； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)边所在的直线方程为 (2)三角形的面积为4 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程，最后整理成一般式即可； （2）先由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，由两点间的距离公式可得，最后计算得出三角形的面积. 【详解】（1）由，可得， ， 由点斜式可得， ，整理可得，， 所以边所在的直线方程为. （2）点到直线的距离， 因为点到直线的距离等于三角形中边上的高， 所以，且， 则， 所以三角形的面积为4. 5．已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)，最大值为 (2)最小值为，直线的方程为 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【详解】（1）已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值，此时． ∵， ∴直线的斜率为，得，解得； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点， 则设直线为，，则，， ． 当且仅当，即时，取“”， 故面积的最小值为，此时直线l的方程为. 6．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： (1)直线的方程； (2)的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）设点，通过中点坐标公式求得点，进而联立方程组求出点坐标，再设点，通过两直线垂直时的斜率关系，联立方程组求出点坐标，即可求解； （2）通过两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，分别求出三角形的一条边及此边上的高，即可求解． 【详解】（1）设点，则点． 由已知有，解得，则点． 边上的高所在直线方程为，则． 由于这两直线垂直时，斜率之积为，则． 设点，则，解得，则点． 故，所以直线的方程为， 化为一般式方程为． （2）由（1）知． 直线的一般式方程为， 则边上的高的长度，即点到直线的距离为， 则． 7．点到直线的距离是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】点到直线的距离是. 8．在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）判断是以B为直角的等腰直角三角形，角平分线过B和AC中点，点斜式化简得方程； （3）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； （2）直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率， 由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； （3）设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 9．已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线得到直线的斜率，再结合点的坐标即可求解； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式得到的坐标，联立方程即可求解； （3）由（2）得到的坐标，根据角平分线上的点到角两边的距离相等列出方程，结合图形即可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，斜率为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 因此边所在直线的方程为，即． （2）设点的坐标为， 因为边上的高所在直线方程为，所以， 又因为点是边的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，解得，所以点的坐标为． （3）由（2）可得点的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的平分线所在的直线斜率为，其中任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为，则， 所以，即或， 化简得或， 又因为，，所以， 所以结合图形可知的平分线所在直线的方程为． 10．已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 考点02 已知点到直线距离求参数 11．（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将目标式转化为原点与直线上的点的距离，进而结合几何意义与点到直线的距离公式求解即可. （2）根据题意，分和，两种情况讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，求解参数得到直线方程即可. （3）将直线方程变形为，得直线恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，求出直线方程即可． 【详解】（1）由题意得表示原点与直线上的点的距离， 结合直线的性质可得的最小值为原点到直线所作垂线的长度， 设垂线长度为，由点到直线的距离公式得. （2）当时，直线，即为， 则经过点的直线的方程为， 此时点到直线的距离不等于，不符合题意，舍去； 当时，可设直线的方程为，即为， 可得，解得，故直线方程为. （3）∵直线l：， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，，由此可得直线l恒过点， 所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∵，∴直线l的斜率为，∴，∴， ∴直线l的一般方程为． 12．已知点到直线的距离为，则_______． 【答案】9或 【详解】由点到直线的距离公式得，，即，解得或. 13．若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】点到直线的距离， 解得或. 14．已知直线l的方程为 ． (1)若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； (2)若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； (3)已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 【答案】(1) (2)或. (3)2或 【分析】（1）根据直线垂直求得，进而将方程化为截距式； （2）根据方程求截距，结合题意运算求解即可； （3）根据点到直线的距离相等求直线方程，进而对比求解即可. 【详解】（1）若直线l： 与直线m：垂直， 则，解得， 此时直线l：，即 . （2）因为直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍， 若，则直线l：与x轴无交点，不合题意； 若，则直线l： 在x轴、y轴上截距分别为、， 则，整理可得，解得或， 所以直线l的一般式方程为或. （3）设到直线：，：的距离相等， 则，整理可得或， 可知直线l的方程为或， 若直线l的方程为，则，解得； 若直线l的方程为，则 ，解得； 综上所述：a的值为2或. 15．（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【答案】ABC 【分析】本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可. 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 16．（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】（1）利用点在直线上设坐标，代入点到直线距离公式，解绝对值方程得两点坐标； （2）直接套用平行直线距离公式，去绝对值求出参数的值. 【详解】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 17．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 18．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 19．若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 20．已知正方形的中心为点，一条边所在的直线方程是 (1)求正方形的边长； (2)求正方形其他三边所在的直线方程. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先求中心到直线的距离，即可得边长； （2）根据平行、垂直关系设直线方程，再结合中心到四边距离相等列式求解即可. 【详解】（1）因为正方形的中心到直线的距离， 所以正方形的边长为. （2）设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为， 则，即， 解得（舍去）或. 故与已知直线平行的边所在的直线方程为； 设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为， 则，即， 解得或， 所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为和； 综上所述：正方形其他三边所在的直线方程分别为，，. 考点03 求点关于直线的对称点 21．已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 22．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设直线上任意一点的对称点坐标，通过坐标关系求解； （3）计算点关于直线和的对称点分别为，该光线所经过的路程长度即两个对称点间的距离. 【详解】（1）设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. （2）设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. 23．已知的顶点的平分线所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直，由此列出方程组，解之即可得解； （2）设，由在直线上及线段中点在直线上列出方程组，求出点的坐标，再根据直线的两点式方程即可得解. 【详解】（1） 由已知，设，则由及线段中点在上可得 ，解得， 所以坐标为； （2）设，则由在直线上及线段中点在直线上可得 ，解得， 所以的坐标为， 所以直线即直线的方程为， 整理得. 24．光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 25．一束光线从点射出，与直线：相交于点.经直线反射，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【分析】结合图象求得关于的对称点，由此求得反射光线的斜率，再结合点，可得直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 26．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 27．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 28．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 29．已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 30．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 考点04 由距离求已知直线的平行线 31．已知直线经过直线与的交点． (1)若点到的距离为，求的方程； (2)若直线经过原点，且与直线平行，求与的距离最大值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）解法一：设直线方程为，利用点到直线距离公式求出，再讨论直线不符合，即可求出答案；解法二：求出交点，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式进行求解即可求出答案； （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，求出的斜率即可得到的斜率，即可求出答案. 【详解】（1）解法一： 设经过两已知直线交点的直线方程为， 即， 所以．即， 所以，解得或． 故的方程为或． 当直线为时，到的距离为，不符合题意， 综上所述的方程为或． 解法二： 由，解得交点． 当直线斜率不存在时，方程为：，此时点到的距离为，故符合题意； 当直线斜率存在时，设其方程为：，即， 所以点到的距离为：，解得， 所以直线的方程为：，即． 综上，直线的方程为或． （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 又，所以两条平行直线的斜率为， 所以直线的方程是，即． 32．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 33．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 34．若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 35．已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 36．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 【答案】或 【分析】根据斜边所在直线方程和三角形面积可求得直角顶点到斜边所在直线的距离，由此可设，利用平行直线间距离公式可求得，解出与交点即为所求直角顶点坐标. 【详解】斜边所在直线过原点，且斜率为，斜边所在直线方程为； 设直角顶点为，到直线的距离为， 则，解得：； 设是与直线平行且距离为的直线，则与的交点即为直角顶点， 设，则，解得：； 当时，由得：，； 当时，由得：，； 综上所述：此直角三角形直角顶点的坐标为或. 37．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 38．已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 39．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 40．已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为原点到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得结果； （2）根据平行线间距离公式可确定直线与垂直，由此可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到结果. 【详解】（1）设与直线平行且到距离相等的直线上的点为， 则，，即， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离， 所求最短距离为. （2）与之间的距离， 直线与直线垂直，即，又直线过点， 直线方程为：，即. 考点05 直线关于直线对称问题 41．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 【答案】BCD 【分析】直线相互平行的充要条件为“交叉相乘再相减为0”，且不重合.直线相互垂直的充要条件为“对应相乘再相加为0”.直线不经过第四象限，可以先化为斜截式，判断斜率与截距求解.注意到时，直线与直线相互平行，则对称的直线方程可以根据直线之间的距离求解. 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以， 故的充要条件是， A不正确； 选项B，若，则，解得，B正确； 选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则直线和到直线的距离相等， 则，解得， 所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确． 42．（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 43．（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 44．在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 45．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 46．已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】解析  ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 47．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 48．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 49．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 50．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 考点06 将军饮马问题求最值 51．（多选）下列结论错误的是（     ） A．过两点的所有直线，其方程均可写为 B．直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 C．直线与直线之间的距离为 D．已知点，，点在直线上，则的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A：若，则无法写成，故A错误； 对于B：设倾斜角为，则，所以，故B正确； 对于C：直线与直线之间的距离为，故C正确； 对于D：设点关于直线的对称点为， 所以，得，即， 则的最小值为，故D错误. 52．已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1） 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， （2） ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 53．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    54．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 【答案】ABCD 【分析】通过直线斜率、垂直条件、平行直线距离公式、对称点法，分别验证各选项的正确性，确定错误结论. 【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足， 而，A选项错误. 选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为， 直线的斜率为，故，解得，B选项错误. 选项C： 将直线化为， 两平行直线距离为，C选项错误. 选项D： 取关于轴的对称点， 的最小值为，D选项错误. 故选：ABCD 55．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 56．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 57．已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 58．（多选）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D. 【详解】对于A，直线倾斜角为，斜率，，A不正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，平行线间的距离，C不正确； 对于D，令点关于轴的对称点为， 连结交轴与，为轴上任一点，连接， 如图，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时取等号， ， 因此，的最小值为5，D正确. 故选：BD 59．已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 60．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 点到直线的距离公式·两条平行直线间的距离题型突破（六大题型） 考点01 求点到直线的距离 考点02 已知点到直线距离求参数 考点03 求点关于直线的对称点 考点04 由距离求已知直线的平行线 考点05 直线关于直线对称问题 考点06 将军饮马问题求最值 考点01 求点到直线的距离 1．（多选）已知点，，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与线段PQ有交点，则 C．若直线l垂直于直线PQ，则 D．点P到直线l的距离的最大值为3 2．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 4．已知点，，， (1)求边所在的直线方程； (2)求三角形的面积． 5．已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 6．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： (1)直线的方程； (2)的面积． 7．点到直线的距离是（    ） A．3 B．5 C． D． 8．在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 9．已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的平分线所在直线的方程． 10．已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 考点02 已知点到直线距离求参数 11．（1）已知实数x，y满足，求的最小值． （2）已知经过点的直线l与直线垂直，若点到直线l的距离等于，求直线l的一般式方程． （3）当点到直线（）距离取得最大值时，求直线l的一般式方程． 12．已知点到直线的距离为，则_______． 13．若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 14．已知直线l的方程为 ． (1)若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； (2)若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； (3)已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 15．（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 16．（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 17．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 19．若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 20．已知正方形的中心为点，一条边所在的直线方程是 (1)求正方形的边长； (2)求正方形其他三边所在的直线方程. 考点03 求点关于直线的对称点 21．已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 22．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. (1)求的截距式方程； (2)已知与关于直线对称，求； (3)在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 23．已知的顶点的平分线所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 24．光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 25．一束光线从点射出，与直线：相交于点.经直线反射，则反射光线所在直线的方程为__________. 26．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 27．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 28．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 29．已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 30．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点04 由距离求已知直线的平行线 31．已知直线经过直线与的交点． (1)若点到的距离为，求的方程； (2)若直线经过原点，且与直线平行，求与的距离最大值时直线的方程． 32．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 33．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 34．若直线与直线间的距离为1，则__________. 35．已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 36．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 37．求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 38．已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 39．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 40．已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 考点05 直线关于直线对称问题 41．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则直线关于直线对称的直线方程为 42．（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 43．（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 44．在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 45．在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 46．已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 47．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 48．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 49．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 考点06 将军饮马问题求最值 51．（多选）下列结论错误的是（     ） A．过两点的所有直线，其方程均可写为 B．直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 C．直线与直线之间的距离为 D．已知点，，点在直线上，则的最小值为 52．已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 53．已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 54．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 55．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 56．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 57．已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 58．（多选）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 59．已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 60．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $