专题06 两条直线的交点坐标·两点间的距离公式题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题06 两条直线的交点坐标·两点间的距离公式题型突破（六大题型） 考点01 求直线交点坐标 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 考点03 由直线交点的个数求参数 考点04 求平面两点间的距离 考点05 由顶点坐标判断三角形的形状 考点06 用两点间的距离公式求函数最值 考点01 求直线交点坐标 1．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标（垂心是三角形三条高线的交点）； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两条高线方程联立计算即可得； （2）设、，由题意可得、，且有，，解出可得、坐标，即可计算出所在的直线方程. 【详解】（1）联立，解得， 故垂心的坐标为； （2）由题意可得点在直线上，点在直线上， 设、，则有、， 且直线垂直直线、直线垂直直线， 故，， 联立及，解得、， 故、， 则所在的直线方程为，即. 2．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【答案】 【详解】联立和的方程，解得，，因此与的交点为， 直线的斜率为，因为与该直线平行，所以的斜率也为， 由点斜式代入交点，得，整理得. 3．经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求两直线的交点坐标，再由垂直关系得出所求直线的斜率，即可得解. 【详解】由，解得， 所以直线与的交点为， 又与直线垂直的直线斜率， 所以直线方程为，即. 4．在中， (1)求边的高线所在的直线的方程； (2)求边上中线所在的直线的方程 (3)的外接圆的圆心坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据垂直得到所求直线斜率为，再根据点斜式方程即可求出答案； （2）求出的中点，求出的斜率，再根据点斜式方程即可求出答案； （3）求出中垂线所在直线的方程，求出交点坐标即为点坐标. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以所求直线斜率为， 又边的高线经过点， 所以边的高线所在的直线的方程为，即. （2）因为，所以的中点， 所以直线的斜率为， 所以边上中线所在的直线的方程为， 即. （3）的中点，， 所以中垂线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为，即， 的中点，， 所以中垂线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为，即， 联立，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. 5．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： (1)顶点，的坐标； (2)直线的方程（写成斜截式）； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算直线的方程，联立直线与的方程，解出交点的坐标，设点的坐标，得到中点坐标，求解点的坐标； （2）计算直线的斜率，再计算直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为，由与垂直，得的斜率为， 则直线的方程为：，即， 解得，所以， 设，则中点，代入直线的方程得：， 化简得，又因为点在直线上，所以 解得，所以. （2）由（1）知，，直线的斜率为， 则直线的方程为：，即. 6．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，联立方程可得的交点坐标为，直线恒过定点，通过作图即可判断直线的情况，从而求得. 【详解】显然，解方程组得，故的交点坐标为， 直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为. 对直线的方程变形为，由可得， 故直线恒过定点， 作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和， 当直线的方程为时，；当直线的方程为时，. 故满足条件的实数的个数为. 7．（多选）已知直线：，：，则（    ） A．在轴的截距为 B．过定点 C．若，则 D．若，及轴围成的三角形面积为，则或 【答案】BCD 【分析】对于A：令，即可得直线在轴的截距；对于B：整理可得，即可得过定点；对于C：根据直线平行可知斜率相等，列式求解并代入检验；对于D：求直线与轴的交点，以及两直线的交点，进而列式求解即可. 【详解】对于选项A：对于直线：，令，解得， 所以直线在轴的截距为，故A错误； 对于选项B：对于直线：，即为， 所以过定点，故B正确； 对于选项C：因为直线的斜率，直线的斜率， 若，则，即， 此时直线：，符合，所以，故C正确； 对于选项D：由题意可知：且， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 联立方程，解得， 由题意可得，即， 当，即时，则，解得或； 当，即时，则，无解； 综上所述：或，故D正确. 8．已知直线与直线交于点P． (1)直线过点P且垂直于直线，求直线的方程； (2)直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程． （注：结果都写成直线方程的一般式） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组求得点坐标，由垂线斜率的关系求得斜率，由点斜式写出直线方程； （2）由斜截式设直线的方程，代入点坐标，即可求得直线的方程 【详解】（1）联立方程组，解得，即， 直线的斜率，因为，所以， 所以，即. （2）由题意可知的横截距和纵截距的绝对值相等， 所以设或， 又因为直线经过点，所以或，解得或， 则或. 9．求满足下列条件的直线的方程： (1)已知，求线段的垂直平分线的方程． (2)经过两直线和的交点，且平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式及直线方程的点斜式求解. （2）求出两条已知直线的交点坐标，再设出所求方程，利用待定系数法求解. 【详解】（1）由点，得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线的斜率为2，方程为，即. （2）由，解得，则直线和的交点坐标为， 设平行于直线的直线方程为，于是， 解得，所以所求直线方程为. 10．已知直线，，. (1)直线与轴，轴分别交于两点，为坐标原点，求的面积； (2)直线与直线的交点，求点的坐标； (3)若直线过点且与直线垂直，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点，得到、长度，由坐标轴垂直可知是直角三角形，利用直角三角形面积公式求解； （2）联立和的方程，构成二元一次方程组，方程组的解即为交点； （3）根据两条直线斜率都存在时，互相垂直的直线斜率的乘积为，由的斜率求出的斜率，因为过已知点，所以用点斜式写出直线方程，整理为一般式即可. 【详解】（1）对于直线，令，得，即与轴交点； 令，得，即与轴交点. 因为是直角三角形，直角边长为，， 所以的面积为. （2）联立和的方程：， 两式相加消去，得，解得， 代入得，因此交点的坐标为. （3）将整理为斜截式，得的斜率为. 由两直线垂直的斜率性质：若两条直线斜率都存在，垂直时斜率乘积为，因此的斜率满足，得. 又过点，由点斜式得，整理为一般式即. 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 11．（多选）已知两条直线 ，，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 或 B．若 ，则 C．当 时， 与 平行 D．当 时， 与 重合 【答案】AB 【分析】根据两直线一般式的平行、垂直判定条件，平行要求对应系数成比例且常数项不成比例以排除重合，垂直要求，依次代入参数验证四个选项即可. 【详解】对于 A，若 ，则 ，即 ，得 或 ； 当 时，，，不重合； 当 时，，，不重合，A 正确． 对于 B，若 ，则 ，即 ，得 ，B 正确． 对于 C，当 时，，，斜率分别为 与 ，两直线相交，C 错误． 对于 D，当 时，，，不重合，D 错误． 12．（多选）已知直线，，下列选项正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．时，两条直线相交 D．时，两直线重合 【答案】BC 【分析】利用直线一般方程的平行垂直公式，分析即得解. 【详解】A选项：若，当时，斜率分别为 令： 所以时也平行，A选项错误； B选项：若，斜率乘积为： ，B选项正确； C选项：当时，，， 代入，得，两直线相交，C选项正确； D选项：当时，，， 两直线平行且不重合，D选项错误. 13．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 14．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 15．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 16．（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 17．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【分析】（1）联立方程求出交点坐标； （2）化简得到，可得两直线重合. 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 18．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 19．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 20．已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【分析】 根据f（x0，y0）为常数，得到两直线方程中x与y的系数相同，常数项不相等，得到两直线的位置关系是平行. 【详解】 解：在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 考点03 由直线交点的个数求参数 21．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 22．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 23．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 24．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 25．已知两条直线：，：，为何值时，与． (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 【答案】(1)且 (2)或 (3) 【分析】（1）由和相交时，得到，即可求解； （2）由和平行时，得到，经验证，即可求解； （3）由当时，得到，即可求解． 【详解】（1）解：当和相交时，，即，解得且，所以当且时，和相交． （2）解：当和平行时，，即，解得或， 当时，满足，所以； 当时，满足，所以， 所以或时，. （3）解：当时，可得，解得， 所以时，． 26．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 27．（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】BD 【分析】M集合可以看作一条挖去一点的直线，N集合为一条直线，交集为空集，则N的直线经过或M与N的直线平行﹒ 【详解】∵，∴． 将点代入，得，解得(舍去)或． 又当时，可变形为， 当直线与平行时， 有，解得或(舍去) 当或时，符合题意. 故选：BD 28．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可. 【详解】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是. 故选：B 29．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 30．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 考点04 求平面两点间的距离 31．在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)（i）证明：因为且在第四象限， 所以，在中由正弦定理得， 因为直线斜率为，倾斜角，所以，， 所以， 又因为为锐角，所以． （ii） 【分析】（1）由直线的倾斜角和点坐标求得的方程，与方程联立即可求得点坐标； （2）（i）先求与轴交点，由直线的斜率得，故，在中利用正弦定理结合边的比例关系推导的大小； （ii）由已知线段乘积等式证明与相似，得到，求得直线的方程后联立方程得坐标，再结合相似三角形性质、弦长公式计算的面积. 【详解】（1）因为点，直线AB的倾斜角为， 所以，直线AB的方程为， 因为直线BC的方程为， 所以，联立，解得，即的坐标为． （2）（i）略 （ii）因为，所以， 又因为是公共角，所以和为相似三角形， 因为直线AB的斜率为，直线BC的斜率为，， 所以，，即是直角三角形， 所以，所以是直角三角形， 所以，即直线， 因为，所以直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，所以，直线的斜率为， 又直线过原点，所以直线方程为，即的方程为， 由直线和直线BC联立方程组得到， 因为，斜率为，所以直线的方程为：， 由直线和直线AC联立方程组得到， 所以， 因为直线方程为，直线方程为：， 联立方程，解得 又因为，所以， 所以 32．设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)由得， 则，解得， 所以不论a为何值，直线l必过一定点； (2) 【分析】（1）由直线系过定点可得证； （2）根据直线方程求出直线在坐标轴上的截距，得出三角形，利用基本不等式求最值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）由得，当时，，当时，， 又由，得， ∴， 当且仅当，即时取等号． ∴，， ∴的周长为． 33．已知的顶点坐标，且 (1)证明：点在定直线上并指出该直线方程； (2)若，求直线在轴上的截距． 【答案】(1)设，则由， 得， 解得， 所以点在定直线上； (2)或 【分析】（1）设，根据化简即可得出结论； （2）由（1）可知，根据，可得，从而可求出，即可得出直线的方程，进而可得出答案. 【详解】（1）设，则由， 得， 解得， 所以点在定直线上； （2）由（1）可知， ， 因为，所以，所以， 所以，直线的方程为， 即或， 所以直线在轴上的截距为或． 34．已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 【答案】 【详解】依题意，点是的中点，所以. 35．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉线方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可. 【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为， 代入欧拉线方程得：， 整理得： ① 的中点为，， 的中垂线方程为，即. 联立，解得. 的外心为. 则， 整理得： ② 联立①②得：或. 当时重合，舍去. 顶点的坐标是. 【点睛】解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程. 36．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将题中所给的问题转化为几何问题，再进行求解即可. 【详解】由题可知，，表示边长为1的正方形区域内点的集合. 表示动点到定点四点的距离之和, 于是题目转化为求该距离的最小值. 因为两点之间线段最短，所以到的距离之和的最小值为正方形对角线长度. 同理，到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.此时原式最小值为. 当且仅当为正方形对角线交点，即时等号成立. 37．已知坐标平面内四点，，，． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用两点坐标计算斜率，根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角； （2）根据平行四边形对边平行且相等，转化为直线斜率相等，根据两点坐标公式计算两点距离，由此计算点的坐标； （3）分析所求的式子为与连线的斜率，根据直线与线段有交点的条件下计算斜率的范围． 【详解】（1）因为，； 因为直线的斜率为． 设直线的倾斜角为， 则；所以直线的倾斜角为； （2）如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； （3）由题意得为直线的斜率． 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 38．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到， 利用换元法令 ，求解得到. 【详解】设 ， 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2， 所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ， 令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以. 故选：A. 39．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 40．已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 考点05 由顶点坐标判断三角形的形状 41．已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 42．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 43．已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明：由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）略 （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 44．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 45．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 46．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 47．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 48．（多选）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（    ） A．A，B，C三点可能共线 B．A，B，C三点可能构成锐角三角形 C．A，B，C三点可能构成直角三角形 D．A，B，C三点可能构成钝角三角形 【答案】ACD 【分析】取两定点为A，C，再设任意点B，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答. 【详解】令点，设点，则有， 由得：， 当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确； 当时，则A，B，C三点不共线， 若，有，且成立，为直角三角形，C正确； 若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确； 若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确. 故选：ACD 49．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 50．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 考点06 用两点间的距离公式求函数最值 51．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】配方转化为平面上点到两定点距离之和，用对称点求最小值，的最大值就是这个最小值. 【详解】对两个根号内的二次式分别配方， ，， 原式表示轴上动点到点、的距离之和， 作关于轴的对称点，由对称性可知， 因此，当且仅当、、三点共线时取等号， ，因此的最小值为5， 若不等式对任意实数恒成立，则，即的最大值为5. 52．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解出顶点的坐标；求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标． 【详解】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 53．著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为点到点的距离之和的最小值即可. 【详解】表示点到点的距离之和， 因为当点位于线段上时有最小值， 当点位于线段上时有最小值， 故点是线段的交点时，有最小值，最小值为. 54．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案. 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 55．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 56．函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 57．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 58．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 59．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 60．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 两条直线的交点坐标·两点间的距离公式题型突破（六大题型） 考点01 求直线交点坐标 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 考点03 由直线交点的个数求参数 考点04 求平面两点间的距离 考点05 由顶点坐标判断三角形的形状 考点06 用两点间的距离公式求函数最值 考点01 求直线交点坐标 1．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标（垂心是三角形三条高线的交点）； (2)求所在的直线方程． 2．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 3．经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 4．在中， (1)求边的高线所在的直线的方程； (2)求边上中线所在的直线的方程 (3)的外接圆的圆心坐标 5．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： (1)顶点，的坐标； (2)直线的方程（写成斜截式）； 6．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知直线：，：，则（    ） A．在轴的截距为 B．过定点 C．若，则 D．若，及轴围成的三角形面积为，则或 8．已知直线与直线交于点P． (1)直线过点P且垂直于直线，求直线的方程； (2)直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程． （注：结果都写成直线方程的一般式） 9．求满足下列条件的直线的方程： (1)已知，求线段的垂直平分线的方程． (2)经过两直线和的交点，且平行于直线. 10．已知直线，，. (1)直线与轴，轴分别交于两点，为坐标原点，求的面积； (2)直线与直线的交点，求点的坐标； (3)若直线过点且与直线垂直，求直线的方程. 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 11．（多选）已知两条直线 ，，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 或 B．若 ，则 C．当 时， 与 平行 D．当 时， 与 重合 12．（多选）已知直线，，下列选项正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．时，两条直线相交 D．时，两直线重合 13．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 14．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 15．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 16．（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 17．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 18．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 19．判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 20．已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 考点03 由直线交点的个数求参数 21．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 22．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 23．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 25．已知两条直线：，：，为何值时，与． (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 26．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 27．（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 28．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 30．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 求平面两点间的距离 31．在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 32．设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长． 33．已知的顶点坐标，且 (1)证明：点在定直线上并指出该直线方程； (2)若，求直线在轴上的截距． 34．已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 35．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．已知，，则的最小值为__________． 37．已知坐标平面内四点，，，． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围． 38．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 39．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 40．已知，则动点与点的距离的最小值是________． 考点05 由顶点坐标判断三角形的形状 41．已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 42．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 43．已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 44．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 45．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 46．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 47．已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 48．（多选）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（    ） A．A，B，C三点可能共线 B．A，B，C三点可能构成锐角三角形 C．A，B，C三点可能构成直角三角形 D．A，B，C三点可能构成钝角三角形 49．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 50．如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 考点06 用两点间的距离公式求函数最值 51．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 52．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 53．著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 54．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 55．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 56．函数的最大值是__________. 57．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 58．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 59．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 60．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $